登录
6. 情境题 现实生活 金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车.
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用；
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？
(年费用=年行驶费用+年其他费用)
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用；
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？
(年费用=年行驶费用+年其他费用)
答案
6.(1)由表格可得,新能源车的每千米行驶费用为:$\frac{60×0.6}{a}=\frac{36}{a}$(元)
(2)①
∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元,
∴$\frac{40×9}{a}-\frac{36}{a}=0.54$,解得$a=600$,经检验,$a=600$是原分式方程的解,
∴$\frac{40×9}{600}=0.6$,$\frac{36}{600}=0.06$,答:燃油车的每千米行驶费用为0.6元,新能源车的每千米行驶费用为0.06元
②设每年行驶里程为$x$ km,由题意得$0.6x+4\ 800＞0.06x+7\ 500$,解得$x＞5\ 000$,答:当每年行驶里程大于5 000 km时,买新能源车的年费用更低
(2)①
∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元,
∴$\frac{40×9}{a}-\frac{36}{a}=0.54$,解得$a=600$,经检验,$a=600$是原分式方程的解,
∴$\frac{40×9}{600}=0.6$,$\frac{36}{600}=0.06$,答:燃油车的每千米行驶费用为0.6元,新能源车的每千米行驶费用为0.06元
②设每年行驶里程为$x$ km,由题意得$0.6x+4\ 800＞0.06x+7\ 500$,解得$x＞5\ 000$,答:当每年行驶里程大于5 000 km时,买新能源车的年费用更低
解析
【分析】
(1) 类比燃油车每千米行驶费用的计算逻辑：每千米费用=总能源费用÷续航里程，先计算新能源车充满电的总电费，再除以续航里程a即可得到对应代数式。
(2) ①根据“燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元”的等量关系列分式方程，求解后要检验所得解是否符合分式方程要求和实际意义，再代入代数式计算两款车的每千米费用即可。
②设每年行驶里程为x km，分别表示两款车的年费用，根据“新能源车年费用更低”的要求列不等式，求解得到x的取值范围即可。
【解析】
(1) 新能源车充满电的总费用为：$60×0.6=36$元，续航里程为a千米，因此每千米行驶费用为$\frac{60×0.6}{a}=\frac{36}{a}$元。
(2) ①根据题意列方程：
$\frac{40×9}{a}-\frac{36}{a}=0.54$
化简得$\frac{324}{a}=0.54$，解得$a=600$。
经检验，$a=600$是原分式方程的解，且符合实际意义。
代入计算得：
燃油车每千米行驶费用：$\frac{40×9}{600}=0.6$元
新能源车每千米行驶费用：$\frac{36}{600}=0.06$元
②设每年行驶里程为$x$ km，根据年费用公式可得：
燃油车年费用：$0.6x+4800$元
新能源车年费用：$0.06x+7500$元
要求新能源车年费用更低，可列不等式：
$0.6x+4800＞0.06x+7500$
移项合并得$0.54x＞2700$，解得$x＞5000$。
【答案】
(1) $\frac{36}{a}$
(2) ①燃油车每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用为0.06元；②当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低。
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活中购车的实际场景命题，解题关键是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，注意分式方程求解后要检验是否符合实际意义，能够锻炼学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 类比燃油车每千米行驶费用的计算逻辑：每千米费用=总能源费用÷续航里程，先计算新能源车充满电的总电费，再除以续航里程a即可得到对应代数式。
(2) ①根据“燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.54元”的等量关系列分式方程，求解后要检验所得解是否符合分式方程要求和实际意义，再代入代数式计算两款车的每千米费用即可。
②设每年行驶里程为x km，分别表示两款车的年费用，根据“新能源车年费用更低”的要求列不等式，求解得到x的取值范围即可。
【解析】
(1) 新能源车充满电的总费用为：$60×0.6=36$元，续航里程为a千米，因此每千米行驶费用为$\frac{60×0.6}{a}=\frac{36}{a}$元。
(2) ①根据题意列方程：
$\frac{40×9}{a}-\frac{36}{a}=0.54$
化简得$\frac{324}{a}=0.54$，解得$a=600$。
经检验，$a=600$是原分式方程的解，且符合实际意义。
代入计算得：
燃油车每千米行驶费用：$\frac{40×9}{600}=0.6$元
新能源车每千米行驶费用：$\frac{36}{600}=0.06$元
②设每年行驶里程为$x$ km，根据年费用公式可得：
燃油车年费用：$0.6x+4800$元
新能源车年费用：$0.06x+7500$元
要求新能源车年费用更低，可列不等式：
$0.6x+4800＞0.06x+7500$
移项合并得$0.54x＞2700$，解得$x＞5000$。
【答案】
(1) $\frac{36}{a}$
(2) ①燃油车每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用为0.06元；②当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低。
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活中购车的实际场景命题，解题关键是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，注意分式方程求解后要检验是否符合实际意义，能够锻炼学生将数学知识应用到实际生活的能力。
【难度系数】
0.65
7.(方案设计)为了迎接即将到来的元旦,某班计划为全班同学每人准备一份精美的零食礼盒,去商店了解后发现有A,B两种类型的零食礼盒可供选择,因为想品尝到更多的品种,班级两种都订.若购买A种礼盒花费1 600元,购买B种礼盒花费960元,且购买A种礼盒的数量是B种礼盒的2倍.已知购买一个B种礼盒比购买一个A种礼盒多花8元.
(1)购买一个A种礼盒和一个B种礼盒各需多少元?
(2)该班的学生总人数有50人,购买A种礼盒的数量要求不低于B种礼盒的数量的两倍,且不超过B种礼盒的数量的三倍.设购买的A种礼盒有m个,请问共有哪几种购买的方案?哪种方案的总费用最少,最少为多少元?
(1)购买一个A种礼盒和一个B种礼盒各需多少元?
(2)该班的学生总人数有50人,购买A种礼盒的数量要求不低于B种礼盒的数量的两倍,且不超过B种礼盒的数量的三倍.设购买的A种礼盒有m个,请问共有哪几种购买的方案?哪种方案的总费用最少,最少为多少元?
答案
7.(1)设购买一个A种礼盒需$x$元,则购买一个B种礼盒需$(x+8)$元,依题意,得$\frac{1\ 600}{x}=2×\frac{960}{x+8}$,解得$x=40$,经检验,$x=40$是原分式方程的解,且符合题意,
∴$x+8=40+8=48$.答:购买一个A种礼盒需40元,一个B种礼盒需48元
(2)依题意,得$\begin{cases} m≥2(50-m),\\ m≤3(50-m), \end{cases}$解得$\frac{100}{3}≤ m≤\frac{75}{2}$,又
∵$m$为正整数,
∴$m$可以为34,35,36,37,
∴共有4种购买方案,方案1:购买34个A种礼盒,16个B种礼盒;方案2:购买35个A种礼盒,15个B种礼盒;方案3:购买36个A种礼盒,14个B种礼盒;方案4:购买37个A种礼盒,13个B种礼盒.选择方案1所需费用为$40×34+48×16=2\ 128$(元),选择方案2所需费用为$40×35+48×15=2\ 120$(元),选择方案3所需费用为$40×36+48×14=2\ 112$(元),选择方案4所需费用为$40×37+48×13=2\ 104$(元).
∵$2\ 128＞2\ 120＞2\ 112＞2\ 104$,
∴方案4的总费用最少,最少为2 104元
∴$x+8=40+8=48$.答:购买一个A种礼盒需40元,一个B种礼盒需48元
(2)依题意,得$\begin{cases} m≥2(50-m),\\ m≤3(50-m), \end{cases}$解得$\frac{100}{3}≤ m≤\frac{75}{2}$,又
∵$m$为正整数,
∴$m$可以为34,35,36,37,
∴共有4种购买方案,方案1:购买34个A种礼盒,16个B种礼盒;方案2:购买35个A种礼盒,15个B种礼盒;方案3:购买36个A种礼盒,14个B种礼盒;方案4:购买37个A种礼盒,13个B种礼盒.选择方案1所需费用为$40×34+48×16=2\ 128$(元),选择方案2所需费用为$40×35+48×15=2\ 120$(元),选择方案3所需费用为$40×36+48×14=2\ 112$(元),选择方案4所需费用为$40×37+48×13=2\ 104$(元).
∵$2\ 128＞2\ 120＞2\ 112＞2\ 104$,
∴方案4的总费用最少,最少为2 104元
解析
【分析】
(1) 第一问为分式方程应用题，解题核心是找到等量关系：购买A种礼盒的数量=2×购买B种礼盒的数量。我们可设A种礼盒单价为x元，对应B种礼盒单价为(x+8)元，用“总花费÷单价=购买数量”分别表示两种礼盒的购买量，代入等量关系列方程求解即可，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
(2) 第二问为不等式组结合方案设计问题，总人数为50，因此B种礼盒的购买数量为(50-m)个，根据“A种礼盒数量不低于B种的2倍、不超过B种的3倍”两个限制条件列不等式组，求出m的取值范围，再结合m为正整数确定所有符合条件的m值，得到对应购买方案，最后计算各方案总费用，比较后得出最少费用的方案即可。
【解析】
(1) 设购买一个A种礼盒需$x$元，则购买一个B种礼盒需$(x+8)$元。
依题意，得：$\frac{1\ 600}{x}=2×\frac{960}{x+8}$
解方程得$x=40$，
经检验，$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴$x+8=40+8=48$。
(2) 购买A种礼盒有$m$个，则购买B种礼盒有$(50-m)$个，
依题意，得$\begin{cases} m≥2(50-m),\\ m≤3(50-m), \end{cases}$
解不等式组得$\frac{100}{3}≤ m≤\frac{75}{2}$，
∵$m$为正整数，
∴$m$可以为34,35,36,37，对应4种购买方案：
方案1：购买34个A种礼盒，16个B种礼盒，总费用为$40×34+48×16=2\ 128$元；
方案2：购买35个A种礼盒，15个B种礼盒，总费用为$40×35+48×15=2\ 120$元；
方案3：购买36个A种礼盒，14个B种礼盒，总费用为$40×36+48×14=2\ 112$元；
方案4：购买37个A种礼盒，13个B种礼盒，总费用为$40×37+48×13=2\ 104$元。
∵$2\ 128＞2\ 120＞2\ 112＞2\ 104$，
∴方案4总费用最少。
【答案】
(1) 购买一个A种礼盒需40元，一个B种礼盒需48元；
(2) 共有4种购买方案：方案1：购买34个A种礼盒，16个B种礼盒；方案2：购买35个A种礼盒，15个B种礼盒；方案3：购买36个A种礼盒，14个B种礼盒；方案4：购买37个A种礼盒，13个B种礼盒。购买37个A种礼盒、13个B种礼盒的方案总费用最少，最少为2104元。
【知识点】
分式方程应用；一元一次不等式组应用；方案优化
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，既考查了分式方程的求解与验根要求，又考查了不等式组的解法和实际场景下的方案优化，解题时要注意结合实际意义确定未知数的取值，计算费用时需仔细核对避免运算错误。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问为分式方程应用题，解题核心是找到等量关系：购买A种礼盒的数量=2×购买B种礼盒的数量。我们可设A种礼盒单价为x元，对应B种礼盒单价为(x+8)元，用“总花费÷单价=购买数量”分别表示两种礼盒的购买量，代入等量关系列方程求解即可，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
(2) 第二问为不等式组结合方案设计问题，总人数为50，因此B种礼盒的购买数量为(50-m)个，根据“A种礼盒数量不低于B种的2倍、不超过B种的3倍”两个限制条件列不等式组，求出m的取值范围，再结合m为正整数确定所有符合条件的m值，得到对应购买方案，最后计算各方案总费用，比较后得出最少费用的方案即可。
【解析】
(1) 设购买一个A种礼盒需$x$元，则购买一个B种礼盒需$(x+8)$元。
依题意，得：$\frac{1\ 600}{x}=2×\frac{960}{x+8}$
解方程得$x=40$，
经检验，$x=40$是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴$x+8=40+8=48$。
(2) 购买A种礼盒有$m$个，则购买B种礼盒有$(50-m)$个，
依题意，得$\begin{cases} m≥2(50-m),\\ m≤3(50-m), \end{cases}$
解不等式组得$\frac{100}{3}≤ m≤\frac{75}{2}$，
∵$m$为正整数，
∴$m$可以为34,35,36,37，对应4种购买方案：
方案1：购买34个A种礼盒，16个B种礼盒，总费用为$40×34+48×16=2\ 128$元；
方案2：购买35个A种礼盒，15个B种礼盒，总费用为$40×35+48×15=2\ 120$元；
方案3：购买36个A种礼盒，14个B种礼盒，总费用为$40×36+48×14=2\ 112$元；
方案4：购买37个A种礼盒，13个B种礼盒，总费用为$40×37+48×13=2\ 104$元。
∵$2\ 128＞2\ 120＞2\ 112＞2\ 104$，
∴方案4总费用最少。
【答案】
(1) 购买一个A种礼盒需40元，一个B种礼盒需48元；
(2) 共有4种购买方案：方案1：购买34个A种礼盒，16个B种礼盒；方案2：购买35个A种礼盒，15个B种礼盒；方案3：购买36个A种礼盒，14个B种礼盒；方案4：购买37个A种礼盒，13个B种礼盒。购买37个A种礼盒、13个B种礼盒的方案总费用最少，最少为2104元。
【知识点】
分式方程应用；一元一次不等式组应用；方案优化
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，既考查了分式方程的求解与验根要求，又考查了不等式组的解法和实际场景下的方案优化，解题时要注意结合实际意义确定未知数的取值，计算费用时需仔细核对避免运算错误。
【难度系数】
0.65
