1.解下列分式方程：
(1)$\frac{2}{x}=\frac{3}{x+3}$；
(2)$\frac{1}{x-2}=\frac{1-x}{2-x}-3$；
(3)(广西中考)$\frac{x}{x+1}=\frac{x}{3x+3}+1$；
(4)$\frac{2}{x}-\frac{x+2}{x^2-2x}=\frac{x+2}{x-2}-1$。

(1)方程两边乘$x(x+3)$,得$2(x+3)=3x$,解得$x=6$,检验:当$x=6$时,$x(x+3)≠0$,$∴$原分式方程的解为$x=6$
(2)方程两边乘$(x-2)$,得$1=x-1-3x+6$,解得$x=2$,检验:当$x=2$时,$x-2=0$,$∴x=2$不是原分式方程的解,$∴$原分式方程无解
(3)方程两边乘$3(x+1)$,得$3x=x+3x+3$,解得$x=-3$.检验:当$x=-3$时,$3(x+1)≠0$,$∴$原分式方程的解为$x=-3$
(4)方程两边乘$x(x-2)$,得$2x-4-x-2=x^2+2x-x^2+2x$,化简,得$3x=-6$,$∴x=-2$ 检验:当$x=-2$时,$x(x-2)≠0$,$∴$原分式方程的解为$x=-2$

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体步骤为：①找各分母的最简公分母，若分母可因式分解要先因式分解；②方程两边同时乘最简公分母，消去分母得到整式方程；③解整式方程；④检验：将求得的整式方程的根代入最简公分母，若公分母不为0，则是原分式方程的解，若公分母为0，则是增根，原分式方程无解。四个小题均按此步骤求解，注意处理分母互为相反数的情况时要先统一符号，避免符号错误。
【解析】
(1) 方程两边乘最简公分母$x(x+3)$，得$2(x+3)=3x$，
去括号得$2x+6=3x$，解得$x=6$，
检验：当$x=6$时，$x(x+3)≠0$，$∴$原分式方程的解为$x=6$。
(2) 先将右侧分母变形为$2-x=-(x-2)$，最简公分母为$x-2$，
方程两边乘$(x-2)$，得$1=x-1-3x+6$，解得$x=2$，
检验：当$x=2$时，$x-2=0$，$∴x=2$不是原分式方程的解，$∴$原分式方程无解。
(3) 先将右侧分母因式分解得$3x+3=3(x+1)$，最简公分母为$3(x+1)$，
方程两边乘$3(x+1)$，得$3x=x+3x+3$，解得$x=-3$，
检验：当$x=-3$时，$3(x+1)≠0$，$∴$原分式方程的解为$x=-3$。
(4) 先将左侧分母因式分解得$x^2-2x=x(x-2)$，最简公分母为$x(x-2)$，
方程两边乘$x(x-2)$，得$2x-4-x-2=x^2+2x-x^2+2x$，
化简得$3x=-6$，解得$x=-2$，
检验：当$x=-2$时，$x(x-2)≠0$，$∴$原分式方程的解为$x=-2$。
【答案】
(1) $x=6$；(2) 无解；(3) $x=-3$；(4) $x=-2$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，增根的识别
【点评】
本题是解分式方程的常规训练题，核心考查将分式方程转化为整式方程的转化思想，解题时要注意先对分母因式分解找到正确的最简公分母，处理互为相反数的分母时要注意符号变化，验根是解分式方程必不可少的步骤，不可省略。
【难度系数】
0.8

2.若关于$x$的分式方程$\frac{1-ax}{x-2}+3=\frac{1}{2-x}$有正整数解，则整数$a=$.

-1 或 2

【分析】
解决这道题的思路分三步：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含参数a的式子表示出x；第二步，结合“方程有正整数解”的条件，可知x是正整数，由此分析3-a是4的正约数，求出对应的a的可能值；第三步，牢记分式方程分母不能为0，即x≠2，排除掉会产生增根的a的取值，最终得到符合要求的整数a。
【解析】
给分式方程两边同乘最简公分母$(x-2)$消去分母，注意$2-x=-(x-2)$，方程变为：
$1-ax + 3(x-2) = -1$
展开并整理整式方程：
$1 - ax + 3x - 6 = -1$
移项合并同类项得：
$(3 - a)x = 4$
当$3-a≠0$时，解得$x=\frac{4}{3-a}$。
根据题意确定a的取值：
1. 分式方程有解则分母不为0，即$x≠2$，代入得$\frac{4}{3-a}≠2$，解得$a≠1$；
2. 方程的解是正整数且a为整数，因此$3-a$是4的正约数，4的正约数为1、2、4：
当$3-a=1$时，$a=2$，此时$x=4$，是正整数且$x≠2$，符合要求；
当$3-a=2$时，$a=1$，此时$x=2$是增根，舍去；
当$3-a=4$时，$a=-1$，此时$x=1$，是正整数且$x≠2$，符合要求。
综上，整数a的值为-1或2。
【答案】
-1 或 2
【知识点】
分式方程的解法；增根的意义；整数解讨论
【点评】
本题是分式方程求参数的典型题型，解题的关键是既要结合正整数解的条件分析参数的可能取值，也不能忽略分式方程分母不为0的前提，需排除增根对应的参数值，避免漏判导致多解。
【难度系数】
0.6

3.若关于$x$的分式方程$\frac{2x - a}{x - 1} - \frac{1}{1 - x} = 3$的解为非负数，求$a$的取值范围.

解分式方程,得$x=4-a$.$∵$原分式方程的解为非负数,$∴x≥0$且$x≠1$,$∴4-a≥0$且$4-a≠1$,即$a≤4$且$a≠3$

【分析】
要解决分式方程中参数的取值范围问题，可按三步思考：第一步先把分式方程去分母转化为整式方程，用含参数a的代数式表示出方程的解x；第二步明确分式方程有解的前提是分母不为0，即解不能使原方程分母为0，避免出现增根；第三步结合“解为非负数”即x≥0的条件，联立两个限制条件列不等式求解，即可得到a的取值范围。
【解析】
解：先整理原分式方程，将$\frac{1}{1-x}$变形为$-\frac{1}{x-1}$，原方程可化为：
$\frac{2x - a}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} = 3$
方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（隐含条件$x≠1$，否则分母为0无意义），去分母得：
$2x - a + 1 = 3(x - 1)$
去括号：$2x - a + 1 = 3x - 3$
移项、合并同类项得：$-x = a - 4$
系数化为1得：$x = 4 - a$
∵原分式方程的解为非负数，且分母不能为0，
∴$\begin{cases}x≥0 \\ x≠1\end{cases}$，将$x=4-a$代入得：
$\begin{cases}4 - a≥0 \\ 4 - a≠1\end{cases}$
解得$a≤4$且$a≠3$。
【答案】
$a≤4$且$a≠3$
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程参数取值范围的常考题型，解题的易错点是容易遗漏“分式分母不为0”的隐含条件，忽略增根的限制会导致取值范围求解错误。
【难度系数】
0.7

4.若关于$x$的方程$\frac{m}{x-4} - \frac{1-x}{4-x}=0$无解，则$m$的值是（）

A.－2
B.2
C.－3
D.3

D

【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的两种情形：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。本题先统一分母符号，将分式方程转化为整式方程，再判断整式方程为一元一次方程，必然有解，因此只需考虑解为增根的情况，将增根代入整式方程即可求出m的值。
【解析】
先整理原方程，将分母统一为$x-4$：
$\frac{m}{x-4} + \frac{1-x}{x-4} = 0$
方程两边同时乘以最简公分母$x-4$（此时$x≠4$），去分母得：
$m + 1 - x = 0$
整理得整式方程的解为：$x = m + 1$
∵原分式方程无解，
∴整式方程的解为原方程的增根
原方程分母为0时$x=4$，即增根为$x=4$
将$x=4$代入$x=m+1$得：
$4 = m + 1$
解得$m=3$
【答案】
D
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的判定；解分式方程
【点评】
本题是分式方程参数求解的常规题型，解题核心是理解分式方程无解的含义，尤其注意增根是去分母后整式方程的解，但不是原分式方程的解，代入增根计算是这类题的常用解法。
【难度系数】
0.7

5.已知关于 x 的方程$\frac{x-4}{x-3} - m - 4 = \frac{m}{3-x}$无解，求 m 的值.

原方程化简,得$(m+3)x=4m+8$,由于原方程无解,故有以下两种情形:①$(m+3)x=4m+8$无实数解,则$m+3=0$且$4m+8≠0$,此时$m=-3$;②$(m+3)x=4m+8$的解使原分式方程的最简公分母为0,即$x-3=0$,解得$x=3$,即$x=\frac{4m+8}{m+3}=3$,解得$m=1$,故$m$的值为1或$-3$

【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，需先明确分式方程无解的两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无实数解；二是整式方程的解是使原分式方程分母为0的增根。解题时先将分式方程化为整式方程，再分上述两种情况分别计算参数m的值即可。
【解析】
解：给原方程两边同时乘最简公分母$x-3$，去分母得：
$x - 4 - (m + 4)(x - 3) = -m$
展开并整理等式：
$x - 4 - (m + 4)x + 3m + 12 = -m$
合并同类项得：
$-(m + 3)x = -4m - 8$
两边同乘$-1$，得：
$(m + 3)x = 4m + 8$
分式方程无解分两种情形讨论：
① 整式方程$(m + 3)x = 4m + 8$无实数解：
此时一次项系数为0，常数项不为0，即$\begin{cases}m + 3 = 0 \\ 4m + 8 ≠ 0 \end{cases}$，解得$m = -3$；
② 整式方程的解是原分式方程的增根：
原分式方程的增根满足最简公分母为0，即$x - 3 = 0$，得增根$x = 3$。
将$x = 3$代入$(m + 3)x = 4m + 8$，得$3(m + 3) = 4m + 8$，解得$m = 1$。
综上，m的值为1或-3。
【答案】
$m$的值为$1$或$-3$
【知识点】
分式方程的解法，增根的概念，分式方程无解的判定
【点评】
本题是分式方程参数求解的典型题型，解题的核心是明确分式方程无解的两类情况，避免仅考虑增根的情形而造成漏解，解题过程中注意计算的准确性。
【难度系数】
0.6