1.如图,在四边形ABDC中,∠D=∠B=90°,O为BD的中点,且AO平分∠BAC.求证:AB+CD=AC.

1.过点 O 作 $OE ⊥ AC$ 于点 E, $\because ∠ B=90°$, AO 平分 $∠ BAC, \therefore OB=OE. \because$ 点 O 为 BD 的中点, $\therefore OB=OD, \therefore OE=OD$. 又 $\because ∠ D=∠ OEC=90°, OA=OA, OC=OC, \therefore Rt △ ABO ≌ Rt △ AEO(HL)$, $Rt △ CEO ≌ Rt △ CDO(HL), \therefore AB=AE, CD=CE. \because AE+CE=AC, \therefore AB+CD=AC$

【分析】
要证明AB+CD=AC，可通过将AB、CD转化为AC上的两段线段推导。已知AO是∠BAC的角平分线，且∠B=90°，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此考虑过点O作AC的垂线构造相等线段；再结合O是BD中点的条件，可证另一组直角三角形全等，将CD也转化为AC上的线段，最终通过等量代换得到结论。
【解析】
证明：过点O作$OE ⊥ AC$于点E。
$\because ∠ B=90°$，AO平分$∠ BAC$，
$\therefore OB=OE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
$\because$点O为BD的中点，$\therefore OB=OD$，
$\therefore OE=OD$。
又$\because ∠ D=∠ OEC=90°$，
在$Rt△ ABO$和$Rt△ AEO$中：
$\begin{cases} OA=OA \\ OB=OE \end{cases}$
$\therefore Rt△ ABO ≌ Rt△ AEO(HL)$，$\therefore AB=AE$。
在$Rt△ CEO$和$Rt△ CDO$中：
$\begin{cases} OC=OC \\ OE=OD \end{cases}$
$\therefore Rt△ CEO ≌ Rt△ CDO(HL)$，$\therefore CD=CE$。
$\because AE+CE=AC$，
$\therefore AB+CD=AE+CE=AC$。
【答案】
$AB+CD=AC$
【知识点】
角平分线的性质；HL判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线类辅助线的典型题型，通过向角的另一边作垂线构造全等三角形，将待证的和差线段转化为同一直线上的线段，是解决线段和差问题的常用思路，需要熟练掌握这类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.6

2.如图，OC是∠AOB平分线，点P为OC上一点，若∠PDO+∠PEO=180°，求证：PD=PE.

2.过点 P 分别作 $PM ⊥ OA$ 于点 M, $PN ⊥ OB$ 于点 N, $\because OC$ 平分 $∠ AOB, \therefore PM=PN, \because ∠ PDO+∠ PEO=180°, ∠ PDO+∠ PDM=180°, \therefore ∠ PEO=∠ PDM$, 在 $△ PMD$ 和 $△ PNE$ 中, $\begin{cases}∠ PDM=∠ PEN, \\ ∠ PMD=∠ PNE=90°, \\ PM=PN,\end{cases}$ $\therefore △ PMD ≌ △ PNE(AAS), \therefore PD=PE$

【分析】
要证明PD=PE，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知OC是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此首先考虑过点P作OA、OB的垂线，得到两条相等的垂线段，构造出直角三角形；再结合已知∠PDO+∠PEO=180°，利用同角的补角相等得到一组对应角相等，即可证明两个直角三角形全等，进而得到PD=PE。
【解析】
过点P分别作$PM ⊥ OA$于点M，$PN ⊥ OB$于点N。
∵OC平分$∠ AOB$，$PM ⊥ OA$，$PN ⊥ OB$，
∴$PM=PN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$∠ PDO + ∠ PDM = 180°$（邻补角的定义），且$∠ PDO + ∠ PEO = 180°$，
∴$∠ PDM = ∠ PEO$（同角的补角相等）。
在$△ PMD$和$△ PNE$中：
$\begin{cases}∠ PDM = ∠ PEN \\∠ PMD = ∠ PNE = 90° \\PM = PN\end{cases}$
∴$△ PMD ≌ △ PNE$（AAS），
∴$PD=PE$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$PD=PE$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；补角的性质
【点评】
本题是角平分线常见辅助线的典型习题，当题目中出现角平分线和角平分线上的点时，过该点向角的两边作垂线是常用的辅助线做法，结合全等三角形的判定即可快速证明线段相等的结论，熟练掌握该辅助线技巧可大幅提升此类题的解题效率。
【难度系数】
0.7

3.如图，D是△ABC内的点，AD平分∠BAC，CD⊥AD，连接BD。若△ABC的面积是10，求图中阴影部分的面积。

3.延长 CD 交 AB 于点 E, $\because AD$ 平分 $∠ BAC, \therefore ∠ DAB=∠ DAC$, $\because AD ⊥ CD, \therefore ∠ ADC=∠ ADE=90°$, 在 $△ ADE$ 和 $△ ADC$ 中, $\begin{cases}∠ DAE=∠ DAC, \\ AD=AD, \\ ∠ ADE=∠ ADC,\end{cases}$ $\therefore △ ADE ≌ △ ADC(ASA), \therefore DE=DC. \therefore S_{△ ADE}=S_{△ ADC}, S_{△ BDE}=S_{△ BDC}, \therefore S_{阴影部分}=S_{△ ADE}+S_{△ BDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACE}+\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}(S_{△ ACE}+S_{△ BCE})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=5$

【分析】
遇到角平分线与过角平分线上一点的垂线结合的题目时，通常采用延长垂线与角的另一边相交的辅助线作法，构造全等三角形。本题中我们先延长CD交AB于点E，先证明△ADE和△ADC全等，得到D是CE的中点，再根据等底同高的三角形面积相等，就能推导出阴影部分面积和△ABC面积的关系。
【解析】
延长 CD 交 AB 于点 E,
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠DAB=∠DAC,
∵ AD⊥CD,
∴ ∠ADC=∠ADE=90°,
在△ADE和△ADC中,
$\begin{cases}∠DAE=∠DAC, \\ AD=AD, \\ ∠ADE=∠ADC,\end{cases}$
∴ △ADE ≌ △ADC(ASA),
∴ DE=DC.
根据等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ADE}=S_{△ADC}$，$S_{△BDE}=S_{△BDC}$,
∴ $S_{阴影部分}=S_{△ADE}+S_{△BDE}=\frac{1}{2}S_{△ACE}+\frac{1}{2}S_{△BCE}=\frac{1}{2}(S_{△ACE}+S_{△BCE})=\frac{1}{2}S_{△ABC}$
已知$S_{△ABC}=10$，代入得阴影部分面积为$\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题的核心是掌握角平分线相关的辅助线构造技巧，当出现角平分线加垂直的条件时，延长垂线构造全等三角形是常用的解题思路，结合等积变换即可快速求出对应面积，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

4.如图,在$△ ABC$中,BD平分$∠ ABC$交AC于点D,点M,N分别是线段BD,BC上一动点,$AB＞BD$且$S_{△ ABC}=10$,$AB=5$,求$CM+MN$的最小值.

4.如图, 在 BA 上截取一点 $N'$, 使 $BN'=BN$, 连接 $MN'$, 过点 C 作 $CG ⊥ AB$ 于点 G. $\because S_{△ ABC}=10, AB=5, \therefore \frac{1}{2} × 5CG=10, \therefore CG=4, \because BD$ 平分 $∠ ABC, \therefore ∠ NBM=∠ N'BM, \therefore △ MBN ≌ △ MBN'(SAS), \therefore MN=MN', \therefore CM+MN=CM+MN' ≥ CG=4, \therefore CM+MN$ 的最小值为 4

【分析】
本题属于角平分线背景下的线段和最小值问题，解题思路如下：首先，要求CM+MN的最小值，属于两条动线段和的最值问题，通常需要将折线转化为直线段求解；其次，已知BD是∠ABC的角平分线，角是轴对称图形，角平分线所在直线是对称轴，因此可以借助轴对称性质，将BC上的点N对称到AB边上的点N'，利用全等三角形将MN转化为MN'，此时CM+MN就转化为CM+MN'；最后，根据“垂线段最短”，CM+MN'的最小值就是点C到AB的垂线段长度，再用三角形面积公式即可算出这个垂线段的长度。
【解析】
解：如图，在BA上截取一点$N'$，使$BN'=BN$，连接$MN'$，过点C作$CG ⊥ AB$于点G。
1. 计算CG的长度：
已知$S_{△ ABC}=10$，$AB=5$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$\frac{1}{2} × AB × CG=10$，代入$AB=5$得$\frac{1}{2} × 5 × CG=10$，解得$CG=4$。
2. 证明$△ MBN ≌ △ MBN'$：
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ NBM=∠ N'BM$。
在$△ MBN$和$△ MBN'$中：
$\{\begin{array}{l} BN=BN' \\ ∠NBM=∠N'BM \\ BM=BM \end{array} $
∴$△ MBN ≌ △ MBN'(SAS)$，
∴$MN=MN'$。
3. 求最小值：
∴$CM+MN=CM+MN'$，根据垂线段最短，点C到直线AB的最短距离为垂线段CG的长度，因此$CM+MN' ≥ CG=4$，当且仅当C、M、N'三点共线且$CN'⊥AB$（即$N'$与G重合）时取等号。
∴$CM+MN$的最小值为4。
【答案】
$CM+MN$的最小值为4
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角平分线背景下的经典最短路径问题，解题核心是利用角平分线的轴对称性作对称点，将分散的动线段和转化为点到直线的距离，结合垂线段最短的性质求解，这类题型的辅助线做法具有典型性，熟练掌握能快速解决同类型最值问题。
【难度系数】
0.6