1.在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AC = BC$，直线$MN$经过点$C$，且$AD ⊥ MN$于点$D$，$BE ⊥ MN$于点$E$.

(1)当直线$MN$绕点$C$旋转到图1的位置时，试问$DE$，$AD$，$BE$具有怎样的等量关系？并加以证明；
(2)当直线$MN$绕点$C$旋转到图2的位置时，$DE$，$AD$，$BE$具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）

1.(1)$DE=AD-BE$.$\because AD⊥ MN,BE⊥ MN,\therefore ∠ ADC=∠ CEB=∠ ACB=90°.\therefore ∠ ACD=∠ CBE$.
在$△ ADC$ 和$△ CEB$ 中,$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB,\\∠ ACD=∠ CBE,\\AC=CB,\end{cases}$$\therefore △ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS}),\therefore AD=CE,DC=BE.\therefore DE=CE-CD=AD-BE$
(2)$DE=BE-AD$

【分析】
（1）要推导DE、AD、BE的等量关系，先从已知的垂直条件入手，可得多个直角，结合∠ACB=90°，利用“同角的余角相等”可推出∠ACD=∠CBE，再结合AC=BC的条件，可证明△ADC和△CEB全等，得到对应边相等的结论，最后观察DE的线段组成，将对应边代入即可得到三者的数量关系。
（2）和（1）的解题思路一致，仍先证明△ADC≌△CEB得到对应边相等，再结合图2中DE的线段组成，代入对应边即可直接得到等量关系。
【解析】
(1) 等量关系为$\boldsymbol{DE=AD-BE}$，证明如下：
$\because AD⊥ MN$，$BE⊥ MN$，$\therefore ∠ ADC=∠ CEB=∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ ACD + ∠ BCE = 90°$，$∠ CBE + ∠ BCE = 90°$，由此可得$∠ ACD=∠ CBE$
在$△ ADC$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB \\∠ ACD=∠ CBE \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$
$\therefore AD=CE$，$DC=BE$
$\because DE=CE-CD$，代入对应边可得$DE=AD-BE$
(2) 等量关系为$\boldsymbol{DE=BE-AD}$
【答案】
(1) $DE=AD-BE$；(2) $DE=BE-AD$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，线段和差计算
【点评】
本题是一线三等角（K型）全等模型的典型习题，解题核心是通过直角推导相等的角，证明三角形全等，将所求线段转化为全等三角形的对应边，再结合线段的和差关系得到结论，解题时要注意直线旋转后线段位置变化带来的和差关系的改变。
【难度系数】
0.7

2.(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，直线$l$经过点$A$，$BD⊥$直线$l$，$CE⊥$直线$l$，垂足分别为点$D$，$E$.则$DE$，$BD$，$CE$之间的数量关系是；
(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将(1)中的条件改为：在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$，$A$，$E$三点都在直线$l$上，并且有$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC=α$，其中$α$为任意锐角或钝角.请问(1)中的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

2.(1)$DE=BD+CE$
(2)成立.$\because ∠ BDA=∠ BAC=α$,
$\therefore ∠ DBA+∠ BAD=∠ BAD+∠ CAE=180°-α.\therefore ∠ DBA=∠ EAC$.在$△ ADB$ 和 $△ CEA$ 中,
$\begin{cases}∠ BDA=∠ AEC,\\∠ DBA=∠ EAC,\\AB=CA,\end{cases}$$\therefore △ ADB≌△ CEA(\mathrm{AAS}),\therefore BD=AE,AD=CE.\therefore DE=AE+AD=BD+CE$

【分析】
(1) 求解第一问时，先根据垂直的性质得到∠ADB=∠CEA=90°，结合∠BAC=90°，利用同角的余角相等推出∠ABD=∠CAE，再结合AB=AC的条件，用AAS判定△ADB≌△CEA，得到对应边BD=AE、AD=CE，最后结合线段和的关系DE=AD+AE即可推导三者数量关系。
(2) 第二问的解题思路和第一问一致，虽然给出的角不是直角，但可通过三角形内角和与平角的定义，推导得到∠DBA=∠EAC，依旧用AAS证明两个三角形全等，进而得到线段关系。
【解析】
(1)
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
又
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在$△ ADB$和$△ CEA$中，
$\begin{cases}∠ADB=∠CEA,\\∠ABD=∠CAE,\\AB=AC,\end{cases}$
∴$△ ADB≌△ CEA(\mathrm{AAS})$，
∴$BD=AE$，$AD=CE$，
∵$DE=AD+AE$，
∴$DE=BD+CE$。
(2) (1)中的结论成立，证明如下：
∵$∠BDA=∠BAC=α$，
∴$∠DBA+∠BAD=180°-α$，$∠BAD+∠CAE=180°-α$，
∴$∠DBA=∠CAE$，
在$△ ADB$和$△ CEA$中，
$\begin{cases}∠BDA=∠AEC,\\∠DBA=∠EAC,\\AB=CA,\end{cases}$
∴$△ ADB≌△ CEA(\mathrm{AAS})$，
∴$BD=AE$，$AD=CE$，
∵$DE=AE+AD$，
∴$DE=BD+CE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{DE=BD+CE}$
(2) 成立，结论仍为$\boldsymbol{DE=BD+CE}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；同角的余（补）角相等；线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形的经典“一线三等角”模型题，核心解题思路是通过角度等量代换得到等角，进而证明三角形全等，再利用全等的性质推导线段关系，该模型在几何证明中应用广泛，掌握后可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.6