7.(2025·旌阳期末)如图,点B的坐标为(4,4),作BA⊥x轴,BC⊥y轴,垂足分别为A,C,点D为线段OA的中点,点P从点A出发,在线段AB,BC上沿A→B→C运动,当OP=CD时,点P的坐标为.

7.(4,2)或(2,4)

【分析】
首先根据已知点B的坐标确定正方形OABC各顶点坐标，求出线段CD长度的平方（避免开方简化计算）；再分点P在线段AB上、线段BC上两种情况，分别设出点P的坐标，利用勾股定理表示出OP长度的平方，根据OP=CD即二者平方相等列方程求解，最后验证解符合线段上点的坐标范围即可。
【解析】
解：
∵点B坐标为(4,4)，BA⊥x轴，BC⊥y轴，
∴A(4,0)，C(0,4)，OA=4，
∵D是OA中点，
∴OD=2，即D(2,0)，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：$CD^2=OC^2+OD^2=4^2+2^2=20$。
分两种情况讨论：
①当点P在线段AB上时：
AB上所有点横坐标均为4，设P(4, m)（$0≤m≤4$），
在Rt△OAP中，$OP^2=OA^2+AP^2=4^2+m^2=16+m^2$，
∵OP=CD，
∴$OP^2=CD^2$，
即$16+m^2=20$，解得$m=2$（$m=-2$舍去，不符合坐标范围），
∴此时P点坐标为(4,2)；
②当点P在线段BC上时：
BC上所有点纵坐标均为4，设P(n, 4)（$0≤n≤4$），
在Rt△OCP中，$OP^2=OC^2+CP^2=n^2+4^2=n^2+16$，
∵OP=CD，
∴$OP^2=CD^2$，
即$n^2+16=20$，解得$n=2$（$n=-2$舍去，不符合坐标范围），
∴此时P点坐标为(2,4)。
综上，点P的坐标为(4,2)或(2,4)。
【答案】
(4,2)或(2,4)
【知识点】
勾股定理，坐标与图形性质，分类讨论
【点评】
本题解题关键是明确点P的运动轨迹，分两种情况讨论避免漏解，结合勾股定理建立方程求解即可，注意要结合点所在线段的坐标范围对解进行取舍。
【难度系数】
0.7

8.(分类讨论的思想)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=10$,$BC=5$,线段$PQ=AB$,$P,Q$两点分别在$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AO$上运动,当$AP=$时,$△ ABC$和$△ PQA$全等.

8.5或10

【分析】
本题考查直角三角形全等的判定，需结合分类讨论思想求解。首先明确两个三角形均为直角三角形：$Rt△ ABC$中$∠ C=90°$，$Rt△ QPA$中$∠ QAP=90°$，已知斜边$PQ=AB$，根据HL判定定理，只需一组直角边对应相等即可证明全等。由于未明确两个三角形的对应顶点，因此需分两种情况讨论$AP$对应的边：①$AP$与$BC$对应相等；②$AP$与$AC$对应相等，分别计算即可得到$AP$的长度。
【解析】
解：由题意得$∠ C=∠ PAQ=90°$，已知$PQ=AB$，要使$Rt△ ABC$和$Rt△ PQA$全等，分两种情况讨论：
① 当$AP=BC$时，
在$Rt△ ABC$和$Rt△ QPA$中：
$\begin{cases}AB=PQ\\BC=AP\end{cases}$
$\therefore Rt△ ABC≌ Rt△ QPA(\mathrm{HL})$，此时$AP=BC=5$；
② 当$AP=AC$时，
在$Rt△ ABC$和$Rt△ PQA$中：
$\begin{cases}AB=PQ\\AC=AP\end{cases}$
$\therefore Rt△ ABC≌ Rt△ PQA(\mathrm{HL})$，此时$AP=AC=10$。
综上，当$AP=5$或$10$时，$△ ABC$和$△ PQA$全等。
【答案】
5或10
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定（HL）；2. 分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确未给出全等三角形对应顶点时，需结合图形分情况讨论，避免漏解，同时要熟练掌握直角三角形全等的HL判定方法。
【难度系数】
0.6

9.(过程性学习)如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,垂足分别是E,F,$BE=CF$.求证:AD是$△ ABC$的角平分线.

9.$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$,$\because DE⊥AB$,$DF⊥AC$,$\therefore ∠DEB=∠DFC=90^{\circ }$,在$\mathrm{Rt}△BDE$和$\mathrm{Rt}△CDF$中,$\begin{cases} BD=CD,\\ BE=CF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△BDE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL}),\therefore DE=DF$,$\because DE⊥AB$,$DF⊥AC$,$AD=AD$,$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ADF(\mathrm{HL}),\therefore ∠DAE=∠DAF$,$\therefore AD$是$△ABC$的角平分线

【分析】
要证明AD是△ABC的角平分线，需证∠BAD=∠CAD。首先由D是BC中点可得BD=CD，结合DE⊥AB、DF⊥AC、BE=CF的条件，可先通过HL定理证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得到DE=DF；再结合公共边AD，再次用HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得到对应角相等，从而证明AD是角平分线。
【解析】
证明：
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD，
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°，
在$\mathrm{Rt}△BDE$和$\mathrm{Rt}△CDF$中，
$\begin{cases} BD=CD\\ BE=CF \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△BDE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $DE=DF$，
∵ $DE⊥AB$，$DF⊥AC$，$AD=AD$，
∴ $\mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ADF(\mathrm{HL})$，
∴ $∠DAE=∠DAF$，
∴ AD是$△ABC$的角平分线。
【答案】
$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$,$\because DE⊥AB$,$DF⊥AC$,$\therefore ∠DEB=∠DFC=90^{\circ }$,在$\mathrm{Rt}△BDE$和$\mathrm{Rt}△CDF$中,$\begin{cases} BD=CD,\\ BE=CF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△BDE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL}),\therefore DE=DF$,$\because DE⊥AB$,$DF⊥AC$,$AD=AD$,$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△ADF(\mathrm{HL}),\therefore ∠DAE=∠DAF$,$\therefore AD$是$△ABC$的角平分线
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题型，核心考察直角三角形全等的HL判定方法，解题时需理清证明逻辑，先通过已知条件推导第一组三角形全等得到边相等的结论，再进一步推导角相等即可完成证明，要求熟练掌握全等证明的书写格式。
【难度系数】
0.75

10.(演绎推理)如图,点O在$△ ABC$的内部，$OB=OC$，$OE ⊥ AB$于点E，$OF ⊥ AC$于点F，$OE=OF$，连接OA.求证:$AB=AC$.

10.$\because OE⊥AB$,$OF⊥AC$,$\therefore ∠AEO=∠AFO=90^{\circ }$,在$\mathrm{Rt}△AEO$和$\mathrm{Rt}△AFO$中,$\because \begin{cases} AO=AO,\\ OE=OF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△AEO≌\mathrm{Rt}△AFO(\mathrm{HL})$,$\therefore AE=AF$,在$\mathrm{Rt}△BEO$和$\mathrm{Rt}△CFO$中,$\because \begin{cases} OB=OC,\\ OE=OF, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△BEO≌\mathrm{Rt}△CFO(\mathrm{HL})$,$\therefore BE=CF$,$\therefore AE+BE=AF+CF$,即$AB=AC$

【分析】
要证明$AB=AC$，可将$AB$拆分为$AE+BE$，$AC$拆分为$AF+CF$，只需证明$AE=AF$且$BE=CF$即可。已知图中存在多组直角三角形，结合给出的斜边、直角边相等的条件，可通过“HL”定理分别证明两组直角三角形全等，得到对应边相等后，再通过线段和的运算即可推导得出结论。
【解析】
$\because OE⊥AB$,$OF⊥AC$,
$\therefore ∠AEO=∠AFO=90^{\circ }$,
在$\mathrm{Rt}△AEO$和$\mathrm{Rt}△AFO$中,
$\because \begin{cases} AO=AO,\\ OE=OF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△AEO≌\mathrm{Rt}△AFO(\mathrm{HL})$,
$\therefore AE=AF$,
在$\mathrm{Rt}△BEO$和$\mathrm{Rt}△CFO$中,
$\because \begin{cases} OB=OC,\\ OE=OF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BEO≌\mathrm{Rt}△CFO(\mathrm{HL})$,
$\therefore BE=CF$,
$\therefore AE+BE=AF+CF$,即$AB=AC$。
【答案】
$AB=AC$，得证。
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；线段和差运算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用类题目，需要结合已知条件合理选择全等判定定理，通过两次证明直角三角形全等得到对应边相等，再结合线段和的关系推导最终结论，解题时注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.7

11.(创新思维)如图,四边形ABCD中,AB=AC,∠D=90°,BE⊥AC于点F,交CD于点E,连接EA,EA平分∠DEF.若BF=7,DE=3,求CE的长.

11.$\because AF⊥EF$,$∠D=90^{\circ }$,$\therefore ∠AFE=∠D=90^{\circ }$,$\because EA$平分$∠DEF$,$\therefore ∠AEF=∠AED$,在$△AEF$和$△AED$中,$\begin{cases} ∠AFE=∠D,\\ ∠AEF=∠AED,\\ AE=AE, \end{cases}$$\therefore △AEF≌△AED(\mathrm{AAS})$,$\therefore AF=AD$,在$\mathrm{Rt}△ABF$和$\mathrm{Rt}△ACD$中,$\begin{cases} AB=AC,\\ AF=AD, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△ACD(\mathrm{HL})$,$\therefore CD=BF=7$,$\because DE=3$,$\therefore CE=CD-DE=7-3=4$

【分析】
解题时从已知条件入手推导：首先观察到EA平分∠DEF，且∠D、∠AFE均为直角，还有公共边AE，可先通过AAS证明△AEF和△AED全等，得到对应边AF=AD；再结合已知AB=AC，△ABF和△ACD都是直角三角形，满足HL判定的条件，证明这两个直角三角形全等，即可得到CD和BF的等量关系；最后用CD的长度减去DE的长度就能求出CE的长。
【解析】
$\because BE⊥AC$，$∠ D=90^{\circ }$，$\therefore ∠ AFE=∠ D=90^{\circ }$，
$\because EA$平分$∠ DEF$，$\therefore ∠ AEF=∠ AED$，
在$△ AEF$和$△ AED$中，
$\begin{cases} ∠ AFE=∠ D\\ ∠ AEF=∠ AED\\ AE=AE \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ AED(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AF=AD$，
在$\mathrm{Rt}△ABF$和$\mathrm{Rt}△ACD$中，
$\begin{cases} AB=AC\\ AF=AD \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△ACD(\mathrm{HL})$，
$\therefore CD=BF=7$，
$\because DE=3$，
$\therefore CE=CD-DE=7-3=4$
【答案】
$4$
【知识点】
全等三角形判定与性质、角平分线的定义、HL判定定理
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，核心是通过两次证明三角形全等得到对应边的等量关系，解题时需要结合题干给出的角平分线、垂直、边相等等条件，准确选择全等判定定理推导所需的边相等关系。
【难度系数】
0.6