1.(2025·新昌期末)如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,若添加条件∠ABC=∠ADC=90°来判定△ABC≌△ADC,其判定的依据是 ()

A.SSS
B.ASA
C.HL
D.AAS

第1题图 第2题图

1.C

【分析】
解题时首先根据已知的90°角判定两个三角形均为直角三角形，再梳理已知的边相等条件：已知直角边AB=AD，两个三角形共有的斜边AC相等；回忆直角三角形全等的专属判定定理HL（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），即可匹配到对应的判定依据。
【解析】
解：
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴△ABC和△ADC都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ADC$中：
$\begin{cases}AB=AD(\mathrm{已知}) \\AC=AC(\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL})$，即判定依据为HL。
【答案】
C
【知识点】
HL定理，全等三角形判定
【点评】
本题属于全等判定的基础考题，解题的关键是先识别出三角形为直角三角形，区分直角三角形专属判定定理和一般三角形全等判定定理的适用场景，避免混淆HL和AAS的使用条件。
【难度系数】
0.9

2. 现实生活(2025·旌阳期末)如图，用三角尺可按下面的方法画角平分线：在$∠ AOB$的两边上，分别取$OM=ON$，再分别过点$M$，$N$作$OA$，$OB$的垂线，交点为$P$，画射线$OP$，通过证明$△ OMP ≌ △ ONP$可以说明$OP$是$∠ AOB$的角平分线，那么$△ OMP ≌ △ ONP$的依据是。

2.HL

【分析】
解题时首先结合作图条件确定三角形的类型：由过M、N分别作OA、OB的垂线，可知△OMP和△ONP都是直角三角形；再找两个三角形的相等边：已知OM=ON，且OP是两个三角形的公共斜边，对应相等。结合直角三角形全等的特殊判定定理，即可确定全等的依据。
【解析】
由作图可知：$PM ⊥ OA$，$PN ⊥ OB$，
$\therefore ∠ OMP = ∠ ONP = 90°$，即$△ OMP$和$△ ONP$均为直角三角形。
在$Rt△ OMP$和$Rt△ ONP$中：
$\begin{cases}OM=ON（已知）\\OP=OP（公共边）\end{cases}$
$\therefore Rt△ OMP ≌ Rt△ ONP（HL）$
【答案】
HL
【知识点】
HL判定定理，垂线的定义，全等三角形判定
【点评】
本题结合作角平分线的实际操作，考查直角三角形全等的判定，需要先明确三角形为直角三角形，再匹配对应相等的边的条件，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.9

3.(演绎推理)如图，$ED⊥ AB$，$FC⊥ AB$，垂足分别为$D$，$C$，$AC=BD$，$AE=BF$.求证：$AE// BF$.

3.$\because ED⊥AB,FC⊥AB,\therefore ∠ADE=∠BCF=90^{\circ },\because AC=BD,\therefore AC+CD=BD+CD$,即$AD=BC$,在$\mathrm{Rt}△ADE$和$\mathrm{Rt}△BCF$中,$\begin{cases} AE=BF,\\ AD=BC, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ADE≌\mathrm{Rt}△BCF(\mathrm{HL}),\therefore ∠A=∠B,\therefore AE// BF$

【分析】
要证明$AE// BF$，根据平行线的判定规则，只需证明内错角$∠ A=∠ B$即可。观察图形可知$∠ A$、$∠ B$分别属于$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ BCF$，已知斜边$AE=BF$，只需再证明一组直角边相等即可证两三角形全等，得到对应角相等。由已知$AC=BD$，根据等式性质可推出$AC+CD=BD+CD$，即$AD=BC$，满足HL判定直角三角形全等的条件，按此思路逐步推导即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because ED⊥ AB,FC⊥ AB$，
$\therefore ∠ ADE=∠ BCF=90°$，
$\because AC=BD$，
$\therefore AC+CD=BD+CD$，即$AD=BC$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ BCF$中，
$\begin{cases} AE=BF \\ AD=BC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ BCF(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ A=∠ B$，
$\therefore AE// BF$。
【答案】
$AE// BF$，得证。
【知识点】
HL判定三角形全等；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先通过线段和差得到相等的直角边，再利用HL证明直角三角形全等，借助全等的性质得到内错角相等，最终推出两直线平行，能有效锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

4.下列说法:①两条直角边分别相等的两个直角三角形全等;②两个锐角分别相等的两个直角三角形全等;③斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等;④斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.其中所有正确结论的序号是.

4.①③④

【分析】
解题时首先回忆全等三角形的判定规则：普通三角形全等可通过SSS、SAS、ASA、AAS判定，直角三角形除上述规则外，还有特殊的HL（斜边、直角边）判定定理，且全等判定必须有对应边相等的条件，仅角相等无法判定全等。接下来逐一验证4个结论是否符合判定规则即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①两条直角边分别相等的两个直角三角形：直角是两条直角边的夹角，满足SAS（边角边）全等判定条件，因此这两个直角三角形全等，①正确；
②两个锐角分别相等的两个直角三角形：只有角对应相等，没有对应边相等的条件，只能说明两个三角形形状相同，大小不一定相同，例如大的等腰直角三角形和小的等腰直角三角形，锐角都是45°但不全等，因此②错误；
③斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形：两个三角形的直角相等，加上已知的一组锐角相等、斜边相等，满足AAS（角角边）全等判定条件，因此这两个直角三角形全等，③正确；
④斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形：符合直角三角形特有的HL（斜边、直角边）全等判定定理，因此这两个直角三角形全等，④正确。
综上，正确结论的序号是①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
全等三角形判定，HL判定定理
【点评】
本题是基础概念考查题，需要区分全等和相似的判定差异，牢记判定全等必须有边参与，同时熟练掌握直角三角形的各类全等判定方法，不要遗漏HL这个特殊判定规则。
【难度系数】
0.8

5.(2024·海州期末)如图，AC⊥CF于点C，DF⊥CF于点F，AB与DE交于点O，且EC=BF，AB=DE.求证:AE=DB.

5.$\because EC=BF,\therefore EC+EB=BF+EB$,即$CB=FE$,$\because AC⊥CF$于点$C$,$DF⊥CF$于点$F$,$\therefore ∠ACB=∠DFE=90^{\circ }$.在$\mathrm{Rt}△ACB$和$\mathrm{Rt}△DFE$中,$\begin{cases} AB=DE,\\ CB=FE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ACB≌\mathrm{Rt}△DFE(\mathrm{HL}),\therefore ∠ABE=∠DEB$,在$△AEB$和$△DBE$中,$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠ABE=∠DEB,\\ BE=EB, \end{cases}$$\therefore △AEB≌△DBE(\mathrm{SAS}),\therefore AE=DB$

【分析】
要证明$AE=DB$，可通过证明$AE$、$DB$所在的$△ AEB$和$△ DBE$全等得到。要证这两个三角形全等，已知$AB=DE$，且$BE$是公共边，因此还需要证明二者的夹角$∠ ABE=∠ DEB$。要得到这组等角，可先证明$\mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ DFE$：已知$EC=BF$，给两边同时加$EB$即可得到$CB=FE$，结合已知的$AB=DE$、两个直角的条件，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到$∠ ABE=∠ DEB$，进而即可完成后续证明。
【解析】
证明：
$\because EC=BF$，
$\therefore EC+EB=BF+EB$，即$CB=FE$，
$\because AC⊥ CF$于点$C$，$DF⊥ CF$于点$F$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DFE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ACB$和$\mathrm{Rt}△DFE$中，
$\begin{cases} AB=DE,\\ CB=FE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ACB≌\mathrm{Rt}△DFE(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ ABE=∠ DEB$，
在$△AEB$和$△DBE$中，
$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠ ABE=∠ DEB,\\ BE=EB, \end{cases}$
$\therefore △AEB≌△DBE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE=DB$。
【答案】
$AE=DB$
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. SAS判定三角形全等
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的综合应用类基础题，解题时可从结论出发倒推需要的证明条件，再结合已知条件逐步推导得到所需结论，是几何证明的典型题型。
【难度系数】
0.7

6.如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC于点E.△ABC的周长为14，△ADE的周长为8.则BC的长为.

6.3

【分析】
解题时首先连接辅助线BE，结合已知的直角条件和BC=BD的相等边，可通过“HL”定理证明Rt△BCE和Rt△BDE全等，得到CE=DE的等量关系；再将两个三角形的周长展开，通过等量代换消去公共的线段部分，即可建立只含BC的等式求解。
【解析】
连接BE。
∵ DE⊥AB，∠C=90°，
∴ ∠BDE=∠C=90°，△BCE和△BDE均为直角三角形。
在Rt△BCE和Rt△BDE中：
$\{\begin{array}{l}BE=BE\quad(\mathrm{公共边})\\BC=BD\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴ Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴ CE=DE。
∵ △ABC的周长为14，
∴ $AB+BC+AC=14$，
∵ △ADE的周长为8，
∴ $AD+DE+AE=8$，
将$DE=CE$代入上式得：$AD+CE+AE=AD+(CE+AE)=AD+AC=8$。
又
∵ $AB=AD+BD$，且$BD=BC$，
∴ $AB=AD+BC$，将其代入△ABC的周长公式：
$AD+BC + BC + AC=14$，即$2BC + (AD+AC)=14$，
把$AD+AC=8$代入得：$2BC +8=14$，
解得$BC=3$。
【答案】
3
【知识点】
HL全等判定，全等三角形性质，三角形周长计算
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的判定及线段的等量代换，构造辅助线证明全等是解题的突破口，通过周长公式转化线段关系的方法在几何计算中经常用到，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6