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1.(2025·大连普兰店区期末)边长分别为a和b的两个正方形如图所示,则阴影部分的面积是 (
A.$(a-b)^2$
B.$\frac{1}{2}(a^2 + b^2 + ab)$
C.$\frac{1}{2}(a - b)^2$
D.$\frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)$
D
)A.$(a-b)^2$
B.$\frac{1}{2}(a^2 + b^2 + ab)$
C.$\frac{1}{2}(a - b)^2$
D.$\frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)$
答案
1.D
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可采用“整体面积减去空白部分面积”的思路求解。第一步先计算两个正方形的总面积作为整体面积；第二步识别两个空白三角形的形状，分别计算它们的面积；第三步用总面积减去两个空白三角形的面积，最后化简代数式得到结果，再匹配选项即可。
【解析】
解：首先计算两个正方形的总面积：
$S_{\mathrm{总}} = a^2 + b^2$
空白部分包含两个三角形：
1. 大正方形内的空白等腰直角三角形，两条直角边长度均为$a$，面积为：
$S_1 = \frac{1}{2}a · a = \frac{1}{2}a^2$
2. 右下角的空白三角形，底长为$a+b$，高为$b$，面积为：
$S_2 = \frac{1}{2} · b · (a + b) = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2$
因此阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴}} &= S_{\mathrm{总}} - S_1 - S_2 \\&= a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - ( \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 ) \\&= \frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 \\&= \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab \\&= \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算，三角形面积计算，整式化简
【点评】
本题是不规则图形面积计算的常见题型，采用整体减空白的方法能有效降低解题难度，解题时需注意准确判断空白三角形的底和高，避免因边的长度判断错误导致计算失误，同时要熟练掌握整式的加减运算法则，确保化简正确。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，可采用“整体面积减去空白部分面积”的思路求解。第一步先计算两个正方形的总面积作为整体面积；第二步识别两个空白三角形的形状，分别计算它们的面积；第三步用总面积减去两个空白三角形的面积，最后化简代数式得到结果，再匹配选项即可。
【解析】
解：首先计算两个正方形的总面积：
$S_{\mathrm{总}} = a^2 + b^2$
空白部分包含两个三角形：
1. 大正方形内的空白等腰直角三角形，两条直角边长度均为$a$，面积为：
$S_1 = \frac{1}{2}a · a = \frac{1}{2}a^2$
2. 右下角的空白三角形，底长为$a+b$，高为$b$，面积为：
$S_2 = \frac{1}{2} · b · (a + b) = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2$
因此阴影部分面积为：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴}} &= S_{\mathrm{总}} - S_1 - S_2 \\&= a^2 + b^2 - \frac{1}{2}a^2 - ( \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2 ) \\&= \frac{1}{2}a^2 + b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 \\&= \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab \\&= \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算，三角形面积计算，整式化简
【点评】
本题是不规则图形面积计算的常见题型，采用整体减空白的方法能有效降低解题难度，解题时需注意准确判断空白三角形的底和高，避免因边的长度判断错误导致计算失误，同时要熟练掌握整式的加减运算法则，确保化简正确。
【难度系数】
0.7
2.(2025·大连中山区期末)如图,从边长为$a+4$的正方形纸片中剪去一个边长为4的正方形,剩余部分沿虚线剪开后拼成一个如图所示的长方形(不重叠、无缝隙),则拼成的长方形的面积是 (
A.$a^2 +4a$
B.$2a^2 +8a$
C.$2a^2 +4a$
D.$a^2 +8a$
D
)A.$a^2 +4a$
B.$2a^2 +8a$
C.$2a^2 +4a$
D.$a^2 +8a$
答案
2.D
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住图形剪拼前后总面积不变的特点，有两种常用解题思路：一是先计算原大正方形的面积，减去剪掉的小正方形面积，得到的剩余面积就是拼成的长方形的面积；二是先确定拼成的长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算。本题用面积差结合平方差公式计算更简便，符合当前学段的知识要求。
【解析】
已知原正方形纸片的边长为$a+4$，根据正方形面积公式，原正方形面积为$(a+4)^2$；
剪去的正方形边长为4，面积为$4^2=16$。
由于剪拼过程中无重叠、无缝隙，总面积不变，因此拼成的长方形面积等于剩余部分的面积，即：
$\begin{aligned}S&=(a+4)^2 - 4^2\\&=a^2 + 8a + 16 - 16\\&=a^2 +8a\end{aligned}$
也可利用平方差公式直接计算：$(a+4)^2 -4^2=(a+4-4)(a+4+4)=a(a+8)=a^2+8a$。
【答案】
D
【知识点】
面积守恒原理，平方差公式，正方形面积计算
【点评】
本题是乘法公式几何背景的典型习题，通过图形剪拼的形式考查对面积不变性的理解和平方差公式的应用，解题时不需要局限于拼接后图形的参数计算，用面积差法能更快得到结果。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是抓住图形剪拼前后总面积不变的特点，有两种常用解题思路：一是先计算原大正方形的面积，减去剪掉的小正方形面积，得到的剩余面积就是拼成的长方形的面积；二是先确定拼成的长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算。本题用面积差结合平方差公式计算更简便，符合当前学段的知识要求。
【解析】
已知原正方形纸片的边长为$a+4$，根据正方形面积公式，原正方形面积为$(a+4)^2$；
剪去的正方形边长为4，面积为$4^2=16$。
由于剪拼过程中无重叠、无缝隙，总面积不变，因此拼成的长方形面积等于剩余部分的面积，即：
$\begin{aligned}S&=(a+4)^2 - 4^2\\&=a^2 + 8a + 16 - 16\\&=a^2 +8a\end{aligned}$
也可利用平方差公式直接计算：$(a+4)^2 -4^2=(a+4-4)(a+4+4)=a(a+8)=a^2+8a$。
【答案】
D
【知识点】
面积守恒原理，平方差公式，正方形面积计算
【点评】
本题是乘法公式几何背景的典型习题，通过图形剪拼的形式考查对面积不变性的理解和平方差公式的应用，解题时不需要局限于拼接后图形的参数计算，用面积差法能更快得到结果。
【难度系数】
0.7
3.(2025·大连沙河口区期末)由一个长方形和两个正方形组成的图形如图所示，其中长方形的长为a、宽为b.若$a+b=6$，$ab=6$，则图中两个正方形的面积之和是
24
。答案
3.24
解析
【分析】
解题时首先观察图形，可得两个正方形的面积和可表示为$a^2+b^2$。已知$a+b$和$ab$的取值，可利用完全平方和公式的变形$a^2 + b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知数值即可求出最终结果。
【解析】
由图形可知，两个正方形的面积和为$a^2 + b^2$。
根据完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=6$，$ab=6$代入上式：
原式$=6^2 - 2×6=36-12=24$
【答案】
24
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，代数式求值
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的变形应用，解题关键是正确推导面积和的表达式，熟练掌握完全平方公式的变形形式，是乘法公式几何背景类的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，可得两个正方形的面积和可表示为$a^2+b^2$。已知$a+b$和$ab$的取值，可利用完全平方和公式的变形$a^2 + b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知数值即可求出最终结果。
【解析】
由图形可知，两个正方形的面积和为$a^2 + b^2$。
根据完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=6$，$ab=6$代入上式：
原式$=6^2 - 2×6=36-12=24$
【答案】
24
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，代数式求值
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的变形应用，解题关键是正确推导面积和的表达式，熟练掌握完全平方公式的变形形式，是乘法公式几何背景类的典型常考题。
【难度系数】
0.7
4.(2025·大连普兰店区期末)我们已经知道,通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.
例如,如图1,可以根据面积相等得到公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
(1)利用公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$解答下列问题:
①若$xy=6,x^2+y^2=13$,求$(x+y)^2$的值;
②若$x(7-x)=10$,求$x^2+(7-x)^2$的值.
(2)如图2,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,已知$AC⊥BD$,$OA=OD$,$OB=OC$.若$BD=8$,$S_{△ AOD}+S_{△ BOC}=17$,求$△ AOB$的面积.
例如,如图1,可以根据面积相等得到公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
(1)利用公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$解答下列问题:
①若$xy=6,x^2+y^2=13$,求$(x+y)^2$的值;
②若$x(7-x)=10$,求$x^2+(7-x)^2$的值.
(2)如图2,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,已知$AC⊥BD$,$OA=OD$,$OB=OC$.若$BD=8$,$S_{△ AOD}+S_{△ BOC}=17$,求$△ AOB$的面积.
答案
4.(1)①25 ②29 (2)$\frac{15}{2}$
解析
【分析】
（1）①直接利用完全平方公式的展开式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将已知的$x^2+y^2=13$和$xy=6$整体代入即可求解。
②将$x$和$(7-x)$看作完全平方公式中的两个数，利用变形公式$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$计算，先确定$x+(7-x)=7$、$x(7-x)=10$，代入变形公式即可得到结果。
（2）根据$AC⊥BD$可知四个三角形均为直角三角形，设$OA=OD=m$，$OB=OC=n$：由$BD=8$可得$m+n=8$；由$S_{△ AOD}+S_{△ BOC}=17$结合直角三角形面积公式可得$m^2+n^2=34$。再利用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$求出$mn$的值，最终代入$△ AOB$的面积公式$\frac{1}{2}mn$即可求解。
【解析】
(1)①根据完全平方公式可得：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
将$xy=6$，$x^2+y^2=13$代入上式：
原式$=13+2×6=25$
②设$a=x$，$b=7-x$，则$a+b=7$，$ab=x(7-x)=10$
根据完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
代入数值计算：
$x^2+(7-x)^2=7^2-2×10=29$
(2)设$OA=OD=m$，$OB=OC=n$
$\because AC⊥BD$，$\therefore △ AOD、△ BOC、△ AOB$均为直角三角形
$\because BD=OD+OB=8$，$\therefore m+n=8$
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}m^2$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}n^2$，由$S_{△ AOD}+S_{△ BOC}=17$得：
$\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}n^2=17$，整理得$m^2+n^2=34$
将$m+n=8$、$m^2+n^2=34$代入完全平方公式：
$8^2=34+2mn$，解得$mn=15$
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}mn=\frac{15}{2}$
【答案】
(1)①$\boxed{25}$；②$\boxed{29}$
(2)$\boxed{\dfrac{15}{2}}$
【知识点】
完全平方公式，直角三角形面积计算，乘法公式应用
【点评】
本题将代数乘法公式与几何图形相结合，既考查了完全平方公式的变形运用能力，也考查了结合几何性质提取数量关系的能力，解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形，学会将几何面积关系转化为代数关系求解。
【难度系数】
0.7
（1）①直接利用完全平方公式的展开式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将已知的$x^2+y^2=13$和$xy=6$整体代入即可求解。
②将$x$和$(7-x)$看作完全平方公式中的两个数，利用变形公式$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$计算，先确定$x+(7-x)=7$、$x(7-x)=10$，代入变形公式即可得到结果。
（2）根据$AC⊥BD$可知四个三角形均为直角三角形，设$OA=OD=m$，$OB=OC=n$：由$BD=8$可得$m+n=8$；由$S_{△ AOD}+S_{△ BOC}=17$结合直角三角形面积公式可得$m^2+n^2=34$。再利用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$求出$mn$的值，最终代入$△ AOB$的面积公式$\frac{1}{2}mn$即可求解。
【解析】
(1)①根据完全平方公式可得：
$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
将$xy=6$，$x^2+y^2=13$代入上式：
原式$=13+2×6=25$
②设$a=x$，$b=7-x$，则$a+b=7$，$ab=x(7-x)=10$
根据完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
代入数值计算：
$x^2+(7-x)^2=7^2-2×10=29$
(2)设$OA=OD=m$，$OB=OC=n$
$\because AC⊥BD$，$\therefore △ AOD、△ BOC、△ AOB$均为直角三角形
$\because BD=OD+OB=8$，$\therefore m+n=8$
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}m^2$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}n^2$，由$S_{△ AOD}+S_{△ BOC}=17$得：
$\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}n^2=17$，整理得$m^2+n^2=34$
将$m+n=8$、$m^2+n^2=34$代入完全平方公式：
$8^2=34+2mn$，解得$mn=15$
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}mn=\frac{15}{2}$
【答案】
(1)①$\boxed{25}$；②$\boxed{29}$
(2)$\boxed{\dfrac{15}{2}}$
【知识点】
完全平方公式，直角三角形面积计算，乘法公式应用
【点评】
本题将代数乘法公式与几何图形相结合，既考查了完全平方公式的变形运用能力，也考查了结合几何性质提取数量关系的能力，解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形，学会将几何面积关系转化为代数关系求解。
【难度系数】
0.7
