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5.(2025·大连高新区期末)如图,正方形ABCD的边长为$a+1$,正方形AEFG的边长为$a$,图中阴影部分的面积可以用正方形ABCD的面积与正方形AEFG的面积的差来计算,也可以用长方形BEFH的面积与长方形CDGH的面积的和来计算.
(1)根据图中阴影部分面积的不同计算方式,请直接写出$(a+1)^2,a^2,2a+1$之间的等量关系.
(2)根据(1)中得到的等量关系,解决下列问题:
①计算:$2025^2 - 2024^2 - 2023^2 + 2022^2$;
②若$(x-100)^2 - (x-101)^2 = 2025$,求$x$的值.
(1)根据图中阴影部分面积的不同计算方式,请直接写出$(a+1)^2,a^2,2a+1$之间的等量关系.
(2)根据(1)中得到的等量关系,解决下列问题:
①计算:$2025^2 - 2024^2 - 2023^2 + 2022^2$;
②若$(x-100)^2 - (x-101)^2 = 2025$,求$x$的值.
答案
5.(1)$(a+1)^2 - a^2 = 2a + 1$ (2)①4 ②1113
解析
【分析】
(1) 首先分别用两种方式表示阴影部分面积：第一种是大正方形ABCD的面积减去小正方形AEFG的面积，即$(a+1)^2 - a^2$；第二种是两个阴影长方形的面积之和，长方形BEFH的长为$a$、宽为1，面积为$a$，长方形CDGH的长为$a+1$、宽为1，面积为$a+1$，二者相加得$2a+1$，两个式子都表示阴影面积，因此相等即可得到等量关系。
(2) ① 观察算式结构，将相邻两项分组，分别套用(1)得到的等量关系化简，再计算即可。② 将$(x-100)$看作$a+1$，$(x-101)$看作$a$，直接套用(1)的等量关系列一元一次方程，求解即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 阴影部分面积 = 正方形ABCD面积 - 正方形AEFG面积 = $(a+1)^2 - a^2$，
同时阴影部分面积 = 长方形BEFH面积 + 长方形CDGH面积 = $a×1 + (a+1)×1=2a+1$，
因此可得等量关系：$(a+1)^2 - a^2 = 2a+1$。
(2) ① 根据(1)的结论$n^2-(n-1)^2=2(n-1)+1$，对算式分组计算：
$\begin{aligned}&2025^2 - 2024^2 - 2023^2 + 2022^2\\=&(2025^2 - 2024^2) - (2023^2 - 2022^2)\\=&(2×2024+1) - (2×2022+1)\\=&4049 - 4045\\=&4\end{aligned}$
② 设$a=x-101$，则$a+1=x-100$，代入(1)的等量关系可得：
$(x-100)^2 - (x-101)^2=2(x-101)+1$，
结合题意列方程：
$2(x-101)+1=2025$，
去括号得$2x-202+1=2025$，
整理得$2x=2226$，
解得$x=1113$。
【答案】
(1) $(a+1)^2 - a^2 = 2a+1$
(2) ① $\boldsymbol{4}$；② $\boldsymbol{x=1113}$
【知识点】
平方差公式的几何背景；整式化简求值；解一元一次方程
【点评】
本题借助几何图形面积的不同表示方法推导得到平方差变形公式，再利用公式进行简便计算与解方程，考查了数形结合思想的应用，熟练掌握公式结构是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 首先分别用两种方式表示阴影部分面积：第一种是大正方形ABCD的面积减去小正方形AEFG的面积，即$(a+1)^2 - a^2$；第二种是两个阴影长方形的面积之和，长方形BEFH的长为$a$、宽为1，面积为$a$，长方形CDGH的长为$a+1$、宽为1，面积为$a+1$，二者相加得$2a+1$，两个式子都表示阴影面积，因此相等即可得到等量关系。
(2) ① 观察算式结构，将相邻两项分组，分别套用(1)得到的等量关系化简，再计算即可。② 将$(x-100)$看作$a+1$，$(x-101)$看作$a$，直接套用(1)的等量关系列一元一次方程，求解即可得到$x$的值。
【解析】
(1) 阴影部分面积 = 正方形ABCD面积 - 正方形AEFG面积 = $(a+1)^2 - a^2$，
同时阴影部分面积 = 长方形BEFH面积 + 长方形CDGH面积 = $a×1 + (a+1)×1=2a+1$，
因此可得等量关系：$(a+1)^2 - a^2 = 2a+1$。
(2) ① 根据(1)的结论$n^2-(n-1)^2=2(n-1)+1$，对算式分组计算：
$\begin{aligned}&2025^2 - 2024^2 - 2023^2 + 2022^2\\=&(2025^2 - 2024^2) - (2023^2 - 2022^2)\\=&(2×2024+1) - (2×2022+1)\\=&4049 - 4045\\=&4\end{aligned}$
② 设$a=x-101$，则$a+1=x-100$，代入(1)的等量关系可得：
$(x-100)^2 - (x-101)^2=2(x-101)+1$，
结合题意列方程：
$2(x-101)+1=2025$，
去括号得$2x-202+1=2025$，
整理得$2x=2226$，
解得$x=1113$。
【答案】
(1) $(a+1)^2 - a^2 = 2a+1$
(2) ① $\boldsymbol{4}$；② $\boldsymbol{x=1113}$
【知识点】
平方差公式的几何背景；整式化简求值；解一元一次方程
【点评】
本题借助几何图形面积的不同表示方法推导得到平方差变形公式，再利用公式进行简便计算与解方程，考查了数形结合思想的应用，熟练掌握公式结构是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 已知$△ ABC$，分别以$AB$，$AC$为直角边向$△ ABC$两侧作等腰直角三角形$ABE$和等腰直角三角形$ACD$，其中$∠ BAE = ∠ CAD = 90°$.
(1)如图1，若$∠ BAC = 90°$，$△ ABC$的面积为6，$△ ABE$和$△ ACD$的面积之和为20，求线段$CE$的长.
(2)如图2，若$DC$与$BC$在同一直线上，连接$CE$，延长$DA$与$CE$交于点$F$，在$AE$上截取$AG=AF$，连接$BG$.若$△ ABE$和$△ ACD$的面积之和为13，$△ ABG$的面积为6，求线段$EG$的长.
(1)如图1，若$∠ BAC = 90°$，$△ ABC$的面积为6，$△ ABE$和$△ ACD$的面积之和为20，求线段$CE$的长.
(2)如图2，若$DC$与$BC$在同一直线上，连接$CE$，延长$DA$与$CE$交于点$F$，在$AE$上截取$AG=AF$，连接$BG$.若$△ ABE$和$△ ACD$的面积之和为13，$△ ABG$的面积为6，求线段$EG$的长.
答案
6.(1)8 (2)$\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 先根据等腰直角三角形的面积公式得到AB与AC的平方和，再结合△ABC的面积得到AB与AC的乘积；由等腰直角三角形性质得AE=AB，结合∠BAC和∠BAE均为90°可知E、A、C共线，CE=AE+AC，最后利用完全平方公式计算CE的平方即可得到CE的长度。
(2) 先由两个等腰直角三角形的面积和得到AB与AC的平方和；由∠BAE=90°可知△ABG为直角三角形，结合其面积得到AB与AG的乘积；再根据角度关系推导得△AFC为等腰直角三角形，可得AF=AC，结合AG=AF得AG=AC；最后EG=AE-AG=AB-AC，利用完全平方公式计算EG的平方再开方即可。
【解析】
(1) 设$AB=a$，$AC=b$。
∵△ABE和△ACD均为等腰直角三角形，$∠ BAE=∠ CAD=90°$，
∴$AE=AB=a$，$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}a^2$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}b^2$。
由题意得$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=20$，化简得$a^2+b^2=40$。
∵$∠ BAC=90°$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=6$，
∴$ab=12$。
∵$∠ BAE=∠ BAC=90°$，
∴E、A、C三点共线，$CE=AE+AC=a+b$。
∴$CE^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=40+2×12=64$，
∵$CE＞0$，
∴$CE=8$。
(2) 设$AB=m$，$AC=n$。
∵△ABE和△ACD均为等腰直角三角形，$∠ BAE=∠ CAD=90°$，
∴$AE=AB=m$，$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}m^2$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}n^2$。
由题意得$\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}n^2=13$，化简得$m^2+n^2=26$。
∵DC与BC共线，△ACD为等腰直角三角形，
∴$∠ ACD=45°$，
∴$∠ ACB=180°-45°=135°$。
易证$△ EAC≌△ BAD$（SAS），得$∠ ACE=∠ ADC=45°$。
∵延长DA交CE于F，$∠ CAD=90°$，
∴$∠ CAF=90°$，
∴△AFC为等腰直角三角形，$AF=AC=n$。
∵$AG=AF$，
∴$AG=n$。
∵$∠ BAE=90°$，即$AB⊥ AE$，
∴$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}· AB· AG=\frac{1}{2}mn=6$，得$mn=12$。
∵$EG=AE-AG=m-n$，
∴$EG^2=(m-n)^2=m^2-2mn+n^2=26-2×12=2$，
∵$EG＞0$，
∴$EG=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{2}}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，完全平方公式，三角形面积计算
【点评】
本题将几何图形性质与代数公式结合考查，解题关键是把面积条件转化为线段的平方和、乘积关系，再借助完全平方公式求解未知线段，需要掌握条件转化的技巧，兼顾几何性质与代数运算的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 先根据等腰直角三角形的面积公式得到AB与AC的平方和，再结合△ABC的面积得到AB与AC的乘积；由等腰直角三角形性质得AE=AB，结合∠BAC和∠BAE均为90°可知E、A、C共线，CE=AE+AC，最后利用完全平方公式计算CE的平方即可得到CE的长度。
(2) 先由两个等腰直角三角形的面积和得到AB与AC的平方和；由∠BAE=90°可知△ABG为直角三角形，结合其面积得到AB与AG的乘积；再根据角度关系推导得△AFC为等腰直角三角形，可得AF=AC，结合AG=AF得AG=AC；最后EG=AE-AG=AB-AC，利用完全平方公式计算EG的平方再开方即可。
【解析】
(1) 设$AB=a$，$AC=b$。
∵△ABE和△ACD均为等腰直角三角形，$∠ BAE=∠ CAD=90°$，
∴$AE=AB=a$，$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}a^2$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}b^2$。
由题意得$\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=20$，化简得$a^2+b^2=40$。
∵$∠ BAC=90°$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=6$，
∴$ab=12$。
∵$∠ BAE=∠ BAC=90°$，
∴E、A、C三点共线，$CE=AE+AC=a+b$。
∴$CE^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=40+2×12=64$，
∵$CE＞0$，
∴$CE=8$。
(2) 设$AB=m$，$AC=n$。
∵△ABE和△ACD均为等腰直角三角形，$∠ BAE=∠ CAD=90°$，
∴$AE=AB=m$，$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}m^2$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}n^2$。
由题意得$\frac{1}{2}m^2+\frac{1}{2}n^2=13$，化简得$m^2+n^2=26$。
∵DC与BC共线，△ACD为等腰直角三角形，
∴$∠ ACD=45°$，
∴$∠ ACB=180°-45°=135°$。
易证$△ EAC≌△ BAD$（SAS），得$∠ ACE=∠ ADC=45°$。
∵延长DA交CE于F，$∠ CAD=90°$，
∴$∠ CAF=90°$，
∴△AFC为等腰直角三角形，$AF=AC=n$。
∵$AG=AF$，
∴$AG=n$。
∵$∠ BAE=90°$，即$AB⊥ AE$，
∴$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}· AB· AG=\frac{1}{2}mn=6$，得$mn=12$。
∵$EG=AE-AG=m-n$，
∴$EG^2=(m-n)^2=m^2-2mn+n^2=26-2×12=2$，
∵$EG＞0$，
∴$EG=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{8}$；(2) $\boldsymbol{\sqrt{2}}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，完全平方公式，三角形面积计算
【点评】
本题将几何图形性质与代数公式结合考查，解题关键是把面积条件转化为线段的平方和、乘积关系，再借助完全平方公式求解未知线段，需要掌握条件转化的技巧，兼顾几何性质与代数运算的应用。
【难度系数】
0.6
