1.下列关于$x$的方程中,是分式方程的是（）

A.$\frac{x}{2} - 3 = \frac{x}{5}$
B.$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 5$
C.$\frac{x-2}{π}=1$
D.$\frac{1}{2+x}=\frac{2}{x}$

1.D

【分析】
解本题的核心是掌握分式方程的判定依据：分母中含有未知数的方程是分式方程。解题时先明确判断标准，再逐一排查每个选项的分母是否含未知数即可，注意π是固定的常数，不是未知数，不要误判。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，逐项分析：
A选项：方程$\frac{x}{2} - 3 = \frac{x}{5}$的分母为2、5，都是常数，属于整式方程，不符合题意；
B选项：方程$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}y = 5$的分母为2、3，都是常数，属于整式方程，不符合题意；
C选项：方程$\frac{x-2}{π}=1$的分母为π，π是固定的常数，因此该方程是整式方程，不符合题意；
D选项：方程$\frac{1}{2+x}=\frac{2}{x}$的分母为$2+x$、$x$，均含有未知数x，属于分式方程，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念题，主要考查分式方程的判断，解题时要紧扣定义，注意区分常数和未知数，尤其要牢记π是常数，避免不必要的失分。
【难度系数】
0.9

2.方程$\frac{2}{x+3}=1$的解是 （）

A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x=5$
D.$x=-5$

2.B

【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路可分为三步：第一步先去分母，将分式方程转化为我们熟悉的整式方程，转化时要注意给方程两边同时乘各分母的最简公分母，同时要注意分母不能为0的隐含条件；第二步解得到的整式方程，求出未知数的可能值；第三步对求出的解进行检验，确认代入原方程分母后不为0，才是原分式方程的解。
【解析】
解：给方程$\frac{2}{x+3}=1$两边同时乘以最简公分母$x+3$（此时需满足$x+3≠0$，即$x≠-3$），去分母得：
$2 = x + 3$
移项计算得：
$x = 2 - 3 = -1$
检验：将$x=-1$代入原方程的分母$x+3$，得$-1+3=2≠0$，分母不为0，所以$x=-1$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程求解；分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考察题，核心是掌握分式方程“去分母—解整式方程—验根”的求解流程，尤其要注意解后验根是分式方程求解必不可少的步骤，避免将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.8

3.(2024·广东)方程$\frac{2}{x-3}=\frac{3}{x}$的解是（）

A.$x=-3$
B.$x=-9$
C.$x=3$
D.$x=9$

3.D

【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径为：首先确定方程中两个分母的最简公分母，通过两边同乘最简公分母去掉分母得到整式方程，再解整式方程得到未知数的值，最后代入最简公分母检验，判断该值是否为原分式方程的解，排除增根后即可得到正确结果。
【解析】
解：该分式方程的最简公分母为$x(x-3)$，
方程两边同时乘$x(x-3)$去分母，得：
$2x = 3(x - 3)$
去括号，得：$2x = 3x - 9$
移项、合并同类项，得：$-x = -9$
系数化为1，得：$x = 9$
检验：将$x=9$代入最简公分母$x(x-3)$，得$9×(9-3)=54≠0$，因此$x=9$是原分式方程的解。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程的基础考查题，重点考察解分式方程的规范步骤，解题时要注意去分母时不要漏乘常数项，且必须经过验根步骤排除增根，才能得到正确的解。
【难度系数】
0.8

4.(2024·济宁)解分式方程$1-\frac{1}{3x-1}=-\frac{5}{2-6x}$时，去分母变形正确的是（）

A.$2-6x+2=-5$
B.$6x-2-2=-5$
C.$2-6x-1=5$
D.$6x-2+1=5$

4.A

【分析】
要解决分式方程去分母的问题，首先明确解题思路：第一步先观察方程中各分式的分母，对可因式分解的分母变形，找到最简公分母；第二步将方程两边每一项都乘以最简公分母，约去分母转化为整式方程，计算时注意两点：一是不要漏乘不含分母的项（本题中的常数项1），二是注意分母变形时的符号变化，避免符号计算错误。
观察本题分母：$3x-1$和$2-6x$，可先将$2-6x$因式分解为$-2(3x-1)$，最简公分母可选$2-6x$，两边同乘$2-6x$即可完成去分母。
【解析】
首先对原方程的分母变形：$2-6x=-2(3x-1)$，方程两边同时乘以最简公分母$2-6x$（默认$2-6x≠0$），每一项分别计算：
1. 常数项1乘$2-6x$得：$1×(2-6x)=2-6x$
2. 第二项$-\frac{1}{3x-1}$乘$2-6x$得：$-\frac{1}{3x-1}×(-2)(3x-1)=2$
3. 右边的分式项$-\frac{5}{2-6x}$乘$2-6x$得：$-5$
将各项结果整合，得到去分母后的等式：$2-6x+2=-5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母、分式基本性质、符号运算
【点评】
本题是分式方程解法的基础题型，核心考查去分母的规范操作，易错点集中在漏乘常数项、分母因式分解后符号处理错误，做题时要先找准最简公分母，再逐项相乘核对符号，避免低级失误。
【难度系数】
0.7

5.若$\frac{3}{1-x}$与$\frac{4}{x}$互为相反数，则$x$的值为。

5.4

【分析】
解题首先利用互为相反数的性质：互为相反数的两个数相加和为0，据此列出关于x的分式方程；再按照分式方程的求解步骤，先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得的根是否使原分式的分母不为0，最终得到正确的x值。
【解析】
解：
∵$\frac{3}{1-x}$与$\frac{4}{x}$互为相反数
∴$\frac{3}{1-x} + \frac{4}{x} = 0$
方程两边同时乘最简公分母$x(1-x)$（$x≠0$且$x≠1$），得：
$3x + 4(1-x) = 0$
去括号，得：
$3x + 4 - 4x = 0$
合并同类项，得：
$-x + 4 = 0$
解得：$x=4$
检验：当$x=4$时，$x(1-x)=4×(1-4)=-12≠0$，所以$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
4
【知识点】
相反数的性质；分式方程的解法
【点评】
本题属于基础题，核心是结合相反数的性质列方程，需要注意解分式方程最后必须检验，排除增根的情况。
【难度系数】
0.8

6.若分式方程$\frac{3}{2x}=\frac{m}{m - x}$的解是$x=2$，则$m$的值为。

6.-6

【分析】
首先回忆方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知分式方程的解是x=2，因此可将x=2直接代入原分式方程，此时方程中仅含未知数m，将原问题转化为求解关于m的方程即可，最后需验证得到的m可使原分式方程分母不为0，保证解有效。
【解析】
∵x=2是分式方程$\frac{3}{2x}=\frac{m}{m - x}$的解
∴将x=2代入原方程，可得：
$\frac{3}{2×2}=\frac{m}{m - 2}$
化简得$\frac{3}{4}=\frac{m}{m - 2}$
交叉相乘去分母得：$3(m - 2)=4m$
去括号得：$3m - 6 = 4m$
移项、合并同类项得：$-m=6$
系数化为1得：$m=-6$
检验：当$m=-6$时，原方程分母$2x=4≠0$，$m - x=-6 - 2=-8≠0$，符合分式方程分母不为0的要求，因此m=-6成立。
【答案】
-6
【知识点】
方程的解的定义、解分式方程、一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式方程解的应用，解题关键是将已知解代入原方程，把问题转化为关于参数的方程求解，求解后注意验证分母不为零即可。
【难度系数】
0.8

7.解下列方程：
(1)$\frac{1}{x-1}=\frac{3}{2x+1}$；
(2)$\frac{1}{x-1}+1=\frac{3}{2x-2}$；
(3)$\frac{x-1}{x}+\frac{3x}{x-1}=4$；
(4)$\frac{x}{x-1}=\frac{4}{x^2-1}+1$；

7.(1)$x=4$
(2)$x=\frac{3}{2}$
(3)$x=-\frac{1}{2}$
(4)$x=3$

【分析】
这是一组分式方程求解的题目，通用解题思路如下：①先对各分母因式分解，找到所有分母的最简公分母；②方程两边同时乘最简公分母，去掉分母转化为整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；③解得到的整式方程；④验根：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，该解就是原分式方程的解，若为0则是增根，需要舍去，验根是解分式方程必不可少的步骤。
【解析】
(1) 该方程最简公分母为$(x-1)(2x+1)$
方程两边同时乘$(x-1)(2x+1)$，得：
$2x+1=3(x-1)$
去括号：$2x+1=3x-3$
移项、合并同类项：$-x=-4$
系数化为1：$x=4$
检验：当$x=4$时，$(x-1)(2x+1)=(4-1)×(8+1)=27≠0$，故$x=4$是原方程的解。
(2) 先将分母因式分解：$2x-2=2(x-1)$，最简公分母为$2(x-1)$
方程两边同时乘$2(x-1)$，得：
$2 + 2(x-1)=3$
去括号：$2+2x-2=3$
化简得：$2x=3$
系数化为1：$x=\frac{3}{2}$
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$2(x-1)=2×(\frac{3}{2}-1)=1≠0$，故$x=\frac{3}{2}$是原方程的解。
(3) 该方程最简公分母为$x(x-1)$
方程两边同时乘$x(x-1)$，得：
$(x-1)^2 + 3x^2=4x(x-1)$
去括号：$x^2-2x+1+3x^2=4x^2-4x$
合并同类项：$4x^2-2x+1=4x^2-4x$
移项、合并同类项：$2x=-1$
系数化为1：$x=-\frac{1}{2}$
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$x(x-1)=(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2}-1)=\frac{3}{4}≠0$，故$x=-\frac{1}{2}$是原方程的解。
(4) 先将分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$
方程两边同时乘$(x+1)(x-1)$，得：
$x(x+1)=4 + (x+1)(x-1)$
去括号：$x^2+x=4+x^2-1$
化简得：$x^2+x=x^2+3$
移项、合并同类项：$x=3$
检验：当$x=3$时，$(x+1)(x-1)=(3+1)×(3-1)=8≠0$，故$x=3$是原方程的解。
【答案】
(1)$x=4$；(2)$x=\frac{3}{2}$；(3)$x=-\frac{1}{2}$；(4)$x=3$
【知识点】
分式方程解法，去分母，验根
【点评】
本题属于分式方程的基础训练题，重点考察分式方程的求解步骤，解题时需注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项，并且必须养成验根的习惯，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.8

8.小丁和小迪解方程$\frac{x}{x-2}-\frac{x-3}{2-x}=1$的过程分别如下：

小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若不正确，请写出正确的解答过程。

8.解:小丁和小迪的解法都不正确.正确的解答过程如下：
方程两边乘$x-2$,得$x+x-3=x-2$.
移项、合并同类项,得$x=1$.
检验:当$x=1$时,$x-2≠0$.
所以原分式方程的解为$x=1$.

【分析】
本题是分式方程求解的正误判断及订正类题目，解题思路如下：首先回忆分式方程的求解步骤：①确定最简公分母，本题中2-x与x-2互为相反数，因此最简公分母为x-2；②去分母时要注意给方程左右两边的每一项都乘最简公分母，不能漏乘，同时注意处理符号变化；③解得到的整式方程；④必须代入最简公分母检验解是否为增根。首先判断两人错误：小丁去分母时错误处理了第二个分式的符号，小迪去分母时漏乘了右边的常数项1，二者解法均错误，再按正确步骤求解即可。
【解析】
小丁和小迪的解法都不正确，正确解答过程如下：
方程两边同乘最简公分母$x-2$，得：
$x + x - 3 = x - 2$
移项、合并同类项，得：
$x=1$
检验：当$x=1$时，$x-2=1-2=-1≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解。
【答案】
小丁和小迪的解法都不正确，原分式方程的解为$\boldsymbol{x=1}$。
【知识点】
分式方程的解法，去分母运算，分式方程的检验
【点评】
本题是分式方程求解的基础易错题，核心易错点有两个：一是去分母时常数项容易漏乘最简公分母，二是分母互为相反数的分式符号处理易出错，同时要牢记分式方程求解后必须检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.7