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1[中]如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是 (
A.$\frac{5}{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
D.2
(第1题图)
(第2题图)
B
)A.$\frac{5}{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
D.2
(第1题图)
(第2题图)
答案
1. B
添加辅助线
由H是中点,想到可以利用直角三角形斜边上中线的性质,然后尝试作辅助线构造直角三角形. 首先想到延长 AD 交 EF 于 M 得到直角三角形,但是 CH与这个直角三角形没有关系,所以想到连接两个正方形的对角线构造直角三角形,则 CH 是所作直角三角形的斜边上的中线.
【解析】如图,
∵ 正方形ABCD 和正方形 CEFG 中,点 D 在 CG 上,BC=1,CE=3,
∴ AD=AB=BC=1,CE=EF=3,∠E=90°. 延长 AD交 EF 于 M,连接 AC,CF,则 AM=BC+CE=1+3=4,FM=EF-AB=3-1=2,∠AMF=90°.
∵ 四边形ABCD和四边形 GCEF 是正方形,
∴ ∠ACD = ∠GCF=45°,
∴ ∠ACF=90°.
∵ H 为 AF 的中点,
∴ CH=1/2 AF. 在Rt△AMF 中, 由勾股定理得 AF = √(AM²+FM²) =√(4²+2²)=2√5 ,
∴ CH=√5 ,故选 B.
解析
【分析】
本题已知两个正方形的边长，且H是AF中点，要求CH的长，可结合特殊几何图形的性质推导求解：首先回忆直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，我们可以尝试构造以AF为斜边的直角三角形，使CH为该斜边的中线。第一步先连接AC、CF，利用正方形对角线与边的夹角为45°，可证明∠ACF=90°，即△ACF为直角三角形，此时CH就是Rt△ACF斜边的中线，因此只需求出AF的长度即可得到CH的长。求AF长度时，可通过延长AD交EF于点M，构造Rt△AMF，利用勾股定理计算AF的长度，最终得到CH的长。
【解析】
如图，连接AC、CF，延长AD交EF于点M。
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，BC=1，CE=3，
∴ AB=AD=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，∠ACD=45°，∠GCF=45°，
∴ AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=3-1=2，∠AMF=90°，
∠ACF=∠ACD+∠GCF=45°+45°=90°，即△ACF为直角三角形。
∵ H是AF的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质，$CH=\frac{1}{2}AF$。
在Rt△AMF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AM^2+FM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴ $CH=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；直角三角形斜边中线的性质；勾股定理
【点评】
本题是正方形性质应用的典型题型，解题的关键是合理构造辅助线，将所求线段转化为直角三角形斜边的中线，结合勾股定理求解，能够很好地考查学生对几何性质的综合运用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
本题已知两个正方形的边长，且H是AF中点，要求CH的长，可结合特殊几何图形的性质推导求解：首先回忆直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，我们可以尝试构造以AF为斜边的直角三角形，使CH为该斜边的中线。第一步先连接AC、CF，利用正方形对角线与边的夹角为45°，可证明∠ACF=90°，即△ACF为直角三角形，此时CH就是Rt△ACF斜边的中线，因此只需求出AF的长度即可得到CH的长。求AF长度时，可通过延长AD交EF于点M，构造Rt△AMF，利用勾股定理计算AF的长度，最终得到CH的长。
【解析】
如图，连接AC、CF，延长AD交EF于点M。
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，BC=1，CE=3，
∴ AB=AD=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，∠ACD=45°，∠GCF=45°，
∴ AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=3-1=2，∠AMF=90°，
∠ACF=∠ACD+∠GCF=45°+45°=90°，即△ACF为直角三角形。
∵ H是AF的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线的性质，$CH=\frac{1}{2}AF$。
在Rt△AMF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AM^2+FM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
∴ $CH=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；直角三角形斜边中线的性质；勾股定理
【点评】
本题是正方形性质应用的典型题型，解题的关键是合理构造辅助线，将所求线段转化为直角三角形斜边的中线，结合勾股定理求解，能够很好地考查学生对几何性质的综合运用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
2[2025 北京西城区校级期中,中]如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点,以DE为一边作正方形DEFG.设$DE=d_1$,点F,G与点C的距离分别为$d_2,d_3$,则$d_1+d_2+d_3$的最小值为 (
A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4$
C
)A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4$
答案
2. C 【解析】如图,连接 AE,CF,CG.
∵ 四边形 DEFG 是正方形,
∴ ∠EDG= 90°,EF=DE=DG.
∵ 四边形 AB-CD 是正方形,
∴ AD = CD,∠ADC=90°,
∴ ∠ADE= ∠CDG,
∴ △ADE ≌ △CDG(SAS),
∴ AE=CG,
∴ d₁+d₂+d₃=EF+CF+CG=EF+CF+AE,
∴ 点 A,E,F,C 在同一条直线上时,EF+CF+AE 最小,即 d₁+d₂+d₃ 最小. 连接 AC,则 d₁+d₂+d₃的最小值为 AC 的长. 在 Rt△ABC 中,AC=√2 AB=2√2 ,
∴ d₁+d₂+d₃ 的最小值为 2√2 . 故选 C.
解析
【分析】
要解决三条线段和的最小值问题，首先需要将分散的线段转化为相连的线段：①两个正方形共顶点D，利用正方形四边相等、内角为90°的性质，可证明△ADE和△CDG全等，将d₃（CG）转化为AE；②结合正方形DEFG的性质，d₁就是EF的长度，d₂是CF的长度，因此d₁+d₂+d₃可转化为AE+EF+CF；③根据两点之间线段最短，当A、E、F、C四点共线时，三条线段的和最小，最小值就是A到C的对角线长度，最后用勾股定理计算AC长度即可。
【解析】
解：如图，连接AE、AC。
∵ 四边形DEFG是正方形，
∴ ∠EDG=90°，$EF=DE=DG=d_1$。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=CD$，$∠ ADC=90°$，
∴ $∠ ADC - ∠ EDC = ∠ EDG - ∠ EDC$，即$∠ ADE=∠ CDG$。
在$△ ADE$和$△ CDG$中：
$\begin{cases}AD=CD \\∠ ADE=∠ CDG \\DE=DG\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CDG$（SAS），
∴ $AE=CG=d_3$。
结合题意可知$CF=d_2$，因此$d_1+d_2+d_3=EF + CF + AE$。
根据两点之间线段最短，当A、E、F、C四点共线时，$EF+CF+AE$的和最小，最小值为线段AC的长度。
在$Rt△ ABC$中，$AB=BC=2$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
即$d_1+d_2+d_3$的最小值为$2\sqrt{2}$。
【答案】C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；最短路径问题
【点评】
本题是正方形背景下的几何最值典型题，解题核心是通过构造全等三角形完成线段转化，将分散的线段和转化为可利用两点之间线段最短求解的形式，注重考察转化思想和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
要解决三条线段和的最小值问题，首先需要将分散的线段转化为相连的线段：①两个正方形共顶点D，利用正方形四边相等、内角为90°的性质，可证明△ADE和△CDG全等，将d₃（CG）转化为AE；②结合正方形DEFG的性质，d₁就是EF的长度，d₂是CF的长度，因此d₁+d₂+d₃可转化为AE+EF+CF；③根据两点之间线段最短，当A、E、F、C四点共线时，三条线段的和最小，最小值就是A到C的对角线长度，最后用勾股定理计算AC长度即可。
【解析】
解：如图，连接AE、AC。
∵ 四边形DEFG是正方形，
∴ ∠EDG=90°，$EF=DE=DG=d_1$。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AD=CD$，$∠ ADC=90°$，
∴ $∠ ADC - ∠ EDC = ∠ EDG - ∠ EDC$，即$∠ ADE=∠ CDG$。
在$△ ADE$和$△ CDG$中：
$\begin{cases}AD=CD \\∠ ADE=∠ CDG \\DE=DG\end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CDG$（SAS），
∴ $AE=CG=d_3$。
结合题意可知$CF=d_2$，因此$d_1+d_2+d_3=EF + CF + AE$。
根据两点之间线段最短，当A、E、F、C四点共线时，$EF+CF+AE$的和最小，最小值为线段AC的长度。
在$Rt△ ABC$中，$AB=BC=2$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
即$d_1+d_2+d_3$的最小值为$2\sqrt{2}$。
【答案】C
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；最短路径问题
【点评】
本题是正方形背景下的几何最值典型题，解题核心是通过构造全等三角形完成线段转化，将分散的线段和转化为可利用两点之间线段最短求解的形式，注重考察转化思想和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
3[2025重庆沙坪坝区期末,中]如图
,在正方形ABCD中,点E,点F分别是对角线BD,AC上的点,连接CE,EF,DF,若EF//BC,且∠CEF=15°,则∠EDF的度数为
,在正方形ABCD中,点E,点F分别是对角线BD,AC上的点,连接CE,EF,DF,若EF//BC,且∠CEF=15°,则∠EDF的度数为30°
。（第3题图）（第4题图）答案
3. 30° 【解析】设 AC 交 BD 于 O.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AC ⊥ BD,CD = CB, ∠BCD = 90°,OB = OD,
∴ OC = OD = OB = 1/2 BD, ∠DOF = ∠COE = 90°,
∴ ∠OBC = ∠OCB = 45°.
∵ EF // BC,
∴ ∠OEF =∠OBC = ∠OCB = ∠OFE = 45°,
∴ OF = OE.
∵ ∠CEF = 15°,
∴ ∠OCE = ∠OFE - ∠CEF = 45°-15°=30°. 在△DOF 和△COE 中,{OD=OC,∠DOF=∠COE,OF=OE},
∴ △DOF≌△COE(SAS),
∴ ∠ODF=∠OCE=30°,即∠EDF=30°. 故答案为 30°.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AC ⊥ BD,CD = CB, ∠BCD = 90°,OB = OD,
∴ OC = OD = OB = 1/2 BD, ∠DOF = ∠COE = 90°,
∴ ∠OBC = ∠OCB = 45°.
∵ EF // BC,
∴ ∠OEF =∠OBC = ∠OCB = ∠OFE = 45°,
∴ OF = OE.
∵ ∠CEF = 15°,
∴ ∠OCE = ∠OFE - ∠CEF = 45°-15°=30°. 在△DOF 和△COE 中,{OD=OC,∠DOF=∠COE,OF=OE},
∴ △DOF≌△COE(SAS),
∴ ∠ODF=∠OCE=30°,即∠EDF=30°. 故答案为 30°.
解析
【分析】
解题时先回忆正方形的性质：正方形对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为45°；结合EF//BC的条件，可推出△OEF为等腰直角三角形，得到OF=OE；再观察待求角∠EDF和已知角的关系，可通过证明△DOF与△COE全等，将∠EDF转化为∠OCE；最后利用三角形外角的性质，结合已知∠CEF=15°计算出∠OCE的度数，即可得到∠EDF的度数。
【解析】
设AC与BD交于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，CD=CB，∠BCD=90°，OB=OD，OC=OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，∠DOF=∠COE=90°，∠OBC=∠OCB=45°。
∵ EF//BC，
∴ ∠OEF=∠OBC=45°，∠OFE=∠OCB=45°，
∴ ∠OEF=∠OFE，
∴ OF=OE。
∵ ∠CEF=15°，∠OFE是△CEF的外角，
∴ ∠OCE=∠OFE - ∠CEF=45°-15°=30°。
在△DOF和△COE中：
$\{\begin{array}{l} OD=OC \\ ∠ DOF=∠ COE=90° \\ OF=OE \end{array} $
∴ △DOF≌△COE（SAS），
∴ ∠ODF=∠OCE=30°，即∠EDF=30°。
【答案】
30°
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是特殊四边形与全等三角形的综合题，解题的核心是利用正方形对角线的性质得到相等的边和角，构造全等三角形实现未知角与已知角的转化，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆正方形的性质：正方形对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为45°；结合EF//BC的条件，可推出△OEF为等腰直角三角形，得到OF=OE；再观察待求角∠EDF和已知角的关系，可通过证明△DOF与△COE全等，将∠EDF转化为∠OCE；最后利用三角形外角的性质，结合已知∠CEF=15°计算出∠OCE的度数，即可得到∠EDF的度数。
【解析】
设AC与BD交于点O。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD，CD=CB，∠BCD=90°，OB=OD，OC=OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，∠DOF=∠COE=90°，∠OBC=∠OCB=45°。
∵ EF//BC，
∴ ∠OEF=∠OBC=45°，∠OFE=∠OCB=45°，
∴ ∠OEF=∠OFE，
∴ OF=OE。
∵ ∠CEF=15°，∠OFE是△CEF的外角，
∴ ∠OCE=∠OFE - ∠CEF=45°-15°=30°。
在△DOF和△COE中：
$\{\begin{array}{l} OD=OC \\ ∠ DOF=∠ COE=90° \\ OF=OE \end{array} $
∴ △DOF≌△COE（SAS），
∴ ∠ODF=∠OCE=30°，即∠EDF=30°。
【答案】
30°
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是特殊四边形与全等三角形的综合题，解题的核心是利用正方形对角线的性质得到相等的边和角，构造全等三角形实现未知角与已知角的转化，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
4[中]如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，$O_1$，$O_2$是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是2，则正方形的边长为
2
。答案
4. 2
识图解题|过正方形中心的直角形成的面积问题
若∠EOF=90°,则S阴影=S△DOC=1/4 S正方形ABCD.
【解析】连接 O₁B,O₁C,如图.
∵ ∠BO₁F+ ∠FO₁C =90°, ∠FO₁C + ∠CO₁G =90°,
∴ ∠BO₁F= ∠CO₁G.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ 易知 BO₁ = CO₁, ∠O₁BF = ∠O₁CG = 45°. 在△O₁BF 和 △O₁CG 中,{∠FO₁B=∠CO₁G,BO₁=CO₁,∠FBO₁=∠GCO₁},
∴ △O₁BF≌△O₁CG(ASA),
∴ S△O₁BF=S△O₁CG,
∴ 左侧阴影部分的面积是1/4 S正方形ABCD. 同理可得右侧阴影部分的面积也是1/4 S正方形ABCD,
∴ 阴影部分的面积和为 2=1/2 S正方形ABCD,
∴ S正方形ABCD=4=AD²,
∴ AD=2,故答案为 2.
思路分析
连接 O₁B,O₁C,根据正方形的性质易证 △O₁BF ≌△O₁CG(ASA),可得 S△O₁BF =S△O₁CG,可将每个阴影部分的面积转化成三角形的面积,根据三角形的面积和正方形的面积的关系即可求解.
解析
【分析】
解决本题需结合正方形的性质，通过作辅助线连接正方形中心与相邻顶点，构造全等三角形，将不规则阴影部分的面积转化为与正方形面积成固定比例的规则图形面积。首先利用正方形中心到顶点距离相等、中心与顶点连线平分内角的性质得到相等的边和45°角，再结合直角条件推导相等的角，证明三角形全等，可得单个阴影面积为正方形面积的$\frac{1}{4}$，两个阴影面积和即为正方形面积的$\frac{1}{2}$，最后结合已知阴影面积和求出正方形面积，计算得到边长。
【解析】
连接$O_1B$，$O_1C$，如图。
$\because ∠ BO_1F + ∠ FO_1C = 90°$，$∠ FO_1C + ∠ CO_1G = 90°$，
$\therefore ∠ BO_1F = ∠ CO_1G$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore BO_1 = CO_1$，$∠ O_1BF = ∠ O_1CG = 45°$。
在$△ O_1BF$和$△ O_1CG$中：
$\begin{cases}∠ FO_1B = ∠ CO_1G \\BO_1 = CO_1 \\∠ FBO_1 = ∠ GCO_1\end{cases}$
$\therefore △ O_1BF ≌ △ O_1CG (\mathrm{ASA})$，
$\therefore S_{△ O_1BF} = S_{△ O_1CG}$，
$\therefore$ 左侧阴影部分的面积等于$\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$。
同理可得，右侧阴影部分的面积也等于$\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$，
$\therefore$ 阴影部分的面积和为$\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD} + \frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$。
已知阴影部分面积和为2，即$\frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}ABCD} = 2$，解得$S_{\mathrm{正方形}ABCD} = 4$。
由正方形面积公式得，边长$=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定，面积转化计算
【点评】
本题是正方形性质应用的典型题型，核心是通过全等三角形实现不规则阴影面积的规则转化，掌握“过正方形中心的直角截得的区域面积为正方形面积的$\frac{1}{4}$”的规律，可快速解答同类题型。
【难度系数】
0.6
解决本题需结合正方形的性质，通过作辅助线连接正方形中心与相邻顶点，构造全等三角形，将不规则阴影部分的面积转化为与正方形面积成固定比例的规则图形面积。首先利用正方形中心到顶点距离相等、中心与顶点连线平分内角的性质得到相等的边和45°角，再结合直角条件推导相等的角，证明三角形全等，可得单个阴影面积为正方形面积的$\frac{1}{4}$，两个阴影面积和即为正方形面积的$\frac{1}{2}$，最后结合已知阴影面积和求出正方形面积，计算得到边长。
【解析】
连接$O_1B$，$O_1C$，如图。
$\because ∠ BO_1F + ∠ FO_1C = 90°$，$∠ FO_1C + ∠ CO_1G = 90°$，
$\therefore ∠ BO_1F = ∠ CO_1G$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore BO_1 = CO_1$，$∠ O_1BF = ∠ O_1CG = 45°$。
在$△ O_1BF$和$△ O_1CG$中：
$\begin{cases}∠ FO_1B = ∠ CO_1G \\BO_1 = CO_1 \\∠ FBO_1 = ∠ GCO_1\end{cases}$
$\therefore △ O_1BF ≌ △ O_1CG (\mathrm{ASA})$，
$\therefore S_{△ O_1BF} = S_{△ O_1CG}$，
$\therefore$ 左侧阴影部分的面积等于$\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$。
同理可得，右侧阴影部分的面积也等于$\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$，
$\therefore$ 阴影部分的面积和为$\frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD} + \frac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}ABCD} = \frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}ABCD}$。
已知阴影部分面积和为2，即$\frac{1}{2}S_{\mathrm{正方形}ABCD} = 2$，解得$S_{\mathrm{正方形}ABCD} = 4$。
由正方形面积公式得，边长$=\sqrt{4}=2$。
【答案】
2
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定，面积转化计算
【点评】
本题是正方形性质应用的典型题型，核心是通过全等三角形实现不规则阴影面积的规则转化，掌握“过正方形中心的直角截得的区域面积为正方形面积的$\frac{1}{4}$”的规律，可快速解答同类题型。
【难度系数】
0.6
5[2026山东枣庄质检,中]如图,正方形$ABCB_1$中,$AB=\sqrt{3}$,AB与直线l所夹的锐角为$30°$,延长$CB_1$交直线l于点$A_1$,作正方形$A_1B_1C_1B_2$,延长$C_1B_2$交直线l于点$A_2$,作正方形$A_2B_2C_2B_3$,延长$C_2B_3$交直线l于点$A_3$,作正方形$A_3B_3C_3B_4$,…,按此规律操作下去,则线段$A_{2023}A_{2024}=$
$2×3^1012$
.答案
$5. 2×3^1012 【$解析】:
∵ 四边形 ABCB₁ 是正方形,
∴ AB₁=AB=√3 ,∠CB₁A=90°=∠AB₁A₁,CB₁//AB,
∴ ∠CA₁A = ∠BAD = 30°,
∴ AA₁=2AB₁=2√3 ,
∴ 易得 A₁B₁=3.
∵ 四边形 A₁B₁C₁B₂ 为正方形,
∴ A₁B₂ =A₁B₁=3,A₂C₁//A₁B₁,
∴ ∠B₂A₂A₁ = ∠CA₁A = 30°,
∴ A₁A₂=2A₁B₂=6=2×(√3)². 同理可得$ A₂A₃=2×(√3)³,A₃A₄=2×(√3)^4 ,…,A_n A_{n+1}=2×(√3)^{n+1}(n $为非负整数),
∴ 线段$ A_{2023}A_{2024}=2×(√3)^{2024}=2×3^{1012}. $故答案为$ 2×3^{1012}.$
∵ 四边形 ABCB₁ 是正方形,
∴ AB₁=AB=√3 ,∠CB₁A=90°=∠AB₁A₁,CB₁//AB,
∴ ∠CA₁A = ∠BAD = 30°,
∴ AA₁=2AB₁=2√3 ,
∴ 易得 A₁B₁=3.
∵ 四边形 A₁B₁C₁B₂ 为正方形,
∴ A₁B₂ =A₁B₁=3,A₂C₁//A₁B₁,
∴ ∠B₂A₂A₁ = ∠CA₁A = 30°,
∴ A₁A₂=2A₁B₂=6=2×(√3)². 同理可得$ A₂A₃=2×(√3)³,A₃A₄=2×(√3)^4 ,…,A_n A_{n+1}=2×(√3)^{n+1}(n $为非负整数),
∴ 线段$ A_{2023}A_{2024}=2×(√3)^{2024}=2×3^{1012}. $故答案为$ 2×3^{1012}.$
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题思路分为三步：第一步，利用正方形的性质和含30°角的直角三角形的性质，先计算前几段线段$AA_1$、$A_1A_2$、$A_2A_3$的长度；第二步，观察计算出的线段长度，归纳总结出$A_nA_{n+1}$长度的通项公式；第三步，将$n=2023$代入通项公式，化简后即可得到所求线段的长度。
【解析】
∵ 四边形$ABCB_1$是正方形，$AB=\sqrt{3}$，
∴ $AB_1=AB=\sqrt{3}$，$∠ AB_1A_1=90°$，且$CB_1// AB$，
∴ $∠ B_1A_1A=∠ BAD=30°$。
在$Rt△ AB_1A_1$中，30°角所对的直角边为$AB_1$，
∴ $AA_1=2AB_1=2\sqrt{3}$，由勾股定理可得$A_1B_1=\sqrt{AA_1^2-AB_1^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3=(\sqrt{3})^2$。
∵ 四边形$A_1B_1C_1B_2$是正方形，
∴ $A_1B_2=A_1B_1=3$，且$C_1B_2// A_1B_1$，
∴ $∠ B_2A_2A_1=∠ B_1A_1A=30°$。
在$Rt△ A_1B_2A_2$中，$A_1A_2=2A_1B_2=6=2×(\sqrt{3})^2$。
同理可得：$A_2A_3=2×(\sqrt{3})^3$，$A_3A_4=2×(\sqrt{3})^4$，……
归纳可得规律：$A_nA_{n+1}=2×(\sqrt{3})^{n+1}$（$n$为非负整数）。
当$n=2023$时，$A_{2023}A_{2024}=2×(\sqrt{3})^{2024}=2×(3^{\frac{1}{2}})^{2024}=2×3^{1012}$。
【答案】
$2×3^{1012}$
【知识点】
正方形的性质；含30°角的直角三角形的性质；图形规律探究
【点评】
本题是图形规律类常考题，结合正方形性质与特殊直角三角形的性质考查规律归纳能力，解题时先从最简单的情况入手计算，再总结规律即可解决问题。
【难度系数】
0.6
这是一道图形规律探究题，解题思路分为三步：第一步，利用正方形的性质和含30°角的直角三角形的性质，先计算前几段线段$AA_1$、$A_1A_2$、$A_2A_3$的长度；第二步，观察计算出的线段长度，归纳总结出$A_nA_{n+1}$长度的通项公式；第三步，将$n=2023$代入通项公式，化简后即可得到所求线段的长度。
【解析】
∵ 四边形$ABCB_1$是正方形，$AB=\sqrt{3}$，
∴ $AB_1=AB=\sqrt{3}$，$∠ AB_1A_1=90°$，且$CB_1// AB$，
∴ $∠ B_1A_1A=∠ BAD=30°$。
在$Rt△ AB_1A_1$中，30°角所对的直角边为$AB_1$，
∴ $AA_1=2AB_1=2\sqrt{3}$，由勾股定理可得$A_1B_1=\sqrt{AA_1^2-AB_1^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2}=3=(\sqrt{3})^2$。
∵ 四边形$A_1B_1C_1B_2$是正方形，
∴ $A_1B_2=A_1B_1=3$，且$C_1B_2// A_1B_1$，
∴ $∠ B_2A_2A_1=∠ B_1A_1A=30°$。
在$Rt△ A_1B_2A_2$中，$A_1A_2=2A_1B_2=6=2×(\sqrt{3})^2$。
同理可得：$A_2A_3=2×(\sqrt{3})^3$，$A_3A_4=2×(\sqrt{3})^4$，……
归纳可得规律：$A_nA_{n+1}=2×(\sqrt{3})^{n+1}$（$n$为非负整数）。
当$n=2023$时，$A_{2023}A_{2024}=2×(\sqrt{3})^{2024}=2×(3^{\frac{1}{2}})^{2024}=2×3^{1012}$。
【答案】
$2×3^{1012}$
【知识点】
正方形的性质；含30°角的直角三角形的性质；图形规律探究
【点评】
本题是图形规律类常考题，结合正方形性质与特殊直角三角形的性质考查规律归纳能力，解题时先从最简单的情况入手计算，再总结规律即可解决问题。
【难度系数】
0.6
6[2026辽宁大连质检，较难]如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，连接OE，OF，EF，OE ⊥ OF，若∠OFB= 15°，EF = $2\sqrt{2}$，则线段CD的长为
刷素养 走向重高
√6-√2
。刷素养 走向重高
答案
6. √6-√2 【解析】:
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ OA=OB=OC=OD,AC ⊥ BD, ∠ABC = ∠BAD = 90°,∠ABD = ∠CAD = 45°,
∴ ∠FBE = ∠DAF = 90°,
∴ ∠OBE = ∠OBA+ ∠ABE = 135°, ∠OAF = ∠OAD+∠DAF=135°,
∴ ∠OBE = ∠OAF.
∵ AC ⊥ BD,OE ⊥ OF,
∴ ∠AOB = ∠EOF = 90°,
∴ ∠EOB = 90°-∠AOE = ∠FOA. 在 △EOB 和 △FOA 中,{∠OBE=∠OAF,OB=OA,∠EOB=∠FOA},
∴ △EOB ≌ △FOA ( ASA ),
∴ OE=OF,BE=AF,∠OEB=∠OFA=15°,
∴ △OEF为等腰直角三角形,
∴ ∠OFE = ∠OEF = 45°,
∴ ∠BFE = ∠OFE - ∠OFA = 45°- 15° = 30°. 在Rt△EFB 中,∠BFE=30°,EF=2√2 ,
∴ BE=1/2 EF=√2 ,
∴ AF=BE=√2 ,易得 BF=√6 ,
∴ CD=AB=BF-AF=√6-√2 ,故答案为√6-√2.
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ OA=OB=OC=OD,AC ⊥ BD, ∠ABC = ∠BAD = 90°,∠ABD = ∠CAD = 45°,
∴ ∠FBE = ∠DAF = 90°,
∴ ∠OBE = ∠OBA+ ∠ABE = 135°, ∠OAF = ∠OAD+∠DAF=135°,
∴ ∠OBE = ∠OAF.
∵ AC ⊥ BD,OE ⊥ OF,
∴ ∠AOB = ∠EOF = 90°,
∴ ∠EOB = 90°-∠AOE = ∠FOA. 在 △EOB 和 △FOA 中,{∠OBE=∠OAF,OB=OA,∠EOB=∠FOA},
∴ △EOB ≌ △FOA ( ASA ),
∴ OE=OF,BE=AF,∠OEB=∠OFA=15°,
∴ △OEF为等腰直角三角形,
∴ ∠OFE = ∠OEF = 45°,
∴ ∠BFE = ∠OFE - ∠OFA = 45°- 15° = 30°. 在Rt△EFB 中,∠BFE=30°,EF=2√2 ,
∴ BE=1/2 EF=√2 ,
∴ AF=BE=√2 ,易得 BF=√6 ,
∴ CD=AB=BF-AF=√6-√2 ,故答案为√6-√2.
解析
【分析】
遇到正方形相关的几何题，首先回忆正方形的核心性质：对角线互相垂直平分且相等，对角线平分内角得到45°角，各内角均为90°。已知OE⊥OF，结合正方形对角线AC⊥BD的性质可推出一组相等的角，再结合OB=OA、两个均为135°的钝角∠OBE和∠OAF，即可证明△EOB和△FOA全等。全等后得到OE=OF，可判断△OEF是等腰直角三角形，结合已知EF的长度推导角度关系，再根据∠OFB=15°推出Rt△EFB中含30°角，利用含30°角的直角三角形的性质求出BE、BF的长度，最后结合AF=BE、正方形边长AB=BF-AF即可求出CD的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ OA=OB，AC⊥BD，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABD=∠CAD=45°，
∴ ∠FBE=∠DAF=90°，
∴ ∠OBE=∠OBA + ∠ABE = 45°+90°=135°，∠OAF=∠OAD + ∠DAF=45°+90°=135°，
∴ ∠OBE=∠OAF。
∵ AC⊥BD，OE⊥OF，
∴ ∠AOB=∠EOF=90°，
∴ ∠EOB=90°-∠AOE=∠FOA。
在△EOB和△FOA中：
$\{\begin{array}{l}∠OBE=∠OAF \\OB=OA \\∠EOB=∠FOA\end{array} $
∴ △EOB≌△FOA（ASA），
∴ OE=OF，BE=AF，∠OEB=∠OFA=15°，
∴ △OEF为等腰直角三角形，
∴ ∠OFE=∠OEF=45°，
∴ ∠BFE=∠OFE - ∠OFA=45°-15°=30°。
在Rt△EFB中，∠FBE=90°，∠BFE=30°，EF=$2\sqrt{2}$，
∴ BE=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{2}$，
由勾股定理得BF=$\sqrt{EF^2 - BE^2}$=$\sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2}$=$\sqrt{6}$，
又
∵ AF=BE=$\sqrt{2}$，CD=AB=BF-AF，
∴ CD=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，特殊直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查正方形性质、全等三角形的证明以及特殊直角三角形的边角计算，解题核心是通过角的等量关系证明三角形全等，将已知条件转化到同一个直角三角形中求解，对学生的逻辑推理和边角转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
遇到正方形相关的几何题，首先回忆正方形的核心性质：对角线互相垂直平分且相等，对角线平分内角得到45°角，各内角均为90°。已知OE⊥OF，结合正方形对角线AC⊥BD的性质可推出一组相等的角，再结合OB=OA、两个均为135°的钝角∠OBE和∠OAF，即可证明△EOB和△FOA全等。全等后得到OE=OF，可判断△OEF是等腰直角三角形，结合已知EF的长度推导角度关系，再根据∠OFB=15°推出Rt△EFB中含30°角，利用含30°角的直角三角形的性质求出BE、BF的长度，最后结合AF=BE、正方形边长AB=BF-AF即可求出CD的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ OA=OB，AC⊥BD，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABD=∠CAD=45°，
∴ ∠FBE=∠DAF=90°，
∴ ∠OBE=∠OBA + ∠ABE = 45°+90°=135°，∠OAF=∠OAD + ∠DAF=45°+90°=135°，
∴ ∠OBE=∠OAF。
∵ AC⊥BD，OE⊥OF，
∴ ∠AOB=∠EOF=90°，
∴ ∠EOB=90°-∠AOE=∠FOA。
在△EOB和△FOA中：
$\{\begin{array}{l}∠OBE=∠OAF \\OB=OA \\∠EOB=∠FOA\end{array} $
∴ △EOB≌△FOA（ASA），
∴ OE=OF，BE=AF，∠OEB=∠OFA=15°，
∴ △OEF为等腰直角三角形，
∴ ∠OFE=∠OEF=45°，
∴ ∠BFE=∠OFE - ∠OFA=45°-15°=30°。
在Rt△EFB中，∠FBE=90°，∠BFE=30°，EF=$2\sqrt{2}$，
∴ BE=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{2}$，
由勾股定理得BF=$\sqrt{EF^2 - BE^2}$=$\sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2}$=$\sqrt{6}$，
又
∵ AF=BE=$\sqrt{2}$，CD=AB=BF-AF，
∴ CD=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，特殊直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查正方形性质、全等三角形的证明以及特殊直角三角形的边角计算，解题核心是通过角的等量关系证明三角形全等，将已知条件转化到同一个直角三角形中求解，对学生的逻辑推理和边角转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
7 核心素养 几何直观 [2026河北保定期中,较难]在正方形ABCD中,E为BC边上一点(点E与点B,C不重合),$∠ AEF=90°$,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)如图(1),若E为BC的中点,猜想AE与EF的数量关系并证明;
(2)结论拓展:如图(2),连接AF,交CD于点M,连接EM,猜想EM与DM,BE之间存在的等量关系并证明;
(3)连接DF,若正方形ABCD的边长为$\sqrt{5}$,求DF+AF的最小值.
(1)如图(1),若E为BC的中点,猜想AE与EF的数量关系并证明;
(2)结论拓展:如图(2),连接AF,交CD于点M,连接EM,猜想EM与DM,BE之间存在的等量关系并证明;
(3)连接DF,若正方形ABCD的边长为$\sqrt{5}$,求DF+AF的最小值.
答案
7.【解】(1)AE=EF. 证明如下:取 AB 的中点 G,连接EG.
∵ 点 E、点 G 分别为 BC,AB 的中点,
∴ AG = BG=1/2 AB,CE=BE=1/2 BC.
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ AB = BC, ∠B =∠BCD=90°,
∴ AG=CE=BG=BE,
∴ △BGE 是等腰直角三角形,
∴ ∠BGE = 45°,
∴ ∠AGE = 180°-∠BGE=135°.
∵ ∠AEF=90°,
∴ ∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠GAE=90°,
∴ ∠GAE=∠CEF.
∵ CF 为正方形外角的平分线,
∴ ∠DCF=1/2 ×90°=45°,
∴ ∠ECF=90°+45°=135°,
∴ ∠AGE=∠ECF.
在△AEG 与△EFC 中,{∠AGE=∠ECF,AG=EC,∠GAE=∠CEF},
∴ △AEG≌△EFC(ASA),
∴ AE=EF.
(2)EM=BE+DM. 证明如下:如图(1),在 AB 上取一点 G,使 BG=BE,连接 EG,将△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ADN.
同(1)可得 AE=EF.
∵ ∠AEF=90°,
∴ ∠EAF=45°,
∴ ∠GAE+∠MAD=90°-∠EAF=45°.
∵ 将△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ADN,
∴ ∠GAE=∠DAN,∠B=∠ADN=90°=∠ADM,AE=AN,BE=ND,
∴ ∠NAM=∠DAN+∠MAD=∠MAD+∠GAE=45°,∠MDN=180°,则 N,D,M 三点共线.
在△ANM 和 △AEM 中,{AN=AE,∠NAM=∠EAM=45°,AM=AM},
∴ △ANM≌△AEM(SAS),
∴ EM=MN=DN+DM=BE+DM,即 EM=BE+DM.
(3)
∵ 正方形 ABCD 的边长为√5 ,
∴ AB=BC=CD=√5 ,∠BCD=∠ABC=90°. 如图(2),作点 D 关于射线 CF 的对称点 G,连接 FG,AG,CG.
由轴对称的性质得 DF = FG, CD = CG = √5 , 易得∠DCF=∠GCF=45°,
∴ ∠DCG=90°,
∴ DF+AF =FG+AF, ∠BCG = ∠BCD+∠DCG = 180°,
∴ B,C,G三点共线,
∴ BG=BC+CG=2√5 . 当 A,F,G 三点共线时,FG+AF 的值最小,最小值是 AG 的长,即 DF+AF 的最小值为 AG 的长.
∵ AG = √(AB²+BG²) = 5,
∴ DF+AF 的最小值为 5.
关键点拨
(3) 分 BQ =BC,CQ = BC,BQ = CQ 三种情况讨论,分别求解即可;
(4) 分 BP =CQ 和 BP＜CQ 两种情况讨论,分别列方程求解即可.
思路分析
(2) 在 AB 上取一点 G,使BG=BE,连接EG,将 △ABE绕点 A 逆时针旋转 90°得到△ADN,可证得N,D,M三点共线,△ANM≌△AEM,从而可得出 EM 与DM,BE 之间的等量关系.
解析
【分析】
(1) 要证明AE=EF，可通过构造全等三角形求证：结合E是BC中点的条件，取AB中点G，可得AG=CE，再结合正方形性质、角的互余关系推导对应角相等，结合外角平分线得到的135°角，用ASA证明△AEG≌△EFC即可得到结论。
(2) 探究线段和差关系，可通过旋转法转化线段：由(1)可知AE=EF，∠AEF=90°，可得∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADN，可证N、D、M共线，再证△ANM≌△AEM，即可将EM转化为DN+DM，进而得到三条线段的等量关系。
(3) 求两条线段和的最小值，用轴对称转化求解：作点D关于射线CF的对称点G，根据轴对称性质将DF转化为FG，那么DF+AF=AF+FG，当A、F、G三点共线时和最小，结合正方形边长用勾股定理计算AG的长度即可。
【解析】
(1) $AE=EF$，证明如下：
取AB的中点G，连接EG。
∵ 点E、点G分别为BC、AB的中点，
∴ $AG = BG=\frac{1}{2}AB$，$CE=BE=\frac{1}{2}BC$。
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ $AB = BC$，$∠B =∠BCD=90°$，
∴ $AG=CE=BG=BE$，
∴ △BGE是等腰直角三角形，
∴ $∠BGE = 45°$，
∴ $∠AGE = 180°-∠BGE=135°$。
∵ $∠AEF=90°$，
∴ $∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠GAE=90°$，
∴ $∠GAE=∠CEF$。
∵ CF为正方形外角的平分线，
∴ $∠DCF=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∴ $∠ECF=90°+45°=135°$，
∴ $∠AGE=∠ECF$。
在△AEG与△EFC中，
$\{\begin{array}{l}∠AGE=∠ECF \\AG=EC \\∠GAE=∠CEF\end{array} $
∴ $△ AEG≌△ EFC(\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=EF$。
(2) $EM=BE+DM$，证明如下：
在AB上取一点G，使$BG=BE$，连接EG，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADN。
同(1)可得$AE=EF$。
∵ $∠AEF=90°$，
∴ $∠EAF=45°$，
∴ $∠GAE+∠MAD=90°-∠EAF=45°$。
∵ 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADN，
∴ $∠GAE=∠DAN$，$∠B=∠ADN=90°=∠ADM$，$AE=AN$，$BE=ND$，
∴ $∠NAM=∠DAN+∠MAD=∠MAD+∠GAE=45°$，$∠MDN=180°$，则N、D、M三点共线。
在△ANM和△AEM中，
$\{\begin{array}{l}AN=AE \\∠NAM=∠EAM=45° \\AM=AM\end{array} $
∴ $△ ANM≌△ AEM(\mathrm{SAS})$，
∴ $EM=MN=DN+DM=BE+DM$，即$EM=BE+DM$。
(3)
∵ 正方形ABCD的边长为$\sqrt{5}$，
∴ $AB=BC=CD=\sqrt{5}$，$∠BCD=∠ABC=90°$。
作点D关于射线CF的对称点G，连接FG、AG、CG。
由轴对称的性质得$DF = FG$，$CD = CG = \sqrt{5}$，易得$∠DCF=∠GCF=45°$，
∴ $∠DCG=90°$，
∴ $DF+AF =FG+AF$，$∠BCG = ∠BCD+∠DCG = 180°$，
∴ B、C、G三点共线，
∴ $BG=BC+CG=2\sqrt{5}$。
当A、F、G三点共线时，FG+AF的值最小，最小值是AG的长，即DF+AF的最小值为AG的长。
∵ $AG = \sqrt{AB²+BG²} = \sqrt{(\sqrt{5})²+(2\sqrt{5})²}=5$，
∴ DF+AF的最小值为5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AE=EF}$，证明见解析；
(2) $\boldsymbol{EM=BE+DM}$，证明见解析；
(3) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路径问题
【点评】
本题是正方形综合题，涵盖了全等构造、图形旋转、最短路径转化等核心几何方法，其中构造全等三角形是解决前两问的关键，第三问利用轴对称将线段和转化为两点之间线段最短是常见的最短路径解题思路，对几何直观和逻辑推理能力有较高要求。
【难度系数】
0.4
(1) 要证明AE=EF，可通过构造全等三角形求证：结合E是BC中点的条件，取AB中点G，可得AG=CE，再结合正方形性质、角的互余关系推导对应角相等，结合外角平分线得到的135°角，用ASA证明△AEG≌△EFC即可得到结论。
(2) 探究线段和差关系，可通过旋转法转化线段：由(1)可知AE=EF，∠AEF=90°，可得∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADN，可证N、D、M共线，再证△ANM≌△AEM，即可将EM转化为DN+DM，进而得到三条线段的等量关系。
(3) 求两条线段和的最小值，用轴对称转化求解：作点D关于射线CF的对称点G，根据轴对称性质将DF转化为FG，那么DF+AF=AF+FG，当A、F、G三点共线时和最小，结合正方形边长用勾股定理计算AG的长度即可。
【解析】
(1) $AE=EF$，证明如下：
取AB的中点G，连接EG。
∵ 点E、点G分别为BC、AB的中点，
∴ $AG = BG=\frac{1}{2}AB$，$CE=BE=\frac{1}{2}BC$。
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ $AB = BC$，$∠B =∠BCD=90°$，
∴ $AG=CE=BG=BE$，
∴ △BGE是等腰直角三角形，
∴ $∠BGE = 45°$，
∴ $∠AGE = 180°-∠BGE=135°$。
∵ $∠AEF=90°$，
∴ $∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠GAE=90°$，
∴ $∠GAE=∠CEF$。
∵ CF为正方形外角的平分线，
∴ $∠DCF=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∴ $∠ECF=90°+45°=135°$，
∴ $∠AGE=∠ECF$。
在△AEG与△EFC中，
$\{\begin{array}{l}∠AGE=∠ECF \\AG=EC \\∠GAE=∠CEF\end{array} $
∴ $△ AEG≌△ EFC(\mathrm{ASA})$，
∴ $AE=EF$。
(2) $EM=BE+DM$，证明如下：
在AB上取一点G，使$BG=BE$，连接EG，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADN。
同(1)可得$AE=EF$。
∵ $∠AEF=90°$，
∴ $∠EAF=45°$，
∴ $∠GAE+∠MAD=90°-∠EAF=45°$。
∵ 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADN，
∴ $∠GAE=∠DAN$，$∠B=∠ADN=90°=∠ADM$，$AE=AN$，$BE=ND$，
∴ $∠NAM=∠DAN+∠MAD=∠MAD+∠GAE=45°$，$∠MDN=180°$，则N、D、M三点共线。
在△ANM和△AEM中，
$\{\begin{array}{l}AN=AE \\∠NAM=∠EAM=45° \\AM=AM\end{array} $
∴ $△ ANM≌△ AEM(\mathrm{SAS})$，
∴ $EM=MN=DN+DM=BE+DM$，即$EM=BE+DM$。
(3)
∵ 正方形ABCD的边长为$\sqrt{5}$，
∴ $AB=BC=CD=\sqrt{5}$，$∠BCD=∠ABC=90°$。
作点D关于射线CF的对称点G，连接FG、AG、CG。
由轴对称的性质得$DF = FG$，$CD = CG = \sqrt{5}$，易得$∠DCF=∠GCF=45°$，
∴ $∠DCG=90°$，
∴ $DF+AF =FG+AF$，$∠BCG = ∠BCD+∠DCG = 180°$，
∴ B、C、G三点共线，
∴ $BG=BC+CG=2\sqrt{5}$。
当A、F、G三点共线时，FG+AF的值最小，最小值是AG的长，即DF+AF的最小值为AG的长。
∵ $AG = \sqrt{AB²+BG²} = \sqrt{(\sqrt{5})²+(2\sqrt{5})²}=5$，
∴ DF+AF的最小值为5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AE=EF}$，证明见解析；
(2) $\boldsymbol{EM=BE+DM}$，证明见解析；
(3) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路径问题
【点评】
本题是正方形综合题，涵盖了全等构造、图形旋转、最短路径转化等核心几何方法，其中构造全等三角形是解决前两问的关键，第三问利用轴对称将线段和转化为两点之间线段最短是常见的最短路径解题思路，对几何直观和逻辑推理能力有较高要求。
【难度系数】
0.4
