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1[2025江苏南京期中]在四边形$ABCD$中，$∠ A=∠ B=∠ C=90°$，如果再添加一个条件可证明四边形$ABCD$是正方形，那么这个条件可以是（
A.$AB=BC$
B.$AB=CD$
C.$AC=BD$
D.$∠ D=90°$
A
）A.$AB=BC$
B.$AB=CD$
C.$AC=BD$
D.$∠ D=90°$
答案
1.A 【解析】在四边形ABCD中，
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴ 四边形ABCD是矩形. 当AB=BC,即一组邻边相等时,矩形ABCD为正方形,故A符合题意. 故选A.
∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴ 四边形ABCD是矩形. 当AB=BC,即一组邻边相等时,矩形ABCD为正方形,故A符合题意. 故选A.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手，已知四边形有三个内角为90°，根据矩形的判定定理，可先确定该四边形是矩形。接下来要使矩形变为正方形，需要满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的判定条件，据此逐一分析各个选项即可选出正确答案。
【解析】
解：
∵ 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，
∴ 四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。
对各选项分析如下：
A选项：若AB=BC，即矩形的一组邻边相等，根据“一组邻边相等的矩形是正方形”，可证四边形ABCD是正方形，符合题意；
B选项：矩形对边相等是固有性质，AB=CD无法证明该矩形是正方形，不符合题意；
C选项：矩形对角线相等是固有性质，AC=BD无法证明该矩形是正方形，不符合题意；
D选项：四边形内角和为360°，由∠A=∠B=∠C=90°可直接推出∠D=90°，仅能证明四边形是矩形，无法证明是正方形，不符合题意。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础的特殊四边形判定类题目，解题核心是先通过已知条件锁定四边形为矩形，再结合正方形的判定要求匹配符合的条件，熟记矩形和正方形的判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手，已知四边形有三个内角为90°，根据矩形的判定定理，可先确定该四边形是矩形。接下来要使矩形变为正方形，需要满足“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的判定条件，据此逐一分析各个选项即可选出正确答案。
【解析】
解：
∵ 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，
∴ 四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。
对各选项分析如下：
A选项：若AB=BC，即矩形的一组邻边相等，根据“一组邻边相等的矩形是正方形”，可证四边形ABCD是正方形，符合题意；
B选项：矩形对边相等是固有性质，AB=CD无法证明该矩形是正方形，不符合题意；
C选项：矩形对角线相等是固有性质，AC=BD无法证明该矩形是正方形，不符合题意；
D选项：四边形内角和为360°，由∠A=∠B=∠C=90°可直接推出∠D=90°，仅能证明四边形是矩形，无法证明是正方形，不符合题意。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础的特殊四边形判定类题目，解题核心是先通过已知条件锁定四边形为矩形，再结合正方形的判定要求匹配符合的条件，熟记矩形和正方形的判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2 如图,小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①$AB = BC$,②$∠ ABC=90°$,③$AC=BD$,④$AC ⊥ BD$中任选两个作为补充条件,使$□ ABCD$为正方形.现有下列四种选法,你认为错误的是 (
A.②③
B.①③
C.①②
D.③④
(第2题图)
(第3题图)
A
)A.②③
B.①③
C.①②
D.③④
(第2题图)
(第3题图)
答案
2.A 【解析】A选项,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 当②∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,而③AC=BD,这是矩形的性质,无法得出四边形ABCD是正方形,故此选项错误,符合题意; B选项,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 当①AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当③AC=BD时,菱形ABCD是正方形,故此选项正确,不合题意; C选项,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 当①AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当②∠ABC=90°时,菱形ABCD是正方形,故此选项正确,不合题意; D选项,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 当③AC=BD时,平行四边形ABCD是矩形,当④AC⊥BD时,矩形ABCD是正方形,故此选项正确,不合题意. 故选A.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 当②∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,而③AC=BD,这是矩形的性质,无法得出四边形ABCD是正方形,故此选项错误,符合题意; B选项,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 当①AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当③AC=BD时,菱形ABCD是正方形,故此选项正确,不合题意; C选项,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 当①AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当②∠ABC=90°时,菱形ABCD是正方形,故此选项正确,不合题意; D选项,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ 当③AC=BD时,平行四边形ABCD是矩形,当④AC⊥BD时,矩形ABCD是正方形,故此选项正确,不合题意. 故选A.
解析
【分析】
要判定平行四边形ABCD为正方形，需明确正方形同时具备矩形和菱形的特征，即需要先将平行四边形判定为矩形或菱形，再补充另一类特殊平行四边形的判定条件。解题时逐一分析每个选项的两个条件：先判断其中一个条件能将平行四边形转化为矩形还是菱形，再看另一个条件是否能使其满足另一类特殊平行四边形的特征，若同时满足则可判定为正方形，反之则错误。
【解析】
A选项：
∵四边形ABCD是平行四边形，当②$∠ ABC=90°$时，平行四边形ABCD是矩形；矩形本身就具有对角线相等的性质，即③$AC=BD$是矩形的固有性质，无法推出该矩形是正方形，故此选项错误，符合题意。
B选项：
∵四边形ABCD是平行四边形，当①$AB=BC$时，平行四边形ABCD是菱形；当③$AC=BD$时，对角线相等的菱形是正方形，可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意。
C选项：
∵四边形ABCD是平行四边形，当①$AB=BC$时，平行四边形ABCD是菱形；当②$∠ ABC=90°$时，有一个内角为直角的菱形是正方形，可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意。
D选项：
∵四边形ABCD是平行四边形，当③$AC=BD$时，平行四边形ABCD是矩形；当④$AC⊥ BD$时，对角线互相垂直的矩形是正方形，可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题关键是明确正方形同时具备矩形和菱形的所有特征，要准确区分矩形、菱形的判定条件和固有性质，避免混淆性质与判定导致错误。
【难度系数】
0.7
要判定平行四边形ABCD为正方形，需明确正方形同时具备矩形和菱形的特征，即需要先将平行四边形判定为矩形或菱形，再补充另一类特殊平行四边形的判定条件。解题时逐一分析每个选项的两个条件：先判断其中一个条件能将平行四边形转化为矩形还是菱形，再看另一个条件是否能使其满足另一类特殊平行四边形的特征，若同时满足则可判定为正方形，反之则错误。
【解析】
A选项：
∵四边形ABCD是平行四边形，当②$∠ ABC=90°$时，平行四边形ABCD是矩形；矩形本身就具有对角线相等的性质，即③$AC=BD$是矩形的固有性质，无法推出该矩形是正方形，故此选项错误，符合题意。
B选项：
∵四边形ABCD是平行四边形，当①$AB=BC$时，平行四边形ABCD是菱形；当③$AC=BD$时，对角线相等的菱形是正方形，可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意。
C选项：
∵四边形ABCD是平行四边形，当①$AB=BC$时，平行四边形ABCD是菱形；当②$∠ ABC=90°$时，有一个内角为直角的菱形是正方形，可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意。
D选项：
∵四边形ABCD是平行四边形，当③$AC=BD$时，平行四边形ABCD是矩形；当④$AC⊥ BD$时，对角线互相垂直的矩形是正方形，可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定；矩形的判定；菱形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题关键是明确正方形同时具备矩形和菱形的所有特征，要准确区分矩形、菱形的判定条件和固有性质，避免混淆性质与判定导致错误。
【难度系数】
0.7
3[2026河南郑州调研]如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点A落在BC上的点F处,折痕为BE,若沿EF剪下,则四边形ABFE是一个正方形,其数学原理是
有一组邻边相等的矩形是正方形
.答案
3.有一组邻边相等的矩形是正方形 【解析】
∵ 将矩形纸片ABCD折叠,点A落在BC上的点F处,
∴ BA=BF,且易得四边形ABFE为矩形,
∴ 四边形ABFE为正方形. 故其数学原理是有一组邻边相等的矩形是正方形. 故答案为有一组邻边相等的矩形是正方形.
∵ 将矩形纸片ABCD折叠,点A落在BC上的点F处,
∴ BA=BF,且易得四边形ABFE为矩形,
∴ 四边形ABFE为正方形. 故其数学原理是有一组邻边相等的矩形是正方形. 故答案为有一组邻边相等的矩形是正方形.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件对应的性质：首先矩形ABCD的内角均为直角，再结合折叠的性质得到对应边相等、对应角相等，先判断四边形ABFE的形状为矩形，再结合邻边相等的条件，对应正方形的判定定理即可推导得出原理。第一步，由矩形ABCD可得∠A、∠ABF都是90°，折叠后点A落在F处，可得AB=BF，且∠BFE=∠A=90°，因此四边形ABFE四个角均为直角，属于矩形；第二步，该矩形有一组邻边AB=BF，根据正方形的判定定理即可得出它是正方形，对应判定定理即为所求原理。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A = ∠ABF = 90°，
∵ 将矩形纸片ABCD折叠，点A落在BC上的点F处，
∴ 根据折叠的性质，BA = BF，∠BFE = ∠A = 90°，
∴ 四边形ABFE中∠A=∠ABF=∠BFE=90°，可判定四边形ABFE是矩形，
又
∵ BA=BF，即该矩形有一组邻边相等，
∴ 四边形ABFE是正方形，对应的数学原理为有一组邻边相等的矩形是正方形。
【答案】
有一组邻边相等的矩形是正方形
【知识点】
折叠的性质，矩形的判定，正方形的判定
【点评】
本题结合折叠操作考查特殊四边形的判定，解题的核心是先推导得出待判定四边形是矩形，再找到相等的邻边，对应判定定理即可求解，熟记各类特殊四边形的判定定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件对应的性质：首先矩形ABCD的内角均为直角，再结合折叠的性质得到对应边相等、对应角相等，先判断四边形ABFE的形状为矩形，再结合邻边相等的条件，对应正方形的判定定理即可推导得出原理。第一步，由矩形ABCD可得∠A、∠ABF都是90°，折叠后点A落在F处，可得AB=BF，且∠BFE=∠A=90°，因此四边形ABFE四个角均为直角，属于矩形；第二步，该矩形有一组邻边AB=BF，根据正方形的判定定理即可得出它是正方形，对应判定定理即为所求原理。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A = ∠ABF = 90°，
∵ 将矩形纸片ABCD折叠，点A落在BC上的点F处，
∴ 根据折叠的性质，BA = BF，∠BFE = ∠A = 90°，
∴ 四边形ABFE中∠A=∠ABF=∠BFE=90°，可判定四边形ABFE是矩形，
又
∵ BA=BF，即该矩形有一组邻边相等，
∴ 四边形ABFE是正方形，对应的数学原理为有一组邻边相等的矩形是正方形。
【答案】
有一组邻边相等的矩形是正方形
【知识点】
折叠的性质，矩形的判定，正方形的判定
【点评】
本题结合折叠操作考查特殊四边形的判定，解题的核心是先推导得出待判定四边形是矩形，再找到相等的邻边，对应判定定理即可求解，熟记各类特殊四边形的判定定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
4[2026山东烟台期中]如图,四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,点K在BC上,延长CD到点H,使$DH=CE=BK$.求证:四边形AKFH是正方形.
刷晕了鸭
刷晕了鸭
答案
4.【证明】
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,
∴ ∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC=BC,GC=EC=FG=EF,
∴ ∠ADH=90°.
∵ DH=CE=BK,
∴ HG=EK=BC=AD=AB.
在△ADH和△ABK中,
$\begin{cases}AD=AB,\\∠ADH=∠ABK=90°,\\DH=BK,\end{cases}$
∴ △ADH ≅ △ABK (SAS),
∴ ∠HAD = ∠BAK,
∴ ∠HAK = ∠BAD = 90°.
同理可得 △HGF ≅ △KEF ≅ △ABK ≅ △ADH,
∴ HF=FK=AK=AH,
∴ 四边形AKFH是正方形.
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,
∴ ∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC=BC,GC=EC=FG=EF,
∴ ∠ADH=90°.
∵ DH=CE=BK,
∴ HG=EK=BC=AD=AB.
在△ADH和△ABK中,
$\begin{cases}AD=AB,\\∠ADH=∠ABK=90°,\\DH=BK,\end{cases}$
∴ △ADH ≅ △ABK (SAS),
∴ ∠HAD = ∠BAK,
∴ ∠HAK = ∠BAD = 90°.
同理可得 △HGF ≅ △KEF ≅ △ABK ≅ △ADH,
∴ HF=FK=AK=AH,
∴ 四边形AKFH是正方形.
解析
【分析】
要证明四边形AKFH是正方形，可按照“先判定为菱形，再证明有一个内角为直角”的思路推导：首先根据正方形的性质得到边、角的相等关系，结合已知DH=CE=BK的条件，先通过SAS证明△ADH和△ABK全等，得到AH=AK，同时通过角的等量代换推导∠HAK为直角；再证明其余两个三角形也与这两个三角形全等，得到四边形AKFH的四条边都相等，先判定为菱形，最后结合直角即可判定为正方形。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴ ∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC=BC，GC=EC=FG=EF，
∴ ∠ADH=90°。
∵ DH=CE=BK，
∴ HG=EK=BC=AD=AB。
在△ADH和△ABK中，
$\begin{cases}AD=AB,\\∠ADH=∠ABK=90°,\\DH=BK,\end{cases}$
∴ △ADH ≅ △ABK (SAS)，
∴ ∠HAD = ∠BAK，
∴ ∠HAK = ∠HAD + ∠DAK = ∠BAK + ∠DAK = ∠BAD = 90°。
同理可得 △HGF ≅ △KEF ≅ △ABK ≅ △ADH，
∴ HF=FK=AK=AH，
∴ 四边形AKFH是正方形。
【答案】
四边形AKFH是正方形
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定
【点评】
本题是正方形判定的典型习题，解题关键是灵活运用正方形的边角性质，通过证明全等三角形得到待证四边形的边、角特征，进而结合判定定理完成证明，侧重考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
要证明四边形AKFH是正方形，可按照“先判定为菱形，再证明有一个内角为直角”的思路推导：首先根据正方形的性质得到边、角的相等关系，结合已知DH=CE=BK的条件，先通过SAS证明△ADH和△ABK全等，得到AH=AK，同时通过角的等量代换推导∠HAK为直角；再证明其余两个三角形也与这两个三角形全等，得到四边形AKFH的四条边都相等，先判定为菱形，最后结合直角即可判定为正方形。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴ ∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC=BC，GC=EC=FG=EF，
∴ ∠ADH=90°。
∵ DH=CE=BK，
∴ HG=EK=BC=AD=AB。
在△ADH和△ABK中，
$\begin{cases}AD=AB,\\∠ADH=∠ABK=90°,\\DH=BK,\end{cases}$
∴ △ADH ≅ △ABK (SAS)，
∴ ∠HAD = ∠BAK，
∴ ∠HAK = ∠HAD + ∠DAK = ∠BAK + ∠DAK = ∠BAD = 90°。
同理可得 △HGF ≅ △KEF ≅ △ABK ≅ △ADH，
∴ HF=FK=AK=AH，
∴ 四边形AKFH是正方形。
【答案】
四边形AKFH是正方形
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定
【点评】
本题是正方形判定的典型习题，解题关键是灵活运用正方形的边角性质，通过证明全等三角形得到待证四边形的边、角特征，进而结合判定定理完成证明，侧重考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
5[2026 贵州六盘水期末]如图,在矩形$ABCD$中,$∠BAD$的平分线$AE$交$BC$于点$E$,过点$E$作$EF⊥AD$于点$F$,连接$AC$.
(1)求证:四边形$ABEF$是正方形;
(2)若$CE=\sqrt{2}BE$,求$∠DAC$的度数.
(1)求证:四边形$ABEF$是正方形;
(2)若$CE=\sqrt{2}BE$,求$∠DAC$的度数.
答案
5.(1)【证明】
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠FAB = ∠ABE = 90°, AF // BE.
∵ EF ⊥ AD,
∴ ∠FAB = ∠ABE = ∠AFE=90°,
∴ 四边形ABEF是矩形.
∵ AE 平分 ∠BAD, AF // BE,
∴ ∠FAE = ∠BAE = ∠AEB,
∴ AB=BE,
∴ 四边形ABEF是正方形.
(2)【解】
∵ 四边形ABEF是正方形,
∴ ∠FAE=45°,
易得 AE = $\sqrt{2}BE$.
∵ CE = $\sqrt{2} BE$,
∴ AE = CE,
∴ ∠EAC = ∠ECA.
∵ AF // BC,
∴ ∠DAC = ∠ECA,
∴ ∠DAC = ∠EAC,
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠FAE = $\frac{1}{2}×45°$ = 22.5°.
∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ ∠FAB = ∠ABE = 90°, AF // BE.
∵ EF ⊥ AD,
∴ ∠FAB = ∠ABE = ∠AFE=90°,
∴ 四边形ABEF是矩形.
∵ AE 平分 ∠BAD, AF // BE,
∴ ∠FAE = ∠BAE = ∠AEB,
∴ AB=BE,
∴ 四边形ABEF是正方形.
(2)【解】
∵ 四边形ABEF是正方形,
∴ ∠FAE=45°,
易得 AE = $\sqrt{2}BE$.
∵ CE = $\sqrt{2} BE$,
∴ AE = CE,
∴ ∠EAC = ∠ECA.
∵ AF // BC,
∴ ∠DAC = ∠ECA,
∴ ∠DAC = ∠EAC,
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}$∠FAE = $\frac{1}{2}×45°$ = 22.5°.
解析
【分析】
(1)要证明四边形ABEF是正方形，遵循“先证矩形，再证邻边相等”的思路：首先利用矩形ABCD的内角为直角、对边平行的性质，结合EF⊥AD，可推出四边形ABEF有三个内角为直角，判定其为矩形；再利用AE是∠BAD的平分线，结合平行线的性质推导角相等，得到邻边AB=BE，即可判定为正方形。
(2)求∠DAC的度数时，首先根据正方形的性质结合勾股定理可得AE=√2 BE，结合已知CE=√2 BE推出AE=CE，得到等腰三角形，再利用AD//BC的内错角相等的性质，可推出∠DAC=∠EAC，结合∠FAE=45°即可求出∠DAC的度数。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠FAB = ∠ABE = 90°，AF//BE，
∵ EF⊥AD，
∴ ∠AFE=90°，
∴ ∠FAB = ∠ABE = ∠AFE=90°，
∴ 四边形ABEF是矩形。
∵ AE平分∠BAD，AF//BE，
∴ ∠FAE = ∠BAE = ∠AEB，
∴ AB=BE，
∴ 四边形ABEF是正方形。
(2)解：
∵ 四边形ABEF是正方形，
∴ ∠FAE=45°，AB=BE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{2}BE$，
∵ $CE=\sqrt{2}BE$，
∴ AE=CE，
∴ ∠EAC = ∠ECA，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴ ∠DAC = ∠ECA，
∴ ∠DAC = ∠EAC，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}∠FAE=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
(1) 四边形ABEF是正方形，证明成立；
(2) $∠DAC=22.5°$
【知识点】
正方形的判定；矩形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是特殊四边形的基础综合题，解题核心是熟练掌握矩形、正方形的判定定理和性质，结合角平分线、平行线、等腰三角形的性质逐步推导即可解决。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形ABEF是正方形，遵循“先证矩形，再证邻边相等”的思路：首先利用矩形ABCD的内角为直角、对边平行的性质，结合EF⊥AD，可推出四边形ABEF有三个内角为直角，判定其为矩形；再利用AE是∠BAD的平分线，结合平行线的性质推导角相等，得到邻边AB=BE，即可判定为正方形。
(2)求∠DAC的度数时，首先根据正方形的性质结合勾股定理可得AE=√2 BE，结合已知CE=√2 BE推出AE=CE，得到等腰三角形，再利用AD//BC的内错角相等的性质，可推出∠DAC=∠EAC，结合∠FAE=45°即可求出∠DAC的度数。
【解析】
(1)证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠FAB = ∠ABE = 90°，AF//BE，
∵ EF⊥AD，
∴ ∠AFE=90°，
∴ ∠FAB = ∠ABE = ∠AFE=90°，
∴ 四边形ABEF是矩形。
∵ AE平分∠BAD，AF//BE，
∴ ∠FAE = ∠BAE = ∠AEB，
∴ AB=BE，
∴ 四边形ABEF是正方形。
(2)解：
∵ 四边形ABEF是正方形，
∴ ∠FAE=45°，AB=BE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{2}BE$，
∵ $CE=\sqrt{2}BE$，
∴ AE=CE，
∴ ∠EAC = ∠ECA，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴ ∠DAC = ∠ECA，
∴ ∠DAC = ∠EAC，
∴ ∠DAC = $\frac{1}{2}∠FAE=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
(1) 四边形ABEF是正方形，证明成立；
(2) $∠DAC=22.5°$
【知识点】
正方形的判定；矩形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是特殊四边形的基础综合题，解题核心是熟练掌握矩形、正方形的判定定理和性质，结合角平分线、平行线、等腰三角形的性质逐步推导即可解决。
【难度系数】
0.7
6[2026四川凉山州期中]如图,在$△ ABC$中,CE平分$∠ ACB$,CF平分$△ ABC$的外角$∠ ACD$,过点A作$AM ⊥ CE$于M,$AN ⊥ CF$于N,连接MN交AC于点O.
(1)求证:$AC=MN$;
(2)当线段AC和MN满足什么条件时,四边形AMCN为正方形?
(1)求证:$AC=MN$;
(2)当线段AC和MN满足什么条件时,四边形AMCN为正方形?
答案
6.(1)【证明】
∵ CE 平分 ∠ACB,CF 平分△ABC 的外角∠ACD,
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB, ∠ACN = $\frac{1}{2}$∠ACD,
∴ ∠MCN = ∠ACE+∠ACN = $\frac{1}{2}$(∠ACB+∠ACD) = 90°.
∵ AM ⊥ CE,AN ⊥ CF,
∴ ∠AMC = ∠ANC = 90°,
∴ 四边形AMCN是矩形,
∴ AC=MN.
(2)【解】
∵ 四边形AMCN是矩形,
∴ 当AC ⊥ MN时,四边形AMCN为正方形.
∵ CE 平分 ∠ACB,CF 平分△ABC 的外角∠ACD,
∴ ∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB, ∠ACN = $\frac{1}{2}$∠ACD,
∴ ∠MCN = ∠ACE+∠ACN = $\frac{1}{2}$(∠ACB+∠ACD) = 90°.
∵ AM ⊥ CE,AN ⊥ CF,
∴ ∠AMC = ∠ANC = 90°,
∴ 四边形AMCN是矩形,
∴ AC=MN.
(2)【解】
∵ 四边形AMCN是矩形,
∴ 当AC ⊥ MN时,四边形AMCN为正方形.
解析
【分析】
(1) 要证明$AC=MN$，可先判定四边形$AMCN$的形状，利用特殊四边形的性质推导线段关系。首先根据角平分线的定义，结合$∠ACB$与$∠ACD$是邻补角，可推出$∠MCN=90°$，再结合已知的两个垂直条件，可得四边形$AMCN$有三个直角，符合矩形的判定条件，最后利用矩形对角线相等的性质即可得证。
(2) 由(1)已得四边形$AMCN$是矩形，根据正方形的判定定理，矩形只需满足对角线互相垂直即可成为正方形，而$AC$和$MN$是矩形的两条对角线，由此可直接得出对应条件。
【解析】
(1) 证明：
∵ $CE$平分$∠ACB$，$CF$平分$△ABC$的外角$∠ACD$，
∴ $∠ACE = \frac{1}{2}∠ACB$，$∠ACN = \frac{1}{2}∠ACD$，
又
∵ $∠ACB + ∠ACD = 180°$（邻补角的定义），
∴ $∠MCN = ∠ACE + ∠ACN = \frac{1}{2}(∠ACB + ∠ACD) = \frac{1}{2}×180° = 90°$。
∵ $AM⊥CE$，$AN⊥CF$，
∴ $∠AMC = ∠ANC = 90°$，
∴ 四边形$AMCN$中，$∠AMC=∠ANC=∠MCN=90°$，
∴ 四边形$AMCN$是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴ $AC=MN$（矩形的对角线相等）。
(2) 解：
由(1)可知四边形$AMCN$是矩形，根据正方形的判定：对角线互相垂直的矩形是正方形，
∵ $AC$、$MN$是矩形$AMCN$的两条对角线，
∴ 当$AC⊥MN$时，四边形$AMCN$为正方形。
【答案】
(1) 证明如上，$AC=MN$成立；
(2) 当$AC⊥MN$时，四边形$AMCN$为正方形。
【知识点】
角平分线的定义；矩形的判定与性质；正方形的判定
【点评】
本题结合角平分线的性质考查特殊四边形的判定与应用，解题核心是先推导得到四边形$AMCN$为矩形，再结合特殊四边形的判定规则求解，能有效检验学生对特殊四边形相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AC=MN$，可先判定四边形$AMCN$的形状，利用特殊四边形的性质推导线段关系。首先根据角平分线的定义，结合$∠ACB$与$∠ACD$是邻补角，可推出$∠MCN=90°$，再结合已知的两个垂直条件，可得四边形$AMCN$有三个直角，符合矩形的判定条件，最后利用矩形对角线相等的性质即可得证。
(2) 由(1)已得四边形$AMCN$是矩形，根据正方形的判定定理，矩形只需满足对角线互相垂直即可成为正方形，而$AC$和$MN$是矩形的两条对角线，由此可直接得出对应条件。
【解析】
(1) 证明：
∵ $CE$平分$∠ACB$，$CF$平分$△ABC$的外角$∠ACD$，
∴ $∠ACE = \frac{1}{2}∠ACB$，$∠ACN = \frac{1}{2}∠ACD$，
又
∵ $∠ACB + ∠ACD = 180°$（邻补角的定义），
∴ $∠MCN = ∠ACE + ∠ACN = \frac{1}{2}(∠ACB + ∠ACD) = \frac{1}{2}×180° = 90°$。
∵ $AM⊥CE$，$AN⊥CF$，
∴ $∠AMC = ∠ANC = 90°$，
∴ 四边形$AMCN$中，$∠AMC=∠ANC=∠MCN=90°$，
∴ 四边形$AMCN$是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴ $AC=MN$（矩形的对角线相等）。
(2) 解：
由(1)可知四边形$AMCN$是矩形，根据正方形的判定：对角线互相垂直的矩形是正方形，
∵ $AC$、$MN$是矩形$AMCN$的两条对角线，
∴ 当$AC⊥MN$时，四边形$AMCN$为正方形。
【答案】
(1) 证明如上，$AC=MN$成立；
(2) 当$AC⊥MN$时，四边形$AMCN$为正方形。
【知识点】
角平分线的定义；矩形的判定与性质；正方形的判定
【点评】
本题结合角平分线的性质考查特殊四边形的判定与应用，解题核心是先推导得到四边形$AMCN$为矩形，再结合特殊四边形的判定规则求解，能有效检验学生对特殊四边形相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
7 如图，任意四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，连接AC,BD，对于四边形EFGH的形状，下列说法中错误的是 (
A.若AC = BD，则四边形EFGH为菱形
B.若AC ⊥ BD，则四边形EFGH为矩形
C.若AC = BD，且AC ⊥ BD，则四边形EFGH为正方形
D.若AC与BD互相平分，且AC = BD，则四边形EFGH是正方形
D
)A.若AC = BD，则四边形EFGH为菱形
B.若AC ⊥ BD，则四边形EFGH为矩形
C.若AC = BD，且AC ⊥ BD，则四边形EFGH为正方形
D.若AC与BD互相平分，且AC = BD，则四边形EFGH是正方形
答案
7.D 【解析】当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点,且AC=BD时,存在EF=FG=GH=HE,则四边形EFGH为菱形,故A选项不符合题意;当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点,且AC⊥BD时,存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠HEF=90°,则四边形EFGH为矩形,故B选项不符合题意;当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点,且AC=BD,AC⊥BD时,存在EF=FG=GH=HE,∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠HEF=90°,则四边形EFGH为正方形,故C选项不符合题意;当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点,且AC与BD互相平分,AC=BD时,存在EF=FG=GH=HE,则四边形EFGH为菱形,故D选项符合题意. 故选D.
解析
【分析】
解决这类中点四边形的问题，首先要回忆三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。由此可得，任意四边形的中点四边形首先是平行四边形，它的具体形状由原四边形两条对角线的关系决定：对角线相等对应中点四边形为菱形，对角线垂直对应中点四边形为矩形，对角线既相等又垂直对应中点四边形为正方形。接下来我们按照这个规律逐一分析每个选项，找出错误的说法即可。
【解析】
首先根据三角形中位线定理可得：
EF是△ABC的中位线，因此$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$；同理$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$，因此$EF// HG$且$EF=HG$，可得四边形EFGH是平行四边形，同理可得$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$。
对选项A：若$AC=BD$，则$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=EH$，邻边相等的平行四边形是菱形，因此四边形EFGH为菱形，A说法正确，不符合题意。
对选项B：若$AC⊥ BD$，由$EF// AC$、$EH// BD$可得$EF⊥ EH$，有一个内角为直角的平行四边形是矩形，因此四边形EFGH为矩形，B说法正确，不符合题意。
对选项C：若$AC=BD$且$AC⊥ BD$，结合A、B的结论，可知平行四边形EFGH邻边相等且有直角，是正方形，C说法正确，不符合题意。
对选项D：若AC与BD互相平分，说明原四边形ABCD是平行四边形，又$AC=BD$，则原四边形是矩形，此时仅能得到$EF=EH$，即平行四边形EFGH是菱形，没有条件说明$AC⊥ BD$，因此不能判定为正方形，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；特殊平行四边形判定；中点四边形性质
【点评】
本题重点考查中点四边形的形状判断，核心是明确中点四边形的形状仅由原四边形两条对角线的数量、位置关系决定，熟练掌握各类特殊平行四边形的判定条件是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解决这类中点四边形的问题，首先要回忆三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。由此可得，任意四边形的中点四边形首先是平行四边形，它的具体形状由原四边形两条对角线的关系决定：对角线相等对应中点四边形为菱形，对角线垂直对应中点四边形为矩形，对角线既相等又垂直对应中点四边形为正方形。接下来我们按照这个规律逐一分析每个选项，找出错误的说法即可。
【解析】
首先根据三角形中位线定理可得：
EF是△ABC的中位线，因此$EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$；同理$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$，因此$EF// HG$且$EF=HG$，可得四边形EFGH是平行四边形，同理可得$EH// BD$，$EH=\frac{1}{2}BD$。
对选项A：若$AC=BD$，则$EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=EH$，邻边相等的平行四边形是菱形，因此四边形EFGH为菱形，A说法正确，不符合题意。
对选项B：若$AC⊥ BD$，由$EF// AC$、$EH// BD$可得$EF⊥ EH$，有一个内角为直角的平行四边形是矩形，因此四边形EFGH为矩形，B说法正确，不符合题意。
对选项C：若$AC=BD$且$AC⊥ BD$，结合A、B的结论，可知平行四边形EFGH邻边相等且有直角，是正方形，C说法正确，不符合题意。
对选项D：若AC与BD互相平分，说明原四边形ABCD是平行四边形，又$AC=BD$，则原四边形是矩形，此时仅能得到$EF=EH$，即平行四边形EFGH是菱形，没有条件说明$AC⊥ BD$，因此不能判定为正方形，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理；特殊平行四边形判定；中点四边形性质
【点评】
本题重点考查中点四边形的形状判断，核心是明确中点四边形的形状仅由原四边形两条对角线的数量、位置关系决定，熟练掌握各类特殊平行四边形的判定条件是解题的关键。
【难度系数】
0.7
