10.已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）

A.$∠ BAC=∠ DCA$
B.$∠ BAC=∠ DAC$
C.$∠ BAC=∠ ABD$
D.$∠ BAC=∠ ADB$

10.C

11.如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是。 第11题图

11.对角线互相垂直

12.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,连接CF,连接AE并延长至点G,使EG=AE,连接CG.
(1)求证:$△ ABE ≌ △ CDF$;
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.

12.(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB//CD,OB=OD,OA=OC,
∴∠ABE=∠CDF.
∵点E,F分别为OB,OD的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}OB$,$DF=\frac{1}{2}OD$,
∴BE=DF.在△ABE和△CDF中，
∵$\begin{cases} AB=CD, \\ ∠ABE=∠CDF, \\ BE=DF, \end{cases}$
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)解:当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.理由如下:
∵AC=2OA,AC=2AB,
∴AB=OA.
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB,
∴∠OEG=90°.
同理,∠OFC=90°,
∴AG//CF,
∴EG//CF.
∵EG=AE,OA=OC,
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE//CG,
∴EF//CG,
∴四边形EGCF是平行四边形.
∵∠OEG=90°,
∴平行四边形EGCF是矩形.

三、能力拓展训练
13. 如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EF//BC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E,F.
(1)若CE=8,CF=6,求OC的长;
(2)连接AE,AF.问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?请说明理由.

13.解:(1)
∵EF交∠ACB的平分线于点E,交外角∠ACD的平分线于点F，
∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF,
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,
∴∠ECF=90°.
∵EF//BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,
∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,
∴OE=OC,OF=OC,
∴OE=OF.
在Rt△ECF中,由勾股定理,得
$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=10$,
∴$OC=OE=\frac{1}{2}EF=5$.
(2)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:
当O为AC的中点时,AO=CO,
∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形.
又
∵∠ECF=90°,
∴平行四边形AECF是矩形.