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11. 计算: (1) $2×\{3×[4×(\dfrac{1}{4}-1)-1]-1\}-1 =$
(2) $\dfrac{-3×2÷5 +22÷55 +9×4÷10 +1.6 -21×6÷15}{7×10÷25 -3×0.4 +6×14÷35 -2} =$
-27
;(2) $\dfrac{-3×2÷5 +22÷55 +9×4÷10 +1.6 -21×6÷15}{7×10÷25 -3×0.4 +6×14÷35 -2} =$
-2
.答案
46.2÷6=7.7（元）
22.8÷3=7.6（元）
7.7＞7.6
答：典典家平均每月节约的电费多。
22.8÷3=7.6（元）
7.7＞7.6
答：典典家平均每月节约的电费多。
12. 如图是计算机程序框图,若开始时输入$x=-\dfrac{1}{2}$,则最后输出的结果是
-11
. 答案
12. -11 解析:由题意可得当$x=-\dfrac{1}{2}$时,$4x-(-1) = -\dfrac{1}{2} × 4 + 1 = -2+1 = -1 ＞ -5$;当$x=-1$时,$4x-(-1) = 4 × (-1) + 1 = -3 ＞ -5$;当$x=-3$时,$4x-(-1) = 4 × (-3) + 1 = -12+1 = -11 ＜ -5$.
解析
【分析】
解题时首先要明确程序的运算逻辑：输入x后，先计算$4x-(-1)$（即$4x+1$），再判断计算结果是否$≤ -5$，若满足条件就直接输出结果，若不满足，就将该结果作为新的x值重新代入运算，直到结果符合输出条件为止。我们只需按照这个逻辑，从初始输入值$x=-\dfrac{1}{2}$开始逐步计算、判断即可。
【解析】
第一步，初始输入$x=-\dfrac{1}{2}$，代入运算：
$4x - (-1) = 4×(-\dfrac{1}{2}) +1 = -2 +1 = -1$
因为$-1 ＞ -5$，不满足输出条件，将$x=-1$重新代入计算；
第二步，输入$x=-1$，代入运算：
$4x - (-1) =4×(-1)+1=-4+1=-3$
因为$-3 ＞ -5$，不满足输出条件，将$x=-3$重新代入计算；
第三步，输入$x=-3$，代入运算：
$4x - (-1) =4×(-3)+1=-12+1=-11$
因为$-11 ≤ -5$，满足输出条件。
【答案】
$-11$
【知识点】
有理数混合运算，程序框图运算，有理数大小比较
【点评】
本题需要先理解程序的循环运算规则，重点考查有理数加减乘除混合运算的准确性，尤其要注意负数运算的符号处理，避免因计算错误或只运算一次就停止导致失分。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确程序的运算逻辑：输入x后，先计算$4x-(-1)$（即$4x+1$），再判断计算结果是否$≤ -5$，若满足条件就直接输出结果，若不满足，就将该结果作为新的x值重新代入运算，直到结果符合输出条件为止。我们只需按照这个逻辑，从初始输入值$x=-\dfrac{1}{2}$开始逐步计算、判断即可。
【解析】
第一步，初始输入$x=-\dfrac{1}{2}$，代入运算：
$4x - (-1) = 4×(-\dfrac{1}{2}) +1 = -2 +1 = -1$
因为$-1 ＞ -5$，不满足输出条件，将$x=-1$重新代入计算；
第二步，输入$x=-1$，代入运算：
$4x - (-1) =4×(-1)+1=-4+1=-3$
因为$-3 ＞ -5$，不满足输出条件，将$x=-3$重新代入计算；
第三步，输入$x=-3$，代入运算：
$4x - (-1) =4×(-3)+1=-12+1=-11$
因为$-11 ≤ -5$，满足输出条件。
【答案】
$-11$
【知识点】
有理数混合运算，程序框图运算，有理数大小比较
【点评】
本题需要先理解程序的循环运算规则，重点考查有理数加减乘除混合运算的准确性，尤其要注意负数运算的符号处理，避免因计算错误或只运算一次就停止导致失分。
【难度系数】
0.7
13. 计算:
(1) $-\dfrac{5}{6}÷[\dfrac{1}{24}×(-1\dfrac{1}{4})]÷(-3\dfrac{1}{6})-0.25÷\dfrac{1}{4}$；
(2) $\{2\dfrac{2}{3}-[(1.5×2\dfrac{2}{3})÷\dfrac{1}{6}-1\dfrac{1}{7}]\}÷\dfrac{8}{3}$。
(1) $-\dfrac{5}{6}÷[\dfrac{1}{24}×(-1\dfrac{1}{4})]÷(-3\dfrac{1}{6})-0.25÷\dfrac{1}{4}$；
(2) $\{2\dfrac{2}{3}-[(1.5×2\dfrac{2}{3})÷\dfrac{1}{6}-1\dfrac{1}{7}]\}÷\dfrac{8}{3}$。
答案
2×3=6（张）
6+2=8（张）
190.4÷8=23.8（元）
23.8×3=71.4（元）
答：1张成人票71.4元，1张儿童票23.8元。
6+2=8（张）
190.4÷8=23.8（元）
23.8×3=71.4（元）
答：1张成人票71.4元，1张儿童票23.8元。
14. 现定义两种运算“⊕”和“※”：对于任意两个整数$a,b$，都有$a\oplus b = a + b - 1$，$a※b = a × b + 2$。
(1)分别求出$-3\oplus 2$和$4※(-1)$的值；
(2)试求$(-3\oplus 2)※[4※(-1)]\oplus 2$的值。
(1)分别求出$-3\oplus 2$和$4※(-1)$的值；
(2)试求$(-3\oplus 2)※[4※(-1)]\oplus 2$的值。
答案
14. (1)$-3\oplus 2 = -3+2-1 = -2$,$4※(-1) = 4 × (-1)+2 = -2$.
(2)$(-3\oplus 2)※[4※(-1)]\oplus 2 = [(-2) × (-2)+2] \oplus 2 = 6\oplus 2 = 6+2-1 =7$.
(2)$(-3\oplus 2)※[4※(-1)]\oplus 2 = [(-2) × (-2)+2] \oplus 2 = 6\oplus 2 = 6+2-1 =7$.
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解两种新运算的规则：①“⊕”运算：运算结果为两个数相加再减1；②“※”运算：运算结果为两个数相乘再加2。
（1）问属于直接套用运算公式的基础计算，只需将对应数值代入对应新运算的公式，按照有理数的运算法则计算即可，注意正负号的处理。
（2）问是新运算的混合计算，需遵循有理数混合运算的顺序：先算括号内的部分，再按照从左到右的顺序计算括号外的运算，每一步都要先明确当前运算的类型，再代入对应公式计算，避免混淆两种新运算的规则。
【解析】
(1) 根据新运算规则计算：
计算$-3\oplus 2$时，对应$a=-3,b=2$，代入$a\oplus b=a+b-1$可得：
$-3\oplus 2=-3+2-1=-2$
计算$4※(-1)$时，对应$a=4,b=-1$，代入$a※b=a× b+2$可得：
$4※(-1)=4× (-1)+2=-4+2=-2$
(2) 先代入括号内的运算结果，再按顺序计算：
原式$=(-2)※(-2)\oplus 2$
先计算“※”运算：对应$a=-2,b=-2$，代入得：
$(-2)※(-2)=(-2)× (-2)+2=4+2=6$
再计算“⊕”运算：对应$a=6,b=2$，代入得：
$6\oplus 2=6+2-1=7$
【答案】
(1) $-3\oplus 2=-2$，$4※(-1)=-2$；
(2) $7$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、四则运算顺序
【点评】
本题属于新定义运算的基础题型，重点考查对新规则的阅读理解能力和有理数混合运算的计算能力，解题关键是准确把握两种新运算的计算法则，严格按照运算顺序逐步计算，注意运算过程中正负号的处理，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解两种新运算的规则：①“⊕”运算：运算结果为两个数相加再减1；②“※”运算：运算结果为两个数相乘再加2。
（1）问属于直接套用运算公式的基础计算，只需将对应数值代入对应新运算的公式，按照有理数的运算法则计算即可，注意正负号的处理。
（2）问是新运算的混合计算，需遵循有理数混合运算的顺序：先算括号内的部分，再按照从左到右的顺序计算括号外的运算，每一步都要先明确当前运算的类型，再代入对应公式计算，避免混淆两种新运算的规则。
【解析】
(1) 根据新运算规则计算：
计算$-3\oplus 2$时，对应$a=-3,b=2$，代入$a\oplus b=a+b-1$可得：
$-3\oplus 2=-3+2-1=-2$
计算$4※(-1)$时，对应$a=4,b=-1$，代入$a※b=a× b+2$可得：
$4※(-1)=4× (-1)+2=-4+2=-2$
(2) 先代入括号内的运算结果，再按顺序计算：
原式$=(-2)※(-2)\oplus 2$
先计算“※”运算：对应$a=-2,b=-2$，代入得：
$(-2)※(-2)=(-2)× (-2)+2=4+2=6$
再计算“⊕”运算：对应$a=6,b=2$，代入得：
$6\oplus 2=6+2-1=7$
【答案】
(1) $-3\oplus 2=-2$，$4※(-1)=-2$；
(2) $7$
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算、四则运算顺序
【点评】
本题属于新定义运算的基础题型，重点考查对新规则的阅读理解能力和有理数混合运算的计算能力，解题关键是准确把握两种新运算的计算法则，严格按照运算顺序逐步计算，注意运算过程中正负号的处理，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
15. 若将正整数1,2,3,…,98写在一起,则可以构成一个新数:12345…91011…9798.
(1)这个新数是一个几位数?
(2)这个新数各个数位上的数字之和为多少?
(3)在黑板上写上数-1,-2,-3,…,-98,每次擦去任意的两个数,换上这两个数的和或差,重复这样的操作连续若干次,直到黑板上仅留下一个数为止,这个数是否可能为-2 000?请说明理由.
(1)这个新数是一个几位数?
(2)这个新数各个数位上的数字之和为多少?
(3)在黑板上写上数-1,-2,-3,…,-98,每次擦去任意的两个数,换上这两个数的和或差,重复这样的操作连续若干次,直到黑板上仅留下一个数为止,这个数是否可能为-2 000?请说明理由.
答案
15. (1)$9+(98-9) × 2 = 9+178 = 187$,所以这个新数是一个一百八十七位数.
(2)因为$10 × (1+2+3+4+5+6+7+8+9) × 2 = 900$,所以这个新数各个数位上的数字之和为$900-9 × 2 = 882$.
(3)不可能.理由:由于两个数的和与两个数的差的奇偶性是相同的,所以若干次后剩余数的差与这 98 个数的和的奇偶性相同.因为$-1-2-3-\dots-98 = -(1+98) × 98 ÷ 2 = -4\ 851$是奇数,$-2\ 000$不是奇数,所以没有这种可能性.
(2)因为$10 × (1+2+3+4+5+6+7+8+9) × 2 = 900$,所以这个新数各个数位上的数字之和为$900-9 × 2 = 882$.
(3)不可能.理由:由于两个数的和与两个数的差的奇偶性是相同的,所以若干次后剩余数的差与这 98 个数的和的奇偶性相同.因为$-1-2-3-\dots-98 = -(1+98) × 98 ÷ 2 = -4\ 851$是奇数,$-2\ 000$不是奇数,所以没有这种可能性.
解析
【分析】
(1) 计算新数的位数可分类统计：1~9是一位数，共9个，每个占1个数位；10~98是两位数，先算出两位数的个数，每个占2个数位，两类数位总数相加就是新数的总位数。
(2) 计算数字和可先参考1~99的数字和规律：1~99中，个位、十位上1~9均各出现10次，先算出1~99的数字总和，再减去多算的99的两个数位的数字和，即可得到1~98的数字总和。
(3) 操作类问题可找不变量：任意两个数的和与差的奇偶性相同，因此每次操作后剩余数的奇偶性与原98个数总和的奇偶性一致，只需对比原总和和-2000的奇偶性即可判断。
【解析】
(1) 1~9共9个一位数，占数位总数：$9×1=9$；
10~98共$98-9=89$个两位数，占数位总数：$89×2=178$；
总位数为$9+178=187$。
(2) 1~9的数字和为$1+2+3+\dots+9=45$，1~99中个位、十位上1~9各出现10次，因此1~99的数字总和为$10×45×2=900$；
本题仅到98，比99少了两个数位的9，因此需减去$9×2=18$，得到1~98的数字和为$900-18=882$。
(3) 不可能，理由如下：
任意两个整数的和与差的奇偶性相同，因此每次操作后，剩余数的奇偶性与原所有数总和的奇偶性保持一致。
计算原98个数的总和：$-1-2-\dots-98=-(1+2+\dots+98)=-\frac{(1+98)×98}{2}=-4851$，是奇数；
而-2000是偶数，二者奇偶性不同，因此不可能得到-2000。
【答案】
(1) 187位；
(2) 882；
(3) 不可能，理由见解析。
【知识点】
数的位数计算，数字和计算，奇偶性应用
【点评】
本题综合考查了数的构成规律、分类统计的方法以及不变量分析的思路，第三问需要突破常规计算的思维，找到操作前后不变的奇偶性作为解题突破口，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 计算新数的位数可分类统计：1~9是一位数，共9个，每个占1个数位；10~98是两位数，先算出两位数的个数，每个占2个数位，两类数位总数相加就是新数的总位数。
(2) 计算数字和可先参考1~99的数字和规律：1~99中，个位、十位上1~9均各出现10次，先算出1~99的数字总和，再减去多算的99的两个数位的数字和，即可得到1~98的数字总和。
(3) 操作类问题可找不变量：任意两个数的和与差的奇偶性相同，因此每次操作后剩余数的奇偶性与原98个数总和的奇偶性一致，只需对比原总和和-2000的奇偶性即可判断。
【解析】
(1) 1~9共9个一位数，占数位总数：$9×1=9$；
10~98共$98-9=89$个两位数，占数位总数：$89×2=178$；
总位数为$9+178=187$。
(2) 1~9的数字和为$1+2+3+\dots+9=45$，1~99中个位、十位上1~9各出现10次，因此1~99的数字总和为$10×45×2=900$；
本题仅到98，比99少了两个数位的9，因此需减去$9×2=18$，得到1~98的数字和为$900-18=882$。
(3) 不可能，理由如下：
任意两个整数的和与差的奇偶性相同，因此每次操作后，剩余数的奇偶性与原所有数总和的奇偶性保持一致。
计算原98个数的总和：$-1-2-\dots-98=-(1+2+\dots+98)=-\frac{(1+98)×98}{2}=-4851$，是奇数；
而-2000是偶数，二者奇偶性不同，因此不可能得到-2000。
【答案】
(1) 187位；
(2) 882；
(3) 不可能，理由见解析。
【知识点】
数的位数计算，数字和计算，奇偶性应用
【点评】
本题综合考查了数的构成规律、分类统计的方法以及不变量分析的思路，第三问需要突破常规计算的思维，找到操作前后不变的奇偶性作为解题突破口，能很好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
