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1[2025山西大同期中]下列条件不能判定两个直角三角形全等的是 (
A.斜边和一条直角边分别相等
B.一个锐角和斜边分别相等
C.两条直角边分别相等
D.两个锐角分别相等
D
)A.斜边和一条直角边分别相等
B.一个锐角和斜边分别相等
C.两条直角边分别相等
D.两个锐角分别相等
答案
D 【解析】A选项,利用HL可以判定两个直角三角形全等,不符合题意;B选项,利用AAS可以判定两个直角三角形全等,不符合题意;C选项,利用SAS可以判定两个直角三角形全等,不符合题意;D选项,利用AAA不能判定两个直角三角形全等,符合题意.故选D.
2 新考法[2026湖南长沙期末]甲、乙两位同学玩一种数学游戏.游戏规则是两人轮流给$△ ABC$及$△ A'B'C'$对应的边或角添加等量条件(点$A',B',C'$分别是点$A,B,C$的对应点),某轮添加条件后,若能判定$△ ABC$与$△ A'B'C'$全等,则当轮行动者失败,另一人获胜.下表记录了两人游戏的部分过程,则下列说法正确的是 (
①若第3轮甲添加条件$AC=A'C'$,则乙获胜；
②若甲想获胜,第3轮可以添加条件$∠C=∠C'$；
③若乙想获胜,可修改第2轮添加条件为$∠A=∠A'=90°$.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
D
)①若第3轮甲添加条件$AC=A'C'$,则乙获胜；
②若甲想获胜,第3轮可以添加条件$∠C=∠C'$；
③若乙想获胜,可修改第2轮添加条件为$∠A=∠A'=90°$.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
D 【解析】①若第3轮甲添加条件$AC=A'C'$,根据SSS即可判定$△ ABC≌ △ A'B'C'$,则甲失败,乙获胜,故说法正确,符合题意;②若第3轮甲添加条件$∠C = ∠C'$,SSA不能判定$△ ABC≌ △ A'B'C'$,而第4轮无论乙添加任何对应的边或角的等量条件,都能判定$△ ABC≌ △A'B'C'$,则乙失败,甲获胜,故说法正确,符合题意;③若乙第2轮添加条件为$∠A = ∠A'=90°$,则第3轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件,都能判定$△ ABC ≌ △A'B'C'$,则甲失败,乙获胜,故说法正确,符合题意.综上,说法正确的是①②③,故选D.
3[2025 辽宁大连期中]如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，BE=DF. 若要直接用“HL”判定 Rt△ABF ≌ Rt△CDE，则需要添加的条件为
AF=CE
. 答案
AF=CE 【解析】需要添加的条件为$AF=CE$.
$\because BE=DF,\therefore BE+BD=FD+BD$,即$DE=BF$.
$\because AB⊥EF,CD⊥EF,\therefore ∠ABF=∠CDE=90°$.
又$\because AF=CE,\therefore Rt△ABF≌ Rt△CDE(HL)$.故答案为$AF=CE$.
$\because BE=DF,\therefore BE+BD=FD+BD$,即$DE=BF$.
$\because AB⊥EF,CD⊥EF,\therefore ∠ABF=∠CDE=90°$.
又$\because AF=CE,\therefore Rt△ABF≌ Rt△CDE(HL)$.故答案为$AF=CE$.
4[2025黑龙江哈尔滨期末]如图,AC⊥BC于点C,AC=6,BC=3,连接AB,射线AX⊥AC于点A,点P在线段AC上移动,点Q在射线AX上随着点P移动,且始终保持PQ=AB,当AP=
(第4题图)
(第5题图)
3或6
时,才能使△PQA与△ABC全等.(第4题图)
(第5题图)
答案
3或6 【解析】$\because AC ⊥ BC, AX ⊥ AC$,
$\therefore ∠ACB=∠PAQ=90°.∵ PQ=AB,∴$ 当$AP=BC=3$或$AP=AC=6$时,可以根据HL证明$△PQA$与$△ABC$全等.故答案为3或6.
$\therefore ∠ACB=∠PAQ=90°.∵ PQ=AB,∴$ 当$AP=BC=3$或$AP=AC=6$时,可以根据HL证明$△PQA$与$△ABC$全等.故答案为3或6.
5[2026辽宁鞍山质检]如图，有两个长度相等的滑梯靠在同一面垂直于地面的墙上.已知左边滑梯的一端C到地面的高度AC与右边滑梯的一端F到墙的距离DF相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（
A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$180°$
B
）A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$180°$
答案
B 【解析】由题意可知,$AC=DF,∠CAB=∠EDF=90°,BC=EF$. 在$Rt△CAB$和$Rt△FDE$中,$\begin{cases} BC=EF, \\ AC=DF, \end{cases} \therefore Rt△CAB≌ Rt△FDE (HL)$,
$\therefore ∠ABC=∠DEF.∵ ∠EDF=90°,∴ ∠DEF+∠DFE=90°,∴ ∠ABC+∠DFE=90°$.故选B.
$\therefore ∠ABC=∠DEF.∵ ∠EDF=90°,∴ ∠DEF+∠DFE=90°,∴ ∠ABC+∠DFE=90°$.故选B.
6[2026 四川成都期中]如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,连接DE,EC,DE=EC.
求证:(1)$Rt△ ADE ≌ Rt△ BEC$.
(2)$DE ⊥ CE$.
求证:(1)$Rt△ ADE ≌ Rt△ BEC$.
(2)$DE ⊥ CE$.
答案
【证明】(1) 在$Rt△ ADE$ 和 $Rt△ BEC$ 中,
$\begin{cases} DE=EC, \\ AE=BC, \end{cases} \therefore Rt△ ADE≌ Rt△ BEC(HL)$.
(2)由(1)得$Rt△ ADE≌ Rt△ BEC,\therefore ∠AED=∠BCE.∵ ∠B=90°,∴ ∠BCE + ∠BEC = ∠AED + ∠BEC = 90°,∴ ∠DEC = 180°-(∠AED+∠BEC)=90°,∴ DE ⊥ CE$.
$\begin{cases} DE=EC, \\ AE=BC, \end{cases} \therefore Rt△ ADE≌ Rt△ BEC(HL)$.
(2)由(1)得$Rt△ ADE≌ Rt△ BEC,\therefore ∠AED=∠BCE.∵ ∠B=90°,∴ ∠BCE + ∠BEC = ∠AED + ∠BEC = 90°,∴ ∠DEC = 180°-(∠AED+∠BEC)=90°,∴ DE ⊥ CE$.
7 如图，$∠ A = ∠ D = 90°$，$AB = DC$，点$E,F$在直线$BC$上，且$BE = CF$。
(1)求证：$∠ E = ∠ F$；
(2)若$PO$平分$∠ EPF$，则$PO$与$BC$有什么位置关系？并说明理由。
(1)求证：$∠ E = ∠ F$；
(2)若$PO$平分$∠ EPF$，则$PO$与$BC$有什么位置关系？并说明理由。
答案
(1)【证明】$\because BE=CF,\therefore BE+BC=CF+BC$,
$\therefore BF=CE$.
在$Rt△ABF$与$Rt△DCE$中,$\begin{cases} BF=CE, \\ AB=DC, \end{cases}$
$\therefore Rt△ABF≌ Rt△DCE(HL),\therefore ∠E=∠F$.
(2)【解】$PO ⊥ BC$. 理由如下：
由(1)得$∠E=∠F$.
$\because PO$平分$∠EPF,\therefore ∠EPO=∠FPO$.
在$△EPO$和$△FPO$中,$\begin{cases} ∠E=∠F, \\ ∠EPO=∠FPO, \\ PO=PO, \end{cases}$
$\therefore △EPO≌ △FPO(AAS),\therefore ∠EOP=∠FOP$.
$\because ∠EOP+∠FOP=180°,∴ ∠EOP=∠FOP=90°,∴ PO ⊥ BC$.
$\therefore BF=CE$.
在$Rt△ABF$与$Rt△DCE$中,$\begin{cases} BF=CE, \\ AB=DC, \end{cases}$
$\therefore Rt△ABF≌ Rt△DCE(HL),\therefore ∠E=∠F$.
(2)【解】$PO ⊥ BC$. 理由如下：
由(1)得$∠E=∠F$.
$\because PO$平分$∠EPF,\therefore ∠EPO=∠FPO$.
在$△EPO$和$△FPO$中,$\begin{cases} ∠E=∠F, \\ ∠EPO=∠FPO, \\ PO=PO, \end{cases}$
$\therefore △EPO≌ △FPO(AAS),\therefore ∠EOP=∠FOP$.
$\because ∠EOP+∠FOP=180°,∴ ∠EOP=∠FOP=90°,∴ PO ⊥ BC$.
