1 [2026 湖北十堰期末，中]如图，在等腰直角三角形ABC中，AC = BC，∠ACB=90°，点A(a,0)，点B(0,b)，点C(2,2)，其中b＜0＜a，则a,b之间的数量关系是（）

A.$a+b=2$
B.$a-b=2$
C.$a+b=4$
D.$a-b=4$

C 【解析】如图,过点C作$CD ⊥ y$轴,$CE ⊥ x$轴,则$∠CEA=∠CDB=90°$.
$\because A(a,0),B(0,b),C(2,2),\therefore OA = a,OB=-b,OD=CE=CD=OE=2,\therefore AE=a-2,BD=2-b$. 在$Rt△CDB$ 与 $Rt△CEA$ 中,$\begin{cases} BC=AC, \\ CD=CE, \end{cases} \therefore Rt△CDB ≌ Rt△CEA (HL)$,
$\therefore BD=AE,\therefore 2-b=a-2,\therefore a+b=4$. 故选C.

2[2025河南濮阳期中,中]如图,正方形ABCD的顶点B在直线l上,将直线l向上平移线段AB的长得到直线m,直线m分别交AD,CD于点E,F.若求△DEF的周长,则只需知道 ()

A.AB的长
B.FE的长
C.DE的长
D.DF的长

A 【解析】如图,过B作$BH ⊥ m$于H,连接BE,BF.$\because$ 直线l向上平移线段AB的长得到直线m,$\therefore BH=AB$. 又$\because ∠A=∠BHE=90°,EB=EB$,
$\therefore Rt△AEB≌ Rt△HEB,\therefore AE=EH$. 同理得$Rt△FCB≌ Rt△FHB,\therefore HF=CF,\therefore △DEF$的周长为$DE+EF+DF=DE+EH+HF+DF=DE+AE+CF+DF=AD+CD=2AB$.$\therefore$ 求$△DEF$的周长,只需知道AB的长. 故选A.

3 [中]如图，AD是$△ ABC$的中线，$BE ⊥ AD$，垂足为E，$CF ⊥ AD$，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG。
(1)求证：$BE=CF$；
(2)若$BG=CA$，求证：$GA=2DE$。

@刷素养 走向重高

3.【证明】(1)$∵ AD$ 是$△ABC$ 的中线,$∴ BD = CD.∵ BE ⊥ AD,CF ⊥ AD,∴ ∠BED = ∠F = 90°$. 在$△BED$ 和$△CFD$ 中,$\begin{cases} ∠BED=∠CFD, \\ ∠BDE=∠CDF, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △BED≌ △CFD(AAS),\therefore BE=CF$.
(2)在$Rt△BGE$ 和 $Rt△CAF$ 中,$\begin{cases} BG=CA, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore Rt△BGE≌ Rt△CAF(HL)$,
$\therefore GE=AF,\therefore AG=EF$.
$\because △BED≌ △CFD,\therefore DE=DF,\therefore GA=2DE$.

4 核心素养推理能力 [2025广西崇左质检,较难]
【阅读材料】学习了三角形全等的判定方法后，聪聪同学继续对“两个三角形的两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究。
聪聪将其用符号语言表示:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E.
【分类讨论】聪聪想:要想解决问题,应该对∠B进行分类研究.将∠B分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【解决问题】
(1)如图(1),当∠B是直角时,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,则Rt△ABC≌Rt△DEF(依据:).(用字母表示)
(2)如图(2),当∠B是锐角时,BC=EF,∠B=∠E＜90°,在射线EM上有点D,使DF=AC,画出符合条件的点D,则△ABC和△DEF的关系是.(填字母)
A.全等 B.不全等 C.不一定全等
(3)如图(3),当∠B是钝角时,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E＞90°,求证:△ABC≌△DEF.

(1)HL
(2)【解】如图(1),以F为圆心,AC长为半径画弧,交射线EM于$D'',D'$,则$D''F=D'F=AC$,易得$△D''EF≌ △ABC$,$△D'EF$ 和$△ABC$ 不全等,$\therefore △ABC$ 和$△DEF$ 不一定全等. 故答案为C.

(3)【证明】如图(2),过点C作$CM ⊥ AB$ 交AB的延长线于点M,过点F作$FN ⊥ DE$ 交DE的延长线于点N.

$\because CM ⊥ AB$ 于点M,$FN ⊥ DE$ 于点N,$\therefore ∠M=∠N=90°.∵ ∠CBA = ∠FED,∴ 180°-∠CBA=180°-∠FED$,即$∠CBM=∠FEN$. 在$△CBM$ 和$△FEN$ 中,$\begin{cases} ∠CBM=∠FEN, \\ ∠M=∠N, \\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore △CBM≌ △FEN(AAS)$,
$\therefore CM=FN$.
在$Rt△ACM$ 和$Rt△DFN$ 中,$\begin{cases} AC=DF, \\ CM=FN, \end{cases}$
$\therefore Rt△ACM≌ Rt△DFN(HL),\therefore ∠A=∠D$.
在$△ABC$ 和$△DEF$ 中,$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ ∠CBA=∠FED, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌ △DEF(AAS)$.