1[中]如图,点A,D,B,E在一条直线上,AC//DF,BC//EF,AC=DF,试说明:AD=BE.

1.【解】因为 AC // DF, BC // EF, 所以 ∠A = ∠EDF, ∠ABC = ∠E. 又因为 AC = DF, 所以△ABC≌△DEF( AAS ), 所以 AB = DE, 所以AB−BD = DE−BD, 所以 AD = BE.

2[甘肃兰州中考,中]如图所示,$AB=AE$,$AC=AD$,$∠ BAD=∠ EAC$,$∠ C=50°$,求$∠ D$的大小.

关键点拨
证明 $△ BAC ≌ △ EAD$ 是解题关键.
2.【解】因为 ∠BAD = ∠EAC, 所以 ∠BAD + ∠CAD = ∠EAC+∠CAD,即∠BAC = ∠EAD.
在△BAC 与△EAD 中,
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAC=∠EAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
所以△BAC≌△EAD(SAS),所以∠D=∠C=50°.

3[中]如图,已知$AD = AB, AC = AE, ∠DAB = ∠CAE$,连接$DC, BE$.
(1)试说明:$△BAE≌△DAC$.
(2)若$∠CAD = 125°, ∠D = 20°$,求$∠E$的度数.

3.【解】(1) 因为 ∠DAB = ∠CAE, 所以 ∠DAB + ∠BAC = ∠CAE+∠BAC,所以∠DAC = ∠BAE.
又因为 AD = AB,AC = AE,所以△BAE≌△DAC(SAS).
(2) 因为△BAE≌△DAC,所以∠E = ∠C.
因为 ∠CAD = 125°, ∠D = 20°, 所以 ∠C = 180°−(∠CAD+∠D)= 180°−(125°+20°)=35°,所以∠E = ∠C = 35°.

4[2026河南周口期末,中]如图,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,OA＞OC,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M,连接OM.求证:(1)AC=BD;(2)∠AMB=40°;(3)MO平分∠BMC.

4.【证明】(1)
∵ ∠AOB = ∠COD,
∴ ∠AOB + ∠AOD=∠COD+∠AOD,即∠AOC = ∠BOD.
在△AOC 和△BOD 中,
$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠AOC=∠BOD, \\ OC=OD, \end{cases}$
∴ △AOC≌△BOD(SAS),
∴ AC=BD.
(2) 由(1)知△AOC≌△BOD,
∴ ∠OAC = ∠OBD.
∵ ∠AMB+∠OAC = ∠AOB+∠OBD,
∴ ∠AMB = ∠AOB = 40°.
(3) 由(1)知△AOC≌△BOD,
∴ ∠OCA = ∠ODB. 如图所示,作OG⊥MC于G,OH⊥MB于H,则∠OGC = ∠OHD = 90°. 在△OCG 和△ODH 中,
$\begin{cases} ∠OCA=∠ODB, \\ ∠OGC=∠OHD, \\ OC=OD, \end{cases}$
∴ △OCG≌△ODH(AAS),
∴ OG = OH. 又
∵ OM = OM,
∴ Rt△OMG≌Rt△OMH(HL),
∴ ∠OMG = ∠OMH,
∴ MO 平分∠BMC.

5[中]已知在平面直角坐标系中，$A(4,0),B(0,3)$，以线段$AB$为直角边在第一象限内作等腰直角三角形$ABC$，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，如图.
(1)求出$OA· OB$的值.
(2)求点$C$坐标.

5.【解】(1)
∵ A(4,0),B(0,3),
∴ OA = 4,OB = 3,
∴ OA·OB=4×3=12.
(2)如图,作 CD⊥x 轴于点 D,则 ∠AOB = ∠CDA = 90°,
∴ ∠ACD+∠CAD = 90°.
∵ ∠BAC = 90°,
∴ ∠CAD+∠BAO = 90°,
∴ ∠ACD = ∠BAO.
在△BAO 和△ACD 中,
$\begin{cases} ∠AOB=∠CDA, \\ ∠BAO=∠ACD, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴ △BAO≌△ACD(AAS),
∴ AD = OB = 3,CD = OA = 4,
∴ OD = OA+AD = 4+3 = 7,
∴ C(7,4).
关键点拨
(2)由∠AOB=90°,AB=AC,∠BAC=90°,想到作CD⊥x轴于点D,构造一线三等角模型,证得全等即可求解.