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1 如图,小明在一条东西走向公路的O处,测得图书馆A在他的北偏东$60°$方向,且与他相距300 m,则图书馆A到公路的距离AB为 (
A.$150\sqrt{2}$ m
B.$150\sqrt{3}$ m
C.150 m
D.$100\sqrt{3}$ m
C
)A.$150\sqrt{2}$ m
B.$150\sqrt{3}$ m
C.150 m
D.$100\sqrt{3}$ m
答案
1. C 【解析】由题意得,∠AOB=90°−60°=30°,OA=300 m,
∴ AB=$\frac{1}{2}$OA=150 m,故选 C.
解析
【分析】
解题时首先明确图形特征：AB垂直于东西走向的公路，因此△OAB是直角三角形，∠ABO=90°。接下来结合方向角的定义，“北偏东60°”指的是从正北方向向东偏转60°，因此可求出∠AOB=90°-60°=30°。最后利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，已知斜边OA的长度，即可直接求出AB的长度。
【解析】
由题意可知，AB⊥OB，即△OAB为直角三角形，∠ABO=90°。
∵ 图书馆A在O的北偏东60°方向，正北与正东方向夹角为90°，
∴ ∠AOB=90°-60°=30°，
又已知OA=300 m，
在Rt△OAB中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ AB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×300=150 m，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.方向角的识别
2.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，将方向角知识和直角三角形的性质结合考查，解题的关键是准确根据方向角的定义求出直角三角形中锐角的度数，再代入对应性质计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确图形特征：AB垂直于东西走向的公路，因此△OAB是直角三角形，∠ABO=90°。接下来结合方向角的定义，“北偏东60°”指的是从正北方向向东偏转60°，因此可求出∠AOB=90°-60°=30°。最后利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，已知斜边OA的长度，即可直接求出AB的长度。
【解析】
由题意可知，AB⊥OB，即△OAB为直角三角形，∠ABO=90°。
∵ 图书馆A在O的北偏东60°方向，正北与正东方向夹角为90°，
∴ ∠AOB=90°-60°=30°，
又已知OA=300 m，
在Rt△OAB中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ AB=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×300=150 m，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.方向角的识别
2.含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，将方向角知识和直角三角形的性质结合考查，解题的关键是准确根据方向角的定义求出直角三角形中锐角的度数，再代入对应性质计算即可。
【难度系数】
0.8
2 新考向跨学科综合 [2025广西横州期末]如图(1)是两个夹角为θ(0°＜θ＜180°)的共点力$F_1$和$F_2$,可以用表示这两个力$F_1$和$F_2$的大小和方向的有向线段为邻边作平行四边形,平行四边形中这两条邻边之间对角线的大小和方向分别表示合力$F$的大小和方向,这种方法叫做平行四边形定则.如图(2),一条自西向东流的小河,水流速度为2 km/h,若要使小船A的实际航行方向为垂直于河岸方向,实际航速为$2\sqrt{3}$ km/h,则小船A的行驶方向和速度分别为 (
A.北偏东$30°$,4 km/h
B.北偏东$30°$,$2\sqrt{3}$ km/h
C.北偏西$30°$,4 km/h
D.北偏西$30°$,$2\sqrt{2}$ km/h
C
)A.北偏东$30°$,4 km/h
B.北偏东$30°$,$2\sqrt{3}$ km/h
C.北偏西$30°$,4 km/h
D.北偏西$30°$,$2\sqrt{2}$ km/h
答案
2. C 【解析】如图,AC 为小船 A 的行驶方向. 由题意得∠CDA=90°,CD=2,AD=$2\sqrt{3}$,
∴ AC=$\sqrt{CD^2+AD^2}$=4,
∴ ∠CAD=30°. 故选 C.
∴ AC=$\sqrt{CD^2+AD^2}$=4,
∴ ∠CAD=30°. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先要梳理三个速度的关系：水流速度是向东的2km/h，小船实际航行的合速度是垂直河岸向北的$2\sqrt{3}$km/h，根据平行四边形定则，小船自身行驶速度、水流速度、实际合速度可构成直角三角形，其中水流速度和合速度是两条直角边，小船行驶速度是斜边。接下来先利用勾股定理计算小船行驶速度的大小，再通过三角函数计算方向角，结合水流向东的特点，可知小船需要有向西的分量抵消水流影响，即可确定行驶方向。
【解析】
根据题意，小船的实际合航速方向垂直河岸向北，大小为$2\sqrt{3}$km/h，水流速度方向向东，大小为2km/h。由平行四边形定则可知，三个速度可构成直角三角形，水流速度、合速度为直角边，小船行驶速度为斜边，且$∠ ADC=90°$，$CD=2$，$AD=2\sqrt{3}$。
1. 求小船行驶速度大小：
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$（km/h）
2. 求行驶方向：
在$Rt△ ADC$中，$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$∠ CAD=30°$。
由于水流向东，为抵消水流的向东位移，小船行驶方向需向西偏移，即方向为北偏西$30°$。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，解直角三角形，方向角问题
【点评】
本题属于跨学科综合题，结合物理的平行四边形定则，将实际航行问题转化为直角三角形计算问题，解题核心是理清三个速度的对应关系，正确构建直角三角形后结合勾股定理和特殊角三角函数即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要梳理三个速度的关系：水流速度是向东的2km/h，小船实际航行的合速度是垂直河岸向北的$2\sqrt{3}$km/h，根据平行四边形定则，小船自身行驶速度、水流速度、实际合速度可构成直角三角形，其中水流速度和合速度是两条直角边，小船行驶速度是斜边。接下来先利用勾股定理计算小船行驶速度的大小，再通过三角函数计算方向角，结合水流向东的特点，可知小船需要有向西的分量抵消水流影响，即可确定行驶方向。
【解析】
根据题意，小船的实际合航速方向垂直河岸向北，大小为$2\sqrt{3}$km/h，水流速度方向向东，大小为2km/h。由平行四边形定则可知，三个速度可构成直角三角形，水流速度、合速度为直角边，小船行驶速度为斜边，且$∠ ADC=90°$，$CD=2$，$AD=2\sqrt{3}$。
1. 求小船行驶速度大小：
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$（km/h）
2. 求行驶方向：
在$Rt△ ADC$中，$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此$∠ CAD=30°$。
由于水流向东，为抵消水流的向东位移，小船行驶方向需向西偏移，即方向为北偏西$30°$。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，解直角三角形，方向角问题
【点评】
本题属于跨学科综合题，结合物理的平行四边形定则，将实际航行问题转化为直角三角形计算问题，解题核心是理清三个速度的对应关系，正确构建直角三角形后结合勾股定理和特殊角三角函数即可求解。
【难度系数】
0.7
3 新考法 [2026浙江杭州期中]通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图(1)，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地北偏东$30°$4海里处.船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP的长为$x$，$BP^2$为$y$，$y$关于$x$的函数图象(如图(2)所示)与$y$轴交于点$(0,36)$，最低点$M$的坐标为$(3,m)$，且函数图象经过点$Q(4,n)$，则下列选项正确的是 (
A.$△ ABC$的面积是$12\sqrt{3}$
B.$m=28$
C.点$(1,31)$在该函数图象上
D.$n=29$
C
) A.$△ ABC$的面积是$12\sqrt{3}$
B.$m=28$
C.点$(1,31)$在该函数图象上
D.$n=29$
答案
3. C 【解析】如图,过点B作BD⊥AC于点D.
∵ 题图(2)中图象的最低点M的坐标为(3,m),
∴ m = BD² , AD = 3. 由题意知 ∠A = 60°,
∴ ∠ABD=30°,
∴ 在Rt△ABD中,AB = 2AD = 6,
∴ BD² = AB²−AD² = 6²−3² = 27,即m = 27,故选项B错误.
△ABC的面积为$\frac{1}{2}AC · BD = \frac{1}{2}×4×\sqrt{27} = 6\sqrt{3}$,故选项A错误.
∵ 图象经过点Q(4,n) ,AC = 4,
∴ n = BC² .
∵ 在Rt△CBD中,CD = AC−AD = 1, BD = 3√3 ,
∴ BC² = BD² + CD² = 27+1 = 28,即n = 28,故选项D错误.
当AP=1时, DP=AC−AP−CD=2,
∵ 在Rt△PBD中，BP²=BD²+DP²=27+4=31，即y=31，故点(1,31)在该函数图象上，选项C正确。
▶思路分析
由最低点的坐标, 得到 AC 边上的高的平方为 m, 结合图形, 利用勾股定理, 得到 m 的值, 同理可得到 n 的值、△ABC 的面积, 以及当AP=1 时 BP²的值。
解析
【分析】
解题时首先要明确函数中x、y的几何意义：x是AP的长度，y是BP的平方。首先看函数与y轴的交点，x=0对应P在A点，此时y=AB²，可求出AB的长度；再看函数的最低点，根据垂线段最短，BP的最小值是B到AC的垂线段长度，因此最低点的横坐标3就是垂足到A点的距离AD=3，纵坐标m就是垂线段BD的平方。接下来结合方向角求出∠BAC的度数，利用直角三角形的性质和勾股定理求出BD的长度，再分别计算各选项涉及的△ABC面积、m、n的值，以及x=1时y的值，逐一验证选项即可。
【解析】
过点B作BD⊥AC于点D。
1. 求AB长度：当x=0时，P与A重合，此时y=BP²=AB²=36，解得AB=6。
2. 分析最低点意义：函数y=BP²取最小值时，BP最短，由垂线段最短可知此时BP⊥AC，即P与D重合，因此AD=3，m=BD²。
3. 求∠BAC：B在A正东，C在A北偏东30°，因此∠BAC=90°-30°=60°。
4. 在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=2AD=6，符合所求AB长度，由勾股定理得：BD²=AB²-AD²=6²-3²=27，即m=27，故B选项错误。
5. 计算△ABC面积：已知AC=4，BD=√27=3√3，因此S△ABC=1/2×AC×BD=1/2×4×3√3=6√3，故A选项错误。
6. 求n的值：当x=4时，AP=AC=4，即P与C重合，此时y=BC²=n，CD=AC-AD=4-3=1，在Rt△CBD中，由勾股定理得BC²=BD²+CD²=27+1²=28，即n=28，故D选项错误。
7. 验证C选项：当AP=1时，DP=AD-AP=3-1=2，在Rt△PBD中，BP²=BD²+DP²=27+2²=31，即x=1时y=31，因此点(1,31)在该函数图象上，C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
方向角的应用；垂线段最短；勾股定理
【点评】
本题结合了函数图象与几何计算，考查数形结合思想的运用，解题关键是将函数图象上的特殊点与几何中的线段、位置关系对应起来，再结合直角三角形的性质逐一推导验证。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确函数中x、y的几何意义：x是AP的长度，y是BP的平方。首先看函数与y轴的交点，x=0对应P在A点，此时y=AB²，可求出AB的长度；再看函数的最低点，根据垂线段最短，BP的最小值是B到AC的垂线段长度，因此最低点的横坐标3就是垂足到A点的距离AD=3，纵坐标m就是垂线段BD的平方。接下来结合方向角求出∠BAC的度数，利用直角三角形的性质和勾股定理求出BD的长度，再分别计算各选项涉及的△ABC面积、m、n的值，以及x=1时y的值，逐一验证选项即可。
【解析】
过点B作BD⊥AC于点D。
1. 求AB长度：当x=0时，P与A重合，此时y=BP²=AB²=36，解得AB=6。
2. 分析最低点意义：函数y=BP²取最小值时，BP最短，由垂线段最短可知此时BP⊥AC，即P与D重合，因此AD=3，m=BD²。
3. 求∠BAC：B在A正东，C在A北偏东30°，因此∠BAC=90°-30°=60°。
4. 在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=2AD=6，符合所求AB长度，由勾股定理得：BD²=AB²-AD²=6²-3²=27，即m=27，故B选项错误。
5. 计算△ABC面积：已知AC=4，BD=√27=3√3，因此S△ABC=1/2×AC×BD=1/2×4×3√3=6√3，故A选项错误。
6. 求n的值：当x=4时，AP=AC=4，即P与C重合，此时y=BC²=n，CD=AC-AD=4-3=1，在Rt△CBD中，由勾股定理得BC²=BD²+CD²=27+1²=28，即n=28，故D选项错误。
7. 验证C选项：当AP=1时，DP=AD-AP=3-1=2，在Rt△PBD中，BP²=BD²+DP²=27+2²=31，即x=1时y=31，因此点(1,31)在该函数图象上，C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
方向角的应用；垂线段最短；勾股定理
【点评】
本题结合了函数图象与几何计算，考查数形结合思想的运用，解题关键是将函数图象上的特殊点与几何中的线段、位置关系对应起来，再结合直角三角形的性质逐一推导验证。
【难度系数】
0.6
4[2025安徽亳州期中]如图，A,B,C是三艘军舰，B舰在A舰正东方向6海里处，C舰在A舰北偏西30°方向4海里处.某日8:00,A,B,C三艘军舰同时收到渔船P发出的同一求救信号,信号的传播速度相同,则A舰与渔船P相距海里.
答案
解：
由题意，信号传播速度相同且三舰同时收到求救信号，可得$PA=PB=PC$。
以点$A$为原点，正东方向为$x$轴正方向，正北方向为$y$轴正方向建立平面直角坐标系，
则$A(0,0)$，$B(6,0)$。
由$C$舰在$A$舰北偏西$30°$方向4海里处，可得：
$x_C=-4·\sin30°=-2$，$y_C=4·\cos30°=2\sqrt{3}$，即$C(-2,2\sqrt{3})$。
因为$PA=PB$，所以点$P$在$AB$的垂直平分线上，设$P(3,m)$。
由$PA=PC$，得：
$3^2 + m^2 = (3+2)^2 + (m-2\sqrt{3})^2$
展开化简：
$9 + m^2 = 25 + m^2 -4\sqrt{3}m +12$
$4\sqrt{3}m=28$
解得$m=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。
因此：
$PA=\sqrt{3^2 + m^2}=\sqrt{9 + (\frac{7\sqrt{3}}{3})^2}=\sqrt{\frac{76}{3}}=\frac{2\sqrt{57}}{3}$
答：$A$舰与渔船$P$相距$\frac{2\sqrt{57}}{3}$海里。
由题意，信号传播速度相同且三舰同时收到求救信号，可得$PA=PB=PC$。
以点$A$为原点，正东方向为$x$轴正方向，正北方向为$y$轴正方向建立平面直角坐标系，
则$A(0,0)$，$B(6,0)$。
由$C$舰在$A$舰北偏西$30°$方向4海里处，可得：
$x_C=-4·\sin30°=-2$，$y_C=4·\cos30°=2\sqrt{3}$，即$C(-2,2\sqrt{3})$。
因为$PA=PB$，所以点$P$在$AB$的垂直平分线上，设$P(3,m)$。
由$PA=PC$，得：
$3^2 + m^2 = (3+2)^2 + (m-2\sqrt{3})^2$
展开化简：
$9 + m^2 = 25 + m^2 -4\sqrt{3}m +12$
$4\sqrt{3}m=28$
解得$m=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。
因此：
$PA=\sqrt{3^2 + m^2}=\sqrt{9 + (\frac{7\sqrt{3}}{3})^2}=\sqrt{\frac{76}{3}}=\frac{2\sqrt{57}}{3}$
答：$A$舰与渔船$P$相距$\frac{2\sqrt{57}}{3}$海里。
解析
【分析】
首先根据“信号传播速度相同，三舰同时收到求救信号”可推出渔船P到A、B、C三舰的距离相等，即$PA=PB=PC$。要计算PA的长度，我们可以通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题求解：第一步先确定A、B、C三点的坐标；第二步由$PA=PB$可知P在AB的垂直平分线上，由此可设出P点的坐标；第三步利用$PA=PC$列方程求出P点的未知坐标；最后用勾股定理计算PA的长度即可。
【解析】
由题意，信号传播速度相同且三舰同时收到求救信号，可得$PA=PB=PC$。
以点$A$为原点，正东方向为$x$轴正方向，正北方向为$y$轴正方向建立平面直角坐标系，
则$A(0,0)$，$B(6,0)$。
由$C$舰在$A$舰北偏西$30°$方向4海里处，可得：
$x_C=-4·\sin30°=-2$，$y_C=4·\cos30°=2\sqrt{3}$，即$C(-2,2\sqrt{3})$。
因为$PA=PB$，所以点$P$在$AB$的垂直平分线上，故P点横坐标为3，设$P(3,m)$。
由$PA=PC$，根据勾股定理得：
$3^2 + m^2 = (3+2)^2 + (m-2\sqrt{3})^2$
展开化简：
$9 + m^2 = 25 + m^2 -4\sqrt{3}m +12$
移项合并同类项得$4\sqrt{3}m=28$
解得$m=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。
因此$PA=\sqrt{3^2 + m^2}=\sqrt{9 + (\frac{7\sqrt{3}}{3})^2}=\sqrt{\frac{76}{3}}=\frac{2\sqrt{57}}{3}$
【答案】
$\frac{2\sqrt{57}}{3}$
【知识点】
线段垂直平分线性质，勾股定理，方向角应用
【点评】
本题结合实际场景出题，解题的关键是将“同时收到信号”的实际条件转化为“点P到三点距离相等”的几何结论，通过建立平面直角坐标系将几何问题代数化，很好地考察了数形结合思想的运用，以及对基础几何性质的理解和运算能力。
【难度系数】
0.6
首先根据“信号传播速度相同，三舰同时收到求救信号”可推出渔船P到A、B、C三舰的距离相等，即$PA=PB=PC$。要计算PA的长度，我们可以通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题求解：第一步先确定A、B、C三点的坐标；第二步由$PA=PB$可知P在AB的垂直平分线上，由此可设出P点的坐标；第三步利用$PA=PC$列方程求出P点的未知坐标；最后用勾股定理计算PA的长度即可。
【解析】
由题意，信号传播速度相同且三舰同时收到求救信号，可得$PA=PB=PC$。
以点$A$为原点，正东方向为$x$轴正方向，正北方向为$y$轴正方向建立平面直角坐标系，
则$A(0,0)$，$B(6,0)$。
由$C$舰在$A$舰北偏西$30°$方向4海里处，可得：
$x_C=-4·\sin30°=-2$，$y_C=4·\cos30°=2\sqrt{3}$，即$C(-2,2\sqrt{3})$。
因为$PA=PB$，所以点$P$在$AB$的垂直平分线上，故P点横坐标为3，设$P(3,m)$。
由$PA=PC$，根据勾股定理得：
$3^2 + m^2 = (3+2)^2 + (m-2\sqrt{3})^2$
展开化简：
$9 + m^2 = 25 + m^2 -4\sqrt{3}m +12$
移项合并同类项得$4\sqrt{3}m=28$
解得$m=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。
因此$PA=\sqrt{3^2 + m^2}=\sqrt{9 + (\frac{7\sqrt{3}}{3})^2}=\sqrt{\frac{76}{3}}=\frac{2\sqrt{57}}{3}$
【答案】
$\frac{2\sqrt{57}}{3}$
【知识点】
线段垂直平分线性质，勾股定理，方向角应用
【点评】
本题结合实际场景出题，解题的关键是将“同时收到信号”的实际条件转化为“点P到三点距离相等”的几何结论，通过建立平面直角坐标系将几何问题代数化，很好地考察了数形结合思想的运用，以及对基础几何性质的理解和运算能力。
【难度系数】
0.6
5 新素材[2026安徽合肥校级期末]合肥骆岗公园不仅被称为合肥市的“城市封面”与“超级生态新地标”，还被誉为“世界最大城市公园”。如今，骆岗公园已成为合肥市民休闲娱乐的新去处，也是外地游客了解合肥、感受合肥魅力的重要窗口。如图，A,B,C,D分别是骆岗公园的四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西$53°$方向，C在A的北偏东$30°$方向，且在B的北偏西$15°$方向，$AB=2$千米。(参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$，$\sqrt{3}\approx1.73$，$\cos53°\approx0.60$，$\sin53°\approx0.80$，$\tan53°\approx1.33$)
(1)求$△ ABC$的面积(结果精确到0.1平方千米)；
(2)求$CD$的长度(结果精确到0.1千米)。
(1)求$△ ABC$的面积(结果精确到0.1平方千米)；
(2)求$CD$的长度(结果精确到0.1千米)。
答案
2.【解】(1)如图,过 D 作 DF ⊥ OE 于 F,过 D 作 DH ⊥ OC 于 H,则四边形 DHOF 是矩形,
∴ DF = OH, DH = OF. 在 Rt△ADF 中, AD = 1, ∠DAE = 37°,
$BE=\frac{1}{2}×(\sqrt{3}+1)×\sqrt{3}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}\approx2.4$(平方千米).
故△ABC 的面积约为 2.4 平方千米.
(2)如图,过点 C 作 CF ⊥ AD 于点 F. 由题易得∠D=53°,CF=AC · sin 30°=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$,
∴ CD=
$\frac{CF}{\sin53°}\approx\frac{\frac{1+\sqrt{3}}{2}}{0.80}\approx1.7$(千米).
故 CD 的长度约为 1.7 千米.
▶思路分析
(1)过 D 作 DF ⊥ OE 于 F,过 D 作 DH ⊥ OC 于 H, 在Rt△ADF中,解直角三角形即可求出DF.
解析
【分析】
(1) 求△ABC的面积，首先根据方向角信息求出△ABC的三个内角，结合已知AB=2，利用正弦定理求出AC的长度，再用两边及夹角的三角形面积公式计算即可。
(2) 求CD的长度，通过作辅助线CF⊥AD构造直角三角形，先在Rt△AFC中求出CF的长度，再结合∠D=53°，在Rt△CFD中利用正弦函数的定义即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 由题意可得：
∠CAB = 90° - 30° = 60°，∠CBA = 90° - 15° = 75°，
∴ ∠ACB = 180° - 60° - 75° = 45°。
在△ABC中，根据正弦定理：$\frac{AB}{\sin∠ACB} = \frac{AC}{\sin∠CBA}$，
已知AB=2千米，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin75°=\sin(45°+30°)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
代入得：$AC = \frac{AB·\sin75°}{\sin45°} = \frac{2×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3}+1$（千米）。
则△ABC的面积：
$S_{△ABC} = \frac{1}{2}·AB·AC·\sin∠CAB = \frac{1}{2}×2×(\sqrt{3}+1)×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3+\sqrt{3}}{2} \approx \frac{3+1.73}{2} \approx 2.4$（平方千米）。
(2) 过点C作CF⊥AD于点F，如图：
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，
∴ $CF = AC·\sin30° = (\sqrt{3}+1)×\frac{1}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$。
由题意得∠D=53°，在Rt△CFD中，$\sin D = \frac{CF}{CD}$，
∴ $CD = \frac{CF}{\sin53°} \approx \frac{\frac{1+1.73}{2}}{0.80} \approx 1.7$（千米）。
【答案】
(1) △ABC的面积约为2.4平方千米；
(2) CD的长度约为1.7千米。
【知识点】
方向角问题，解直角三角形，三角形面积计算
【点评】
本题结合城市公园的实际场景考查方向角相关的解直角三角形应用，解题核心是将实际方向关系转化为几何角度关系，通过作辅助线构造直角三角形，结合三角函数、三角形性质求解，对学生的信息转化能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 求△ABC的面积，首先根据方向角信息求出△ABC的三个内角，结合已知AB=2，利用正弦定理求出AC的长度，再用两边及夹角的三角形面积公式计算即可。
(2) 求CD的长度，通过作辅助线CF⊥AD构造直角三角形，先在Rt△AFC中求出CF的长度，再结合∠D=53°，在Rt△CFD中利用正弦函数的定义即可求出CD的长度。
【解析】
(1) 由题意可得：
∠CAB = 90° - 30° = 60°，∠CBA = 90° - 15° = 75°，
∴ ∠ACB = 180° - 60° - 75° = 45°。
在△ABC中，根据正弦定理：$\frac{AB}{\sin∠ACB} = \frac{AC}{\sin∠CBA}$，
已知AB=2千米，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin75°=\sin(45°+30°)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
代入得：$AC = \frac{AB·\sin75°}{\sin45°} = \frac{2×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{3}+1$（千米）。
则△ABC的面积：
$S_{△ABC} = \frac{1}{2}·AB·AC·\sin∠CAB = \frac{1}{2}×2×(\sqrt{3}+1)×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3+\sqrt{3}}{2} \approx \frac{3+1.73}{2} \approx 2.4$（平方千米）。
(2) 过点C作CF⊥AD于点F，如图
：在Rt△AFC中，∠CAF=30°，
∴ $CF = AC·\sin30° = (\sqrt{3}+1)×\frac{1}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$。
由题意得∠D=53°，在Rt△CFD中，$\sin D = \frac{CF}{CD}$，
∴ $CD = \frac{CF}{\sin53°} \approx \frac{\frac{1+1.73}{2}}{0.80} \approx 1.7$（千米）。
【答案】
(1) △ABC的面积约为2.4平方千米；
(2) CD的长度约为1.7千米。
【知识点】
方向角问题，解直角三角形，三角形面积计算
【点评】
本题结合城市公园的实际场景考查方向角相关的解直角三角形应用，解题核心是将实际方向关系转化为几何角度关系，通过作辅助线构造直角三角形，结合三角函数、三角形性质求解，对学生的信息转化能力和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
