1[2026广东深圳期末,中]图(1)是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别),图(2)为其示意图,摄像头A的最大仰角、俯角均为$15°$,其高度$OA$为$165$ cm.某人笔直地站在离摄像头水平距离$100$ cm的点$B$处,若此人能被摄像头识别,则他的身高不能超过(参考数据:$\sin 15° \approx 0.26$, $\cos 15° \approx 0.97$, $\tan 15° \approx 0.27$)

A.$165$ cm
B.$184$ cm
C.$192$ cm
D.$217$ cm

C

【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先明确，若要身高最大且能被识别，此时摄像头看向人头顶的仰角恰好为最大仰角15°；接下来将实际场景转化为几何模型：过摄像头A作水平线，交人所在竖直线于一点，形成直角三角形，其中水平距离100cm为直角三角形的邻边，人头顶超出摄像头高度的部分为对边；已知角度和邻边求对边，选择正切三角函数计算，最后加上摄像头的高度即可得到最大身高。
【解析】
过点A作AC⊥BD于点C，其中BD为人的身高（竖直方向），则四边形OACB为矩形，因此AC=OB=100cm，BC=OA=165cm。
当摄像头识别到头顶的仰角为最大仰角15°时，人的身高达到最大值，此时∠DAC=15°。
在Rt△ACD中，$\tan∠ DAC=\frac{CD}{AC}$，代入已知数据得：
$CD=AC×\tan15°\approx100×0.27=27\ \mathrm{cm}$
因此最大身高$BD=BC+CD=165+27=192\ \mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
1.解直角三角形的应用
2.仰角的定义
3.正切函数的应用
【点评】
本题结合生活实际考查锐角三角函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形模型，找准对应角和边的关系，选择合适的三角函数计算即可，属于常考的应用型题目。
【难度系数】
0.6

2 新考向传统文化[较难]如图(1),李鸿章故居位于合肥市淮河路步行街中段,是典型的晚清江淮地区民居建筑,李鸿章故居大门上悬挂着巨大的牌匾,图(2)中的线段AD就是挂在墙OE上的牌匾的截面图,某数学小组经过测量得到$AD=1$米,$∠ DAE=37°$.从水平面点C处观测点D处的仰角$∠ DCO=45°$,从C处沿CO方向走4步到达点B处,从点B处观测点A处的仰角$∠ ABO=53°$,已知学生的步长为0.6米.

(1)求点D到OE的距离；
(2)求牌匾悬挂的高度OA.
(参考数据:$\sin 37° \approx \dfrac{3}{5}, \cos 37° \approx \dfrac{4}{5}, \tan 37° \approx \dfrac{3}{4}$)
刷素养 走向重高

(1)在Rt△ADF中,AF=ADcos37°≈0.8, DF=ADsin 37°≈0.6,
∴ 点 D 到 OE 的距离为0.6米.
(2)在Rt△ABO 中,∠ABO=53°,
∴ ∠BAO=90°-∠ABO=37°.
∵ tan37°=OB/OA≈3/4,
∴ OB=3/4 OA.
在 Rt△ADF 中,AF=ADcos 37°≈0.8.
在 Rt△CDH 中,∠DCH=45°,
∴ CH = DH = FO = AF + OA = 0.8 + OA,CO = OH + CH = 0.6 + 0.8 + OA = 1.4 + OA.
又
∵ CO=BC+BO=4×0.6+ 3/4 OA,
∴ 1.4+OA= 3/4 OA+2.4,解得 OA=4,即牌匾悬挂的高度OA约是4米.

【分析】
(1) 求点D到OE的距离，可过点D作DF⊥OE于F构造Rt△ADF，已知AD长度和∠DAE=37°，利用正弦三角函数即可求出DF的长度，也就是点D到OE的距离。
(2) 求OA的长度，首先在Rt△ABO中，由∠ABO=53°可得∠BAO=37°，利用tan37°得到OB与OA的数量关系；再通过步长计算出BC的长度，得到CO=BC+OB的表达式；然后过D作DH⊥CO于H，在Rt△CDH中由∠DCO=45°可知CH=DH，结合矩形DFOH的边的关系得到CO与OA的另一个表达式，联立两个表达式得到关于OA的一元一次方程，解方程即可求出OA。
【解析】
(1) 过点D作DF⊥OE于点F，在Rt△ADF中，AD=1米，∠DAF=∠DAE=37°，
$\therefore DF = AD·\sin37° \approx 1×\dfrac{3}{5} = 0.6$（米）
即点D到OE的距离为0.6米。
(2) 先计算BC的长度：步长为0.6米，共走4步，故$BC=4×0.6=2.4$米。
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=53°，
$\therefore ∠ BAO=90°-∠ ABO=37°$，
$\because \tan∠ BAO = \dfrac{OB}{OA} \approx \dfrac{3}{4}$，
$\therefore OB = \dfrac{3}{4}OA$。
在Rt△ADF中，$AF = AD·\cos37° \approx1×\dfrac{4}{5}=0.8$米。
过点D作DH⊥CO于点H，易知四边形DFOH是矩形，
$\therefore DH=FO=OA+AF=OA+0.8$，$OH=DF=0.6$米。
在Rt△CDH中，∠DCO=45°，
$\therefore CH=DH=OA+0.8$，
$\therefore CO = CH + OH = (OA+0.8) + 0.6 = OA + 1.4$。
又$\because CO = BC + OB = 2.4 + \dfrac{3}{4}OA$，
$\therefore$列方程得：$OA + 1.4 = \dfrac{3}{4}OA + 2.4$，
解得$OA=4$。
即牌匾悬挂的高度OA约为4米。
【答案】
(1) $\boxed{0.6}$米
(2) $\boxed{4}$米
【知识点】
1. 仰角问题
2. 锐角三角函数
3. 解直角三角形应用
【点评】
本题结合传统文化场景命题，将解直角三角形知识和实际生活结合，解题核心是合理构造直角三角形，利用三角函数梳理线段间的数量关系，再通过列方程求解，能有效考查学生的建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6

3 核心素养 抽象能力 [难]关于三角函数有如下的公式：
①$\cos(α+β)=\cosα\cosβ-\sinα\sinβ$；
②$\tan(α+β)=\dfrac{\tanα+\tanβ}{1-\tanα·\tanβ}(1-\tanα·\tanβ≠0)$。
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
$\tan 105°=\tan(45°+60°)=\dfrac{\tan 45°+\tan 60°}{1-\tan 45°·\tan 60°}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{1-1×\sqrt{3}}=\dfrac{(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-(2+\sqrt{3})$。
根据上面的知识，选择适当的公式解决下面的问题：
(1)求$\cos 75°$的值；
(2)如图，直升机在一建筑物$CD$上方的点$A$处测得建筑物顶端点$D$的俯角$α$为$60°$，底端点$C$的俯角$β$为$75°$，此时直升机与建筑物$CD$的水平距离$BC$为$42\ \mathrm{m}$，求建筑物$CD$的高。

(1)cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°·cos 30°-sin 45°sin 30°=√6/4 - √2/4=(√6-√2)/4.
(2)由题可知 α=60°,∠ACB=β=75°,∠ABC=90°,BC = 42 m,
∴ AB = BC · tan∠ACB=42×tan75°=42×(tan45°+tan30°)/(1-tan45°·tan30°)=42×(1+√3/3)/(1-√3/3)=(42√3+84)m.
易知A,D的垂直距离为BC·tanα=42√3 m,
∴ CD=42√3+84-42√3=84(m).
答:建筑物CD的高为84 m.

【分析】
(1) 求$\cos75°$时，可将$75°$拆分为特殊角$45°$与$30°$的和，直接套用题干给出的余弦和角公式，代入两个特殊角的三角函数值计算即可。
(2) 解决俯角相关实际问题时，首先根据俯角的定义，将角度转化到直角三角形中：$AB$为点$A$到地面的竖直高度，$∠ ACB=β=75°$，已知$BC$长度，可先通过$\tan75°$求出$AB$的长度；再计算点$A$到$D$的竖直高度差，对应俯角$α=60°$，用$BC$乘以$\tanα$即可得到该高度差；最后建筑物$CD$的高度等于$AB$减去$A$、$D$的竖直高度差。计算$\tan75°$时，同样将$75°$拆为$45°+30°$，套用正切和角公式计算即可。
【解析】
(1) 利用余弦和角公式计算：
$\begin{aligned}\cos75°&=\cos(45°+30°)\\&=\cos45°\cos30°-\sin45°\sin30°\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}\\&=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}\\&=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{aligned}$
(2) 由题意得：$AB⊥ BC$，$CD⊥ BC$，根据俯角定义可得$∠ ACB=β=75°$，$BC=42\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=BC·\tan∠ ACB=42×\tan75°$。
先计算$\tan75°$：
$\begin{aligned}\tan75°&=\tan(45°+30°)\\&=\frac{\tan45°+\tan30°}{1-\tan45°·\tan30°}\\&=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1×\frac{\sqrt{3}}{3}}\\&=2+\sqrt{3}\end{aligned}$
因此$AB=42×(2+\sqrt{3})=(84+42\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
点$A$到$D$的竖直高度差为$BC·\tanα=42×\tan60°=42\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
则建筑物高度$CD=AB-42\sqrt{3}=84+42\sqrt{3}-42\sqrt{3}=84\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\cos75°=\boldsymbol{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$；
(2) 建筑物$CD$的高为$\boldsymbol{84\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
特殊角三角函数、三角函数和角公式、解直角三角形（俯角）
【点评】
本题将新给出的三角函数和角公式与实际俯角问题结合，既考查对新知识的迁移运用能力，也考查解直角三角形的实际应用能力，解题关键是合理将非特殊角拆分为特殊角的和，同时准确理解俯角的含义，转化为直角三角形的边角关系求解。
【难度系数】
0.3