1[2026安徽阜阳期末]在“综合与实践”活动课上,活动小组测量一棵杨树的高度.如图,AB,BC,CD在同一平面内,点C,D在同一水平线上.从点C处测得杨树底端B点的仰角是30°,BC长6米,在距离点C4米的点D处测得杨树顶端A点的仰角为45°,则杨树AB的高度为米.

延长 AB 交 DC 延长线于H,则∠AHD = 90°.
∵ ∠BCH = 30°,BC = 6 米,
∴ BH = 1/2 BC = 3 米, CH = √3/2 BC = 3√3 米.
∵ ∠ADC = 45°,
∴ AH = DH = CD + CH = (4 + 3√3 ) 米,
∴ AB = AH - BH = 4 + 3√3 - 3 = ( 1 + 3√3 ) 米,故答案为(1+3√3).

【分析】
要解决这道仰角测高度的问题，首先需要构造直角三角形把已知的角度、边长条件转化为可计算的几何条件。第一步先延长AB交DC的延长线于点H，得到两个直角三角形Rt△BCH和Rt△ADH；先利用Rt△BCH中30°角的性质计算出BH、CH的长度；再利用Rt△ADH中45°角的性质得到AH=DH，算出AH的长度；最后用AH减去BH即可得到杨树AB的高度。
【解析】
延长AB交DC的延长线于点H，则$∠ AHD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，$∠ BCH=30°$，$BC=6$米，
根据含30°角的直角三角形的性质可得：
$BH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$米，
$CH=\frac{\sqrt{3}}{2}BC=\frac{\sqrt{3}}{2}×6=3\sqrt{3}$米。
在$\mathrm{Rt}△ ADH$中，$∠ ADC=45°$，
$\therefore△ ADH$是等腰直角三角形，$AH=DH$，
又$\because DH=CD+CH=4+3\sqrt{3}$米，
$\therefore AH=4+3\sqrt{3}$米，
$\therefore AB=AH-BH=(4+3\sqrt{3})-3=1+3\sqrt{3}$米。
【答案】
$1+3\sqrt{3}$
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 30°直角三角形性质
3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题是仰角测量的典型实际应用题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，需要熟练掌握特殊角直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7

2[2025安徽合肥质检]某数学兴趣小组测量两幢教学楼楼顶之间的距离,实践报告如下,请你帮助兴趣小组解决问题.
活动课题 测量两幢教学楼楼顶之间的距离
活动工具 测角仪、皮尺等
测量过程 ①如图,在楼AD和楼BF之间竖直放置测角仪GH；②利用测角仪测出楼顶A的仰角∠AGC=68.2°,楼顶B的仰角∠BGE=45°；③利用皮尺测出DH=30米,FH=60米
测量图示
解决问题 根据以上测量数据,利用三角函数知识求两幢楼楼顶A,B之间的距离
备注说明 其中测角仪的底端H与楼的底部D,F在同一条水平直线上,图中所有点均在同一平面内
续表
参考数据 $\sin 68.2° \approx 0.93, \cos 68.2° \approx 0.37, \tan 68.2° \approx 2.50, \sqrt{37} \approx 6.08$

由题意可知四边形 CDHG、四边形 EFHG、四边形 BECM 都是矩形,
∴ CG = DH = 30 米,
GE=FH=60 米,BM=CG+EG=90 米.
在 Rt △ACG 中, AC = CG × tan ∠AGC = 30 × tan 68.2°≈30×2.50=75(米).
在 Rt △BEG 中, BE = GE × tan 45° = 60 米,
∴ AM=AC-BE=75-60=15(米).
在 Rt △ABM 中, 由勾股定理得 AB = √(AM²+BM²) = √(15²+90²) = 15√37 ≈ 15 × 6.08=91.2(米),
∴ 两幢楼楼顶 A,B 之间的距离约为91.2米.

【分析】
解题时首先结合图形识别出图中的矩形，利用矩形对边相等的性质得到各水平线段的长度；再在两个含仰角的直角三角形中，利用正切三角函数分别计算出两栋楼高出测角仪水平高度的部分，求出两栋楼的高度差；最后通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理即可求出两楼顶之间的距离AB。
【解析】
由题意可知四边形 CDHG、四边形 EFHG、四边形 BECM 都是矩形,
∴ CG = DH = 30 米,
GE=FH=60 米,BM=CG+EG=90 米.
在 Rt △ACG 中, AC = CG × tan ∠AGC = 30 × tan 68.2°≈30×2.50=75(米).
在 Rt △BEG 中, BE = GE × tan 45° = 60 米,
∴ AM=AC-BE=75-60=15(米).
在 Rt △ABM 中, 由勾股定理得 AB = √(AM²+BM²) = √(15²+90²) = 15√37 ≈ 15 × 6.08=91.2(米)
【答案】
两幢楼楼顶A,B之间的距离约为91.2米。

【知识点】
解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查数学知识的应用能力，解题核心是将实际问题转化为几何图形问题，通过构造直角三角形，结合三角函数和勾股定理求解，贴合生活实际，能有效提升学生将知识应用于实际的意识。
【难度系数】
0.7

3 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度。某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两幢楼之间的距离，他们设计了如下测量方案：如图，无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为120 m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行48 m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内。请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC（结果精确到 1 m. 参考数据：$\sin 70° \approx 0.94$，$\cos 70° \approx 0.34$，$\tan 70° \approx 2.75$，$\sqrt{3} \approx 1.73$）。

延长 AB,CD 分别与直线 OF 交于点 G 和点 H,则 AG=120 m,GH=AC,∠AGO=∠EHO=90°.
在 Rt△AGO 中,∠AOG=70°,
∴ OG=AG/tan70°≈120/2.75≈43.6(m).
∵ ∠HFE 是△OFE 的一个外角,
∴ ∠OEF = ∠HFE - ∠FOE = 30°,
∴ ∠FOE = ∠OEF=30°,
∴ OF=EF=48 m.
在 Rt △EFH 中, ∠HFE = 60°,
∴ FH = EF · cos 60° = 48×1/2 = 24( m ),
∴ AC = GH = OG+OF+FH=43.6+48+24≈116( m ).
答:楼AB与CD之间的距离AC约为116 m.

【分析】
要测量两楼间距AC，可将AC转化为水平线段GH的长度求解：首先延长AB、CD分别交OF所在水平线于G、H，可得AG等于O点距地面高度120 m，GH=AC，且△AGO、△EFH均为直角三角形。第一步在Rt△AGO中，利用70°俯角的正切值计算OG的长度；第二步利用三角形外角性质推导△OFE为等腰三角形，得到EF=OF=48 m；第三步在Rt△EFH中，利用60°俯角的三角函数值计算FH的长度；最后将OG、OF、FH三段长度相加，即可得到AC的长度。
【解析】
延长AB、CD分别与直线OF交于点G和点H，则AG=120 m，GH=AC，∠AGO=∠EHO=90°。
在Rt△AGO中，∠AOG=70°，
∴ $\displaystyle OG=\frac{AG}{\tan70°}\approx\frac{120}{2.75}\approx43.6(\mathrm{m})$。
∵ ∠HFE是△OFE的一个外角，
∴ $\displaystyle ∠OEF=∠HFE-∠FOE=60°-30°=30°$，
∴ ∠FOE=∠OEF=30°，
∴ $\displaystyle OF=EF=48\ \mathrm{m}$。
在Rt△EFH中，∠HFE=60°，
∴ $\displaystyle FH=EF·\cos60°=48×\frac{1}{2}=24(\mathrm{m})$，
∴ $\displaystyle AC=GH=OG+OF+FH=43.6+48+24\approx116(\mathrm{m})$。
答：楼AB与CD之间的距离AC约为116 m。
【答案】
楼AB与CD之间的距离AC约为116 m。
【知识点】
俯角的概念，解直角三角形，三角形外角性质
【点评】
本题结合无人机测量的实际场景，考查了解直角三角形的实际应用，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形，结合几何性质找到边的等量关系，再代入三角函数计算，考查了学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.6