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6.一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始的4 min内只进水不出水,在随后的8 min内既进水又出水,之后只出水不进水,每分钟的进水量和出水量是两个常数,容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如
所示.则在第
所示.则在第3或16
min时,容器内的水量是15 L.答案
3或16
解析
【分析】
解题需分三个时间段分析容器水量的变化规律：①0~4min只进水，②4~12min同时进水出水，③12min后只出水。首先用待定系数法分别求出三个时间段内水量y与时间x的一次函数解析式，再分别令y=15，求解对应的x值，验证x是否在对应时间段的取值范围内，符合的即为所求。
【解析】
我们分三段求解函数解析式：
1. 当$0≤ x≤4$时，仅进水，设函数解析式为$y=k_1x$，
将点$(4,20)$代入得：$20=4k_1$，解得$k_1=5$，
即解析式为$y=5x$。
令$y=15$，得$5x=15$，解得$x=3$，符合$0≤ x≤4$的范围，有效。
2. 当$4＜x≤12$时，同时进水出水，设函数解析式为$y=k_2x+b$，
将点$(4,20)$、$(12,30)$代入得：
$\begin{cases}20=4k_2+b\\30=12k_2+b\end{cases}$
两式相减得$10=8k_2$，解得$k_2=\frac{5}{4}$，代入$20=4×\frac{5}{4}+b$得$b=15$，
即解析式为$y=\frac{5}{4}x+15$。
令$y=15$，得$\frac{5}{4}x+15=15$，解得$x=0$，不在$4＜x≤12$范围内，舍去。
3. 当$12＜x≤20$时，仅出水，先求出水速度：
进水速度为$20÷4=5\mathrm{L/min}$，4~12min净进水速度为$(30-20)÷(12-4)=\frac{5}{4}\mathrm{L/min}$，故出水速度为$5-\frac{5}{4}=\frac{15}{4}\mathrm{L/min}$。
放完30L水需要的时间为$30÷\frac{15}{4}=8\mathrm{min}$，即该段过点$(12,30)$、$(20,0)$。
设解析式为$y=k_3x+c$，代入两点得：
$\begin{cases}30=12k_3+c\\0=20k_3+c\end{cases}$
解得$k_3=-\frac{15}{4}$，$c=75$，即解析式为$y=-\frac{15}{4}x+75$。
令$y=15$，得$15=-\frac{15}{4}x+75$，解得$x=16$，符合$12＜x≤20$的范围，有效。
综上，x的值为3或16。
【答案】
3或16
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；分段函数
【点评】
本题考查分段一次函数的实际应用，解题的核心是根据不同阶段的水量变化规律，用待定系数法求出对应段的函数解析式，代入函数值求出自变量后要注意验证是否符合对应段的取值范围，避免产生错误的增解。
【难度系数】
0.6
解题需分三个时间段分析容器水量的变化规律：①0~4min只进水，②4~12min同时进水出水，③12min后只出水。首先用待定系数法分别求出三个时间段内水量y与时间x的一次函数解析式，再分别令y=15，求解对应的x值，验证x是否在对应时间段的取值范围内，符合的即为所求。
【解析】
我们分三段求解函数解析式：
1. 当$0≤ x≤4$时，仅进水，设函数解析式为$y=k_1x$，
将点$(4,20)$代入得：$20=4k_1$，解得$k_1=5$，
即解析式为$y=5x$。
令$y=15$，得$5x=15$，解得$x=3$，符合$0≤ x≤4$的范围，有效。
2. 当$4＜x≤12$时，同时进水出水，设函数解析式为$y=k_2x+b$，
将点$(4,20)$、$(12,30)$代入得：
$\begin{cases}20=4k_2+b\\30=12k_2+b\end{cases}$
两式相减得$10=8k_2$，解得$k_2=\frac{5}{4}$，代入$20=4×\frac{5}{4}+b$得$b=15$，
即解析式为$y=\frac{5}{4}x+15$。
令$y=15$，得$\frac{5}{4}x+15=15$，解得$x=0$，不在$4＜x≤12$范围内，舍去。
3. 当$12＜x≤20$时，仅出水，先求出水速度：
进水速度为$20÷4=5\mathrm{L/min}$，4~12min净进水速度为$(30-20)÷(12-4)=\frac{5}{4}\mathrm{L/min}$，故出水速度为$5-\frac{5}{4}=\frac{15}{4}\mathrm{L/min}$。
放完30L水需要的时间为$30÷\frac{15}{4}=8\mathrm{min}$，即该段过点$(12,30)$、$(20,0)$。
设解析式为$y=k_3x+c$，代入两点得：
$\begin{cases}30=12k_3+c\\0=20k_3+c\end{cases}$
解得$k_3=-\frac{15}{4}$，$c=75$，即解析式为$y=-\frac{15}{4}x+75$。
令$y=15$，得$15=-\frac{15}{4}x+75$，解得$x=16$，符合$12＜x≤20$的范围，有效。
综上，x的值为3或16。
【答案】
3或16
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；分段函数
【点评】
本题考查分段一次函数的实际应用，解题的核心是根据不同阶段的水量变化规律，用待定系数法求出对应段的函数解析式，代入函数值求出自变量后要注意验证是否符合对应段的取值范围，避免产生错误的增解。
【难度系数】
0.6
7.某品牌烤箱新增一种安全烤制模式,在此模式下箱内温度匀速升至240 ℃时烤箱停止加热,随后箱内温度下降至初始温度,该品牌烤箱安全烤制模式下箱内温度y(单位:℃)与加热时间x(单位:min)之间的函数图象如图所示.
(1)求该品牌烤箱的箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(2)若食物在130 ℃及以上的温度中烤制6 min以上才可健康食用,则该模式下烤制的食物能否健康食用?说明理由.
(1)求该品牌烤箱的箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(2)若食物在130 ℃及以上的温度中烤制6 min以上才可健康食用,则该模式下烤制的食物能否健康食用?说明理由.
答案
(1) 设该品牌烤箱的箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式为$y=kx+b$。
将$(0,20)$，$(10,240)$分别代入，得$\begin{cases}b=20,\\10k+b=240,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=22,\\b=20,\end{cases}$
所以该品牌烤箱的箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式为$y=22x+20(0≤ x≤10)$。
(2) 设该品牌烤箱的箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数表达式为$y=mx+n$。将$(15,20)$，$(10,240)$分别代入，得$\begin{cases}15m+n=20,\\10m+n=240,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-44,\\n=680,\end{cases}$
所以该品牌烤箱的箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数表达式为$y=-44x+680(10＜x≤15)$。
当$0≤ x≤10$时，令$y=130$，得$22x+20=130$，解得$x=5$。
当$10＜x≤15$时，令$y=130$，得$-44x+680=130$，解得$x=12.5$。
因为$12.5-5=7.5＞6$，所以该模式下烤制的食物能健康食用。
将$(0,20)$，$(10,240)$分别代入，得$\begin{cases}b=20,\\10k+b=240,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=22,\\b=20,\end{cases}$
所以该品牌烤箱的箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数表达式为$y=22x+20(0≤ x≤10)$。
(2) 设该品牌烤箱的箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数表达式为$y=mx+n$。将$(15,20)$，$(10,240)$分别代入，得$\begin{cases}15m+n=20,\\10m+n=240,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-44,\\n=680,\end{cases}$
所以该品牌烤箱的箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数表达式为$y=-44x+680(10＜x≤15)$。
当$0≤ x≤10$时，令$y=130$，得$22x+20=130$，解得$x=5$。
当$10＜x≤15$时，令$y=130$，得$-44x+680=130$，解得$x=12.5$。
因为$12.5-5=7.5＞6$，所以该模式下烤制的食物能健康食用。
解析
【分析】
(1) 箱内温度匀速上升阶段y与x满足一次函数关系，解题可使用待定系数法：首先确定该阶段函数图象经过(0,20)、(10,240)两个点，设函数表达式为y=kx+b，将两点坐标代入得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，再结合升温阶段的时间范围确定自变量x的取值范围。
(2) 要判断食物是否能健康食用，需先计算温度不低于130℃的总时长：首先用待定系数法求出匀速下降阶段的函数表达式，再分别在上升、下降阶段的函数中令y=130，求出对应的x的值，两个x的差值就是130℃及以上温度的持续时间，将该差值与6min比较即可得到结论。
【解析】
(1) 设温度匀速上升期间y与x的函数表达式为$y=kx+b$。
将点$(0,20)$、$(10,240)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}b=20\\10k+b=240\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=22\\b=20\end{cases}$
因此温度匀速上升期间的函数表达式为$y=22x+20$，自变量x的取值范围是$0≤ x≤10$。
(2) 首先求温度匀速下降阶段的函数表达式，设该段表达式为$y=mx+n$。
将点$(10,240)$、$(15,20)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}10m+n=240\\15m+n=20\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-44\\n=680\end{cases}$
因此温度匀速下降期间的函数表达式为$y=-44x+680$，自变量取值范围是$10＜x≤15$。
接下来求温度为130℃时对应的x值：
当$0≤ x≤10$时，令$22x+20=130$，解得$x=5$；
当$10＜x≤15$时，令$-44x+680=130$，解得$x=12.5$。
温度在130℃及以上的持续时长为$12.5-5=7.5\mathrm{min}$，因为$7.5＞6$，因此该模式下烤制的食物能健康食用。
【答案】
(1) $y=22x+20(0≤ x≤10)$
(2) 能健康食用
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数求值
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的相关知识，解题的关键是准确找到各段函数图象经过的点，利用待定系数法求出对应函数解析式，再结合需求求解对应自变量的取值，能有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 箱内温度匀速上升阶段y与x满足一次函数关系，解题可使用待定系数法：首先确定该阶段函数图象经过(0,20)、(10,240)两个点，设函数表达式为y=kx+b，将两点坐标代入得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，再结合升温阶段的时间范围确定自变量x的取值范围。
(2) 要判断食物是否能健康食用，需先计算温度不低于130℃的总时长：首先用待定系数法求出匀速下降阶段的函数表达式，再分别在上升、下降阶段的函数中令y=130，求出对应的x的值，两个x的差值就是130℃及以上温度的持续时间，将该差值与6min比较即可得到结论。
【解析】
(1) 设温度匀速上升期间y与x的函数表达式为$y=kx+b$。
将点$(0,20)$、$(10,240)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}b=20\\10k+b=240\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=22\\b=20\end{cases}$
因此温度匀速上升期间的函数表达式为$y=22x+20$，自变量x的取值范围是$0≤ x≤10$。
(2) 首先求温度匀速下降阶段的函数表达式，设该段表达式为$y=mx+n$。
将点$(10,240)$、$(15,20)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}10m+n=240\\15m+n=20\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-44\\n=680\end{cases}$
因此温度匀速下降期间的函数表达式为$y=-44x+680$，自变量取值范围是$10＜x≤15$。
接下来求温度为130℃时对应的x值：
当$0≤ x≤10$时，令$22x+20=130$，解得$x=5$；
当$10＜x≤15$时，令$-44x+680=130$，解得$x=12.5$。
温度在130℃及以上的持续时长为$12.5-5=7.5\mathrm{min}$，因为$7.5＞6$，因此该模式下烤制的食物能健康食用。
【答案】
(1) $y=22x+20(0≤ x≤10)$
(2) 能健康食用
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数求值
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的相关知识，解题的关键是准确找到各段函数图象经过的点，利用待定系数法求出对应函数解析式，再结合需求求解对应自变量的取值，能有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
8. 某款电热水壶有两种工作模式:煮沸模式和保温模式.在煮沸模式下将水加热$100° \mathrm{C}$后自动进入保温模式,此时电热水壶开始检测壶中水温,若水温高于$50° \mathrm{C}$水壶不加热;若水温降至$50° \mathrm{C}$水壶开始加热,水温到达$100° \mathrm{C}$时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作,某数学小组对水温$y \ °\mathrm{C}$与时间$x \ \mathrm{min}$进行了观测和记录,部分数据如表所示:
该小组根据实验数据绘制出了相应的函数图象如图所示,并发现无论在煮沸模式还是在保温模式下,当水壶开始加热时,壶中水温$y$都是时间$x$的一次函数.
根据图象和表格中的数据,回答下列问题:
(1)$a=$
(2)在保温模式下,求当$22≤ x≤ n$时水温$y$与时间$x$之间的函数表达式,并写出$n$的值;
(3)当$x=70$时,$y=$
该小组根据实验数据绘制出了相应的函数图象如图所示,并发现无论在煮沸模式还是在保温模式下,当水壶开始加热时,壶中水温$y$都是时间$x$的一次函数.
根据图象和表格中的数据,回答下列问题:
(1)$a=$
20
, $m=$8
;(2)在保温模式下,求当$22≤ x≤ n$时水温$y$与时间$x$之间的函数表达式,并写出$n$的值;
(3)当$x=70$时,$y=$
85
.答案
(1) 20 8
(2) 设在保温模式下，当$22≤ x≤ n$时，水温y与时间x之间的函数表达式为$y=kx+b$（k,b为常数，且$k≠0$）。
将$x=22,y=50$和$x=24,y=55$分别代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}22k+b=50,\\24k+b=55.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\frac{5}{2},\\b=-5.\end{cases}$ 所以$y=\frac{5}{2}x-5$。
当$y=100$时，得$\frac{5}{2}x-5=100$，解得$x=42$。所以$n=42$。
答：在保温模式下，当$22≤ x≤ n$时，水温y与时间x之间的函数表达式是$y=\frac{5}{2}x-5(22≤ x≤42)$，n的值是42。
(3) 85
【解析】$22-8=14(\min)$，所以水温从$100\ °\mathrm{C}$降到$50\ °\mathrm{C}$需要14 min，$42-22=20(\min)$，所以保温模式下，水温每分钟升高$\frac{5}{2}\ °\mathrm{C}$，从$50\ °\mathrm{C}$加热到$100\ °\mathrm{C}$需要20 min，$14+20=34(\min)$，所以保温模式下，水温从$50\ °\mathrm{C}$升高到$100\ °\mathrm{C}$，再降到$50\ °\mathrm{C}$需要34 min。因为保温模式下，当$x=22$时，$y=50$，所以经过34 min后，$x=22+34=56$，$y=50$，$70-56=14(\min)$，$14＜20$，所以当$x=70$时，$y=50+\frac{5}{2}×14=85$。
(2) 设在保温模式下，当$22≤ x≤ n$时，水温y与时间x之间的函数表达式为$y=kx+b$（k,b为常数，且$k≠0$）。
将$x=22,y=50$和$x=24,y=55$分别代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}22k+b=50,\\24k+b=55.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\frac{5}{2},\\b=-5.\end{cases}$ 所以$y=\frac{5}{2}x-5$。
当$y=100$时，得$\frac{5}{2}x-5=100$，解得$x=42$。所以$n=42$。
答：在保温模式下，当$22≤ x≤ n$时，水温y与时间x之间的函数表达式是$y=\frac{5}{2}x-5(22≤ x≤42)$，n的值是42。
(3) 85
【解析】$22-8=14(\min)$，所以水温从$100\ °\mathrm{C}$降到$50\ °\mathrm{C}$需要14 min，$42-22=20(\min)$，所以保温模式下，水温每分钟升高$\frac{5}{2}\ °\mathrm{C}$，从$50\ °\mathrm{C}$加热到$100\ °\mathrm{C}$需要20 min，$14+20=34(\min)$，所以保温模式下，水温从$50\ °\mathrm{C}$升高到$100\ °\mathrm{C}$，再降到$50\ °\mathrm{C}$需要34 min。因为保温模式下，当$x=22$时，$y=50$，所以经过34 min后，$x=22+34=56$，$y=50$，$70-56=14(\min)$，$14＜20$，所以当$x=70$时，$y=50+\frac{5}{2}×14=85$。
解析
【分析】
解题时按小问逐步梳理思路：
(1) 先分析煮沸模式的升温规律：初始水温20℃，煮沸模式下每分钟升温10℃，计算从20℃升到100℃的时长即可得到m的值，再结合保温模式降温阶段的规律可得a的值。
(2) 22≤x≤n属于保温模式下的加热升温阶段，水温是x的一次函数，用待定系数法代入两组已知的x、y值，求解系数即可得到函数表达式；再令y=100，求出的x值就是n。
(3) 先计算保温模式的循环周期：即从50℃加热到100℃，再降温回到50℃的总时长，确定x=70对应周期内的阶段，代入对应升温阶段的解析式即可求出y的值。
【解析】
(1) 煮沸模式下初始水温为20℃，每分钟升温10℃，升到100℃需要的时间$m=(100-20)÷10=8$，结合降温阶段的规律可得$a=20$。
(2) 设在保温模式下，当$22≤ x≤ n$时，水温y与时间x之间的函数表达式为$y=kx+b$（k,b为常数，且$k≠0$）。
将$x=22,y=50$和$x=24,y=55$分别代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}22k+b=50,\\24k+b=55.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\frac{5}{2},\\b=-5.\end{cases}$
所以$y=\frac{5}{2}x-5$。
当$y=100$时，代入得$\frac{5}{2}x-5=100$，解得$x=42$，即$n=42$。
(3) 降温阶段时长：$22-8=14(\min)$，即水温从$100\ °\mathrm{C}$降到$50\ °\mathrm{C}$需要14 min；
加热阶段时长：$42-22=20(\min)$，即从$50\ °\mathrm{C}$加热到$100\ °\mathrm{C}$需要20 min；
因此保温模式下一个循环周期（从50℃升温到100℃再降温回50℃）的时长为$14+20=34(\min)$。
当$x=22$时$y=50$，经过一个周期后$x=22+34=56$时y再次为50℃，$70-56=14(\min)＜20\min$，说明x=70处于升温阶段，代入得$y=50+\frac{5}{2}×14=85$。
【答案】
(1) $20$；$8$
(2) 函数表达式为$y=\frac{5}{2}x-5(22≤ x≤42)$，$n=42$
(3) $85$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的应用；周期规律计算
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的应用，需要学生从题干数据中提取不同阶段的水温变化规律，既能运用待定系数法求解函数解析式，也能结合周期规律分析指定时间的水温，对信息提取和逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时按小问逐步梳理思路：
(1) 先分析煮沸模式的升温规律：初始水温20℃，煮沸模式下每分钟升温10℃，计算从20℃升到100℃的时长即可得到m的值，再结合保温模式降温阶段的规律可得a的值。
(2) 22≤x≤n属于保温模式下的加热升温阶段，水温是x的一次函数，用待定系数法代入两组已知的x、y值，求解系数即可得到函数表达式；再令y=100，求出的x值就是n。
(3) 先计算保温模式的循环周期：即从50℃加热到100℃，再降温回到50℃的总时长，确定x=70对应周期内的阶段，代入对应升温阶段的解析式即可求出y的值。
【解析】
(1) 煮沸模式下初始水温为20℃，每分钟升温10℃，升到100℃需要的时间$m=(100-20)÷10=8$，结合降温阶段的规律可得$a=20$。
(2) 设在保温模式下，当$22≤ x≤ n$时，水温y与时间x之间的函数表达式为$y=kx+b$（k,b为常数，且$k≠0$）。
将$x=22,y=50$和$x=24,y=55$分别代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}22k+b=50,\\24k+b=55.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\frac{5}{2},\\b=-5.\end{cases}$
所以$y=\frac{5}{2}x-5$。
当$y=100$时，代入得$\frac{5}{2}x-5=100$，解得$x=42$，即$n=42$。
(3) 降温阶段时长：$22-8=14(\min)$，即水温从$100\ °\mathrm{C}$降到$50\ °\mathrm{C}$需要14 min；
加热阶段时长：$42-22=20(\min)$，即从$50\ °\mathrm{C}$加热到$100\ °\mathrm{C}$需要20 min；
因此保温模式下一个循环周期（从50℃升温到100℃再降温回50℃）的时长为$14+20=34(\min)$。
当$x=22$时$y=50$，经过一个周期后$x=22+34=56$时y再次为50℃，$70-56=14(\min)＜20\min$，说明x=70处于升温阶段，代入得$y=50+\frac{5}{2}×14=85$。
【答案】
(1) $20$；$8$
(2) 函数表达式为$y=\frac{5}{2}x-5(22≤ x≤42)$，$n=42$
(3) $85$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数的应用；周期规律计算
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的应用，需要学生从题干数据中提取不同阶段的水温变化规律，既能运用待定系数法求解函数解析式，也能结合周期规律分析指定时间的水温，对信息提取和逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
