登录
4.如图，$AC=AE$，$BC=DE$，$BC$的延长线与$DE$相交于点$F$，$∠ ACF + ∠ AED = 180°$.求证：$AB=AD$. 
答案
4.证明:
∵∠ACF+∠AED=180°,∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠ACB=∠AED.
在△ABC 和△ADE 中,
∵$\begin{cases} AC=AE, \\ ∠ACB=∠AED, \\ BC=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE.(SAS)
∴AB=AD.
∵∠ACF+∠AED=180°,∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠ACB=∠AED.
在△ABC 和△ADE 中,
∵$\begin{cases} AC=AE, \\ ∠ACB=∠AED, \\ BC=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE.(SAS)
∴AB=AD.
解析
【分析】
要证明AB=AD，可通过证明AB、AD所在的△ABC和△ADE全等来实现。首先梳理已知条件：已给出AC=AE、BC=DE，缺少两个三角形对应夹角相等的条件；结合已知∠ACF + ∠AED = 180°，再利用∠ACF和∠ACB是邻补角（和为180°），根据同角的补角相等即可推出∠ACB=∠AED，满足SAS全等判定的条件，进而证明三角形全等，即可得到对应边AB=AD。
【解析】
证明:
∵∠ACF+∠AED=180°，∠ACF+∠ACB=180°（邻补角的定义），
∴∠ACB=∠AED（同角的补角相等）。
在△ABC 和△ADE 中,
∵$\begin{cases} AC=AE, \\ ∠ACB=∠AED, \\ BC=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（SAS）。
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
AB=AD，证明成立。
【知识点】
同角的补角相等；SAS判定三角形全等；全等三角形对应边相等
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题的突破口是利用补角的性质推导全等所需的等角条件，结合已知的等边即可用SAS判定三角形全等，进而得到对应边相等，侧重考查全等判定定理的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明AB=AD，可通过证明AB、AD所在的△ABC和△ADE全等来实现。首先梳理已知条件：已给出AC=AE、BC=DE，缺少两个三角形对应夹角相等的条件；结合已知∠ACF + ∠AED = 180°，再利用∠ACF和∠ACB是邻补角（和为180°），根据同角的补角相等即可推出∠ACB=∠AED，满足SAS全等判定的条件，进而证明三角形全等，即可得到对应边AB=AD。
【解析】
证明:
∵∠ACF+∠AED=180°，∠ACF+∠ACB=180°（邻补角的定义），
∴∠ACB=∠AED（同角的补角相等）。
在△ABC 和△ADE 中,
∵$\begin{cases} AC=AE, \\ ∠ACB=∠AED, \\ BC=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（SAS）。
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
AB=AD，证明成立。
【知识点】
同角的补角相等；SAS判定三角形全等；全等三角形对应边相等
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题的突破口是利用补角的性质推导全等所需的等角条件，结合已知的等边即可用SAS判定三角形全等，进而得到对应边相等，侧重考查全等判定定理的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
5.如图，O为$△ ABC$内的一点，D为AB边上的一点，$OD=OB$，$OA=OC$，$∠ AOC=∠ BOD=90°$，连接CD.求证：
(1)$AB=CD$；
(2)$S_{△ BOC}=S_{△ AOD}$.
(1)$AB=CD$；
(2)$S_{△ BOC}=S_{△ AOD}$.
答案
5.证明:(1)
∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD,即∠COD=∠AOB.
在△AOB 和△COD 中,
∵$\begin{cases} OB=OD, \\ ∠AOB=∠COD, \\ OA=OC, \end{cases}$
∴△AOB≌△COD.(SAS)
∴AB=CD.
(2)如图,过点D作DE⊥OA于点E，
过点B作BF⊥CO的延长线于点F，
∴∠F=∠DEO=90°.
∵∠AOF=∠BOD=90°，
∴∠AOF-∠DOF=∠BOD-∠DOF,即∠DOE=∠BOF.
在△ODE 和△OBF 中,
∵$\begin{cases} ∠DEO=∠F, \\ ∠DOE=∠BOF, \\ OD=OB, \end{cases}$
∴△ODE≌△OBF.(AAS)
∴DE=BF.
∵OA=OC,
∴OA·DE=OC·BF.
又
∵$S_{△BOC} =\frac{1}{2} OC·BF$,$S_{△AOD} =\frac{1}{2} OA·DE$，
∴$S_{△BOC}=S_{△AOD}$.
解析
【分析】
(1) 要证AB=CD，可通过证明AB、CD所在的三角形全等来实现。已知OD=OB、OA=OC，只需推导两边的夹角相等即可：由∠AOC和∠BOD均为90°，两个角同时加∠AOD即可得到∠COD=∠AOB，再用SAS判定△AOB≌△COD，即可得到对应边相等。
(2) 要证两个三角形面积相等，结合三角形面积公式，已知OA=OC，只需证明△BOC中OC边上的高与△AOD中OA边上的高相等即可。因此作DE⊥OA、BF⊥CO的延长线，通过AAS证明△ODE≌△OBF得到高DE=BF，代入面积公式即可完成证明。
【解析】
(1) 推导相等夹角证明三角形全等：
∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD，即∠COD=∠AOB。
在△AOB和△COD中：
$\begin{cases} OB=OD, \\ ∠AOB=∠COD, \\ OA=OC, \end{cases}$
∴△AOB≌△COD（SAS），
根据全等三角形对应边相等，可得AB=CD。
(2) 作辅助线证明高相等推导面积相等：
过点D作DE⊥OA于点E，过点B作BF⊥CO的延长线于点F，
∴∠F=∠DEO=90°。
∵∠AOF=∠BOD=90°，
∴∠AOF-∠DOF=∠BOD-∠DOF，即∠DOE=∠BOF。
在△ODE和△OBF中：
$\begin{cases} ∠DEO=∠F, \\ ∠DOE=∠BOF, \\ OD=OB, \end{cases}$
∴△ODE≌△OBF（AAS），
∴DE=BF。
又
∵OA=OC，
∴$\frac{1}{2}OA·DE=\frac{1}{2}OC·BF$，
结合三角形面积公式$S_{△AOD}=\frac{1}{2}OA·DE$，$S_{△BOC}=\frac{1}{2}OC·BF$，可得$S_{△BOC}=S_{△AOD}$。
【答案】
5.证明:(1)
∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD,即∠COD=∠AOB.
在△AOB 和△COD 中,
∵$\begin{cases} OB=OD, \\ ∠AOB=∠COD, \\ OA=OC, \end{cases}$
∴△AOB≌△COD.(SAS)
∴AB=CD.
(2)如图,过点D作DE⊥OA于点E，
过点B作BF⊥CO的延长线于点F，
∴∠F=∠DEO=90°.
∵∠AOF=∠BOD=90°，
∴∠AOF-∠DOF=∠BOD-∠DOF,即∠DOE=∠BOF.
在△ODE 和△OBF 中,
∵$\begin{cases} ∠DEO=∠F, \\ ∠DOE=∠BOF, \\ OD=OB, \end{cases}$
∴△ODE≌△OBF.(AAS)
∴DE=BF.
∵OA=OC,
∴OA·DE=OC·BF.
又
∵$S_{△BOC} =\frac{1}{2} OC·BF$,$S_{△AOD} =\frac{1}{2} OA·DE$，
∴$S_{△BOC}=S_{△AOD}$.
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形面积计算
3. 角的和差运算
【点评】
这是全等三角形应用的典型题型，第一问通过角的和差推导等角，结合已知等边用SAS判定全等即可证明线段相等；第二问通过作高的辅助线，将面积相等问题转化为证高相等，再用AAS判定全等得到等高等量，结合等底即可完成证明，解题时要注意结合已知条件选择合适的全等判定方法，掌握面积类问题的辅助线构造思路。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AB=CD，可通过证明AB、CD所在的三角形全等来实现。已知OD=OB、OA=OC，只需推导两边的夹角相等即可：由∠AOC和∠BOD均为90°，两个角同时加∠AOD即可得到∠COD=∠AOB，再用SAS判定△AOB≌△COD，即可得到对应边相等。
(2) 要证两个三角形面积相等，结合三角形面积公式，已知OA=OC，只需证明△BOC中OC边上的高与△AOD中OA边上的高相等即可。因此作DE⊥OA、BF⊥CO的延长线，通过AAS证明△ODE≌△OBF得到高DE=BF，代入面积公式即可完成证明。
【解析】
(1) 推导相等夹角证明三角形全等：
∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD，即∠COD=∠AOB。
在△AOB和△COD中：
$\begin{cases} OB=OD, \\ ∠AOB=∠COD, \\ OA=OC, \end{cases}$
∴△AOB≌△COD（SAS），
根据全等三角形对应边相等，可得AB=CD。
(2) 作辅助线证明高相等推导面积相等：
过点D作DE⊥OA于点E，过点B作BF⊥CO的延长线于点F，
∴∠F=∠DEO=90°。
∵∠AOF=∠BOD=90°，
∴∠AOF-∠DOF=∠BOD-∠DOF，即∠DOE=∠BOF。
在△ODE和△OBF中：
$\begin{cases} ∠DEO=∠F, \\ ∠DOE=∠BOF, \\ OD=OB, \end{cases}$
∴△ODE≌△OBF（AAS），
∴DE=BF。
又
∵OA=OC，
∴$\frac{1}{2}OA·DE=\frac{1}{2}OC·BF$，
结合三角形面积公式$S_{△AOD}=\frac{1}{2}OA·DE$，$S_{△BOC}=\frac{1}{2}OC·BF$，可得$S_{△BOC}=S_{△AOD}$。
【答案】
5.证明:(1)
∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠AOD=∠BOD+∠AOD,即∠COD=∠AOB.
在△AOB 和△COD 中,
∵$\begin{cases} OB=OD, \\ ∠AOB=∠COD, \\ OA=OC, \end{cases}$
∴△AOB≌△COD.(SAS)
∴AB=CD.
(2)如图,过点D作DE⊥OA于点E，
过点B作BF⊥CO的延长线于点F，
∴∠F=∠DEO=90°.
∵∠AOF=∠BOD=90°，
∴∠AOF-∠DOF=∠BOD-∠DOF,即∠DOE=∠BOF.
在△ODE 和△OBF 中,
∵$\begin{cases} ∠DEO=∠F, \\ ∠DOE=∠BOF, \\ OD=OB, \end{cases}$
∴△ODE≌△OBF.(AAS)
∴DE=BF.
∵OA=OC,
∴OA·DE=OC·BF.
又
∵$S_{△BOC} =\frac{1}{2} OC·BF$,$S_{△AOD} =\frac{1}{2} OA·DE$，
∴$S_{△BOC}=S_{△AOD}$.
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形面积计算
3. 角的和差运算
【点评】
这是全等三角形应用的典型题型，第一问通过角的和差推导等角，结合已知等边用SAS判定全等即可证明线段相等；第二问通过作高的辅助线，将面积相等问题转化为证高相等，再用AAS判定全等得到等高等量，结合等底即可完成证明，解题时要注意结合已知条件选择合适的全等判定方法，掌握面积类问题的辅助线构造思路。
【难度系数】
0.7
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点E.若DE=4 cm,AD=6 cm,则BE的长为
2
cm.答案
6.2
解析
【分析】
首先观察图形特征，已知AD⊥CE、BE⊥CE，可先得到两个直角相等；再结合∠ACB=90°的条件，利用同角的余角相等推出一组对应角相等，结合已知AC=BC，即可用AAS判定△BCE和△CAD全等，最后根据全等三角形对应边相等的性质，结合已知线段长度推导BE的长度即可。
【解析】
解：
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE + ∠ACD = 90°，
又
∵∠CAD + ∠ACD = 90°，
∴∠BCE=∠CAD（同角的余角相等），
在△BCE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠E=∠ADC \\∠BCE=∠CAD \\BC=AC\end{array} $
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴BE=CD，CE=AD，
∵AD=6 cm，
∴CE=6 cm，
又
∵DE=4 cm，
∴CD=CE - DE=6 - 4=2 cm，
∴BE=CD=2 cm。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题是全等三角形“三垂直”模型的典型习题，解题核心是通过垂直关系推导相等的角，进而证明三角形全等，再利用全等的性质转化线段关系求解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，已知AD⊥CE、BE⊥CE，可先得到两个直角相等；再结合∠ACB=90°的条件，利用同角的余角相等推出一组对应角相等，结合已知AC=BC，即可用AAS判定△BCE和△CAD全等，最后根据全等三角形对应边相等的性质，结合已知线段长度推导BE的长度即可。
【解析】
解：
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE + ∠ACD = 90°，
又
∵∠CAD + ∠ACD = 90°，
∴∠BCE=∠CAD（同角的余角相等），
在△BCE和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠E=∠ADC \\∠BCE=∠CAD \\BC=AC\end{array} $
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴BE=CD，CE=AD，
∵AD=6 cm，
∴CE=6 cm，
又
∵DE=4 cm，
∴CD=CE - DE=6 - 4=2 cm，
∴BE=CD=2 cm。
【答案】
2
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题是全等三角形“三垂直”模型的典型习题，解题核心是通过垂直关系推导相等的角，进而证明三角形全等，再利用全等的性质转化线段关系求解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
7.(1)【感知】如图①，点B，C分别在$∠ MAN$的边AM，AN上，点E，F在$∠ MAN$内部的射线AD上，已知$AB=AC$，$∠ 1=∠ 2=∠ BAC$.求证：$△ ABE≌△ CAF$.
(2)【应用】如图②，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB＞BC$，点D在边BC上，$CD=2BD$，点E，F在线段AD上，$∠ 1=∠ 2=∠ BAC$.若$△ ABC$的面积为18，则$△ ACF$与$△ BDE$的面积之和是
(2)【应用】如图②，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB＞BC$，点D在边BC上，$CD=2BD$，点E，F在线段AD上，$∠ 1=∠ 2=∠ BAC$.若$△ ABC$的面积为18，则$△ ACF$与$△ BDE$的面积之和是
6
.答案
7.(1)证明:如图①.
∵∠1=∠2，
∴易得∠BEA=∠AFC.
又
∵∠1=∠ABE+∠3,∠BAC=∠3+∠4,∠1=∠BAC,
∴∠4=∠ABE.
在△ABE 和△CAF 中,
∵$\begin{cases} ∠BEA=∠AFC, \\ ∠ABE=∠4, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAF.(AAS)
(2)6
解析
【分析】
(1) 要证明△ABE≌△CAF，已知AB=AC，需推导两组对应角相等：首先由∠1=∠2可得二者的邻补角∠BEA=∠AFC；再结合∠1=∠BAC，通过角的和差关系推出∠ABE=∠CAF，即可用AAS判定两个三角形全等。
(2) 由(1)的全等结论可得△ACF和△ABE的面积相等，因此所求的两个三角形面积和可转化为△ABD的面积；再根据CD=2BD，结合同高三角形面积比等于底边长的比，即可由△ABC的总面积求出△ABD的面积，即所求的面积和。
【解析】
(1) 证明：
∵∠1=∠2，
∴180°-∠1=180°-∠2，即∠BEA=∠AFC。
∵∠1是△ABE的外角，
∴∠1=∠ABE+∠BAE，
又
∵∠BAC=∠BAE+∠CAF，且∠1=∠BAC，
∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠CAF，化简得∠ABE=∠CAF。
在△ABE和△CAF中：
$\begin{cases}∠BEA=∠AFC \\∠ABE=∠CAF \\AB=CA\end{cases}$
∴△ABE≌△CAF（AAS）。
(2) 解：由(1)的全等结论可得$S_{△ ABE}=S_{△ ACF}$，
因此$S_{△ ACF}+S_{△ BDE}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=S_{△ ABD}$。
∵$CD=2BD$，
∴$BD:BC=1:3$，
△ABD与△ABC同高，面积比等于对应底的比，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×18=6$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，三角形外角性质
【点评】
本题第一问是全等三角形的基础证明，核心是通过角的和差推导对应角相等；第二问借助全等的性质转化所求面积，结合同高三角形的面积与底的关系求解，较好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△ABE≌△CAF，已知AB=AC，需推导两组对应角相等：首先由∠1=∠2可得二者的邻补角∠BEA=∠AFC；再结合∠1=∠BAC，通过角的和差关系推出∠ABE=∠CAF，即可用AAS判定两个三角形全等。
(2) 由(1)的全等结论可得△ACF和△ABE的面积相等，因此所求的两个三角形面积和可转化为△ABD的面积；再根据CD=2BD，结合同高三角形面积比等于底边长的比，即可由△ABC的总面积求出△ABD的面积，即所求的面积和。
【解析】
(1) 证明：
∵∠1=∠2，
∴180°-∠1=180°-∠2，即∠BEA=∠AFC。
∵∠1是△ABE的外角，
∴∠1=∠ABE+∠BAE，
又
∵∠BAC=∠BAE+∠CAF，且∠1=∠BAC，
∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠CAF，化简得∠ABE=∠CAF。
在△ABE和△CAF中：
$\begin{cases}∠BEA=∠AFC \\∠ABE=∠CAF \\AB=CA\end{cases}$
∴△ABE≌△CAF（AAS）。
(2) 解：由(1)的全等结论可得$S_{△ ABE}=S_{△ ACF}$，
因此$S_{△ ACF}+S_{△ BDE}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=S_{△ ABD}$。
∵$CD=2BD$，
∴$BD:BC=1:3$，
△ABD与△ABC同高，面积比等于对应底的比，
∴$S_{△ ABD}=\frac{1}{3}S_{△ ABC}=\frac{1}{3}×18=6$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，三角形外角性质
【点评】
本题第一问是全等三角形的基础证明，核心是通过角的和差推导对应角相等；第二问借助全等的性质转化所求面积，结合同高三角形的面积与底的关系求解，较好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
