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1.[2025·苏州中考节选]如图，C是线段AB的中点，∠A=∠ECB，CD//BE.求证:△DAC≌△ECB.
答案
1.证明:
∵CD//BE，
∴∠DCA=∠B.
∵C是线段AB的中点，
∴AC=CB=$\frac{1}{2}AB$.
在△DAC 和△ECB 中,
∵$\begin{cases} ∠A=∠ECB, \\ AC=CB, \\ ∠DCA=∠B, \end{cases}$
∴△DAC≌△ECB.(ASA)
∵CD//BE，
∴∠DCA=∠B.
∵C是线段AB的中点，
∴AC=CB=$\frac{1}{2}AB$.
在△DAC 和△ECB 中,
∵$\begin{cases} ∠A=∠ECB, \\ AC=CB, \\ ∠DCA=∠B, \end{cases}$
∴△DAC≌△ECB.(ASA)
解析
【分析】
要证明△DAC≌△ECB，首先梳理已知条件：题目已给出一组对应角相等∠A=∠ECB，C是AB中点可推出一组对应边相等AC=CB，此时还缺一组对应角相等的条件；结合已知CD//BE，根据平行线的同位角相等性质可推出∠DCA=∠B，刚好满足全等三角形“角边角（ASA）”的判定要求，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵CD//BE，
∴∠DCA=∠B（两直线平行，同位角相等）。
∵C是线段AB的中点，
∴AC=CB。
在△DAC和△ECB中，
∵$\begin{cases} ∠A=∠ECB, \\ AC=CB, \\ ∠DCA=∠B, \end{cases}$
∴△DAC≌△ECB（ASA）。
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质，线段中点的定义，全等三角形ASA判定
【点评】
本题是全等三角形证明的基础典型题，考察学生从已知条件中挖掘全等判定所需对应边、角相等关系的能力，需要熟练掌握平行线性质和全等判定定理，是巩固全等证明基础的常规习题。
【难度系数】
0.8
要证明△DAC≌△ECB，首先梳理已知条件：题目已给出一组对应角相等∠A=∠ECB，C是AB中点可推出一组对应边相等AC=CB，此时还缺一组对应角相等的条件；结合已知CD//BE，根据平行线的同位角相等性质可推出∠DCA=∠B，刚好满足全等三角形“角边角（ASA）”的判定要求，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵CD//BE，
∴∠DCA=∠B（两直线平行，同位角相等）。
∵C是线段AB的中点，
∴AC=CB。
在△DAC和△ECB中，
∵$\begin{cases} ∠A=∠ECB, \\ AC=CB, \\ ∠DCA=∠B, \end{cases}$
∴△DAC≌△ECB（ASA）。
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
平行线的性质，线段中点的定义，全等三角形ASA判定
【点评】
本题是全等三角形证明的基础典型题，考察学生从已知条件中挖掘全等判定所需对应边、角相等关系的能力，需要熟练掌握平行线性质和全等判定定理，是巩固全等证明基础的常规习题。
【难度系数】
0.8
2.如图，$AB=AC$，点$E$，$D$分别是$AB$，$AC$的中点，$AF⊥BD$，垂足为点$F$，$AG⊥CE$，垂足为点$G$.求证：
(1)$∠ABD=∠ACE$；
(2)$AF=AG$.
(1)$∠ABD=∠ACE$；
(2)$AF=AG$.
答案
2.证明:(1)
∵AB=AC,点E,D分别是AB,AC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB,AD=$\frac{1}{2}$AC,
∴AE=AD.
在△ABD 和△ACE 中,
∵$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE.(SAS)
∴∠ABD=∠ACE.
(2)
∵AF⊥BD,AG⊥CE,
∴∠AFB=∠AGC=90°.
在△ABF 和△ACG 中,
∵$\begin{cases} ∠AFB=∠AGC, \\ ∠ABF=∠ACG, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABF≌△ACG.(AAS)
∴AF=AG.
∵AB=AC,点E,D分别是AB,AC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB,AD=$\frac{1}{2}$AC,
∴AE=AD.
在△ABD 和△ACE 中,
∵$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE.(SAS)
∴∠ABD=∠ACE.
(2)
∵AF⊥BD,AG⊥CE,
∴∠AFB=∠AGC=90°.
在△ABF 和△ACG 中,
∵$\begin{cases} ∠AFB=∠AGC, \\ ∠ABF=∠ACG, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABF≌△ACG.(AAS)
∴AF=AG.
解析
【分析】
(1) 要证∠ABD=∠ACE，可通过证明两角所在的三角形全等推导。已知AB=AC，E、D分别是AB、AC的中点，由中点定义可推出AE=AD，再结合公共角∠BAD=∠CAE，即可用SAS判定△ABD≌△ACE，进而得到对应角相等。
(2) 要证AF=AG，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知AF⊥BD、AG⊥CE，可得两个直角相等，结合第(1)问得到的∠ABD=∠ACE，以及已知AB=AC，可用AAS判定△ABF≌△ACG，进而得到对应边相等。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AC，点E，D分别是AB，AC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴AE=AD。
在△ABD 和△ACE 中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE。
(2) 证明：
∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴∠AFB=∠AGC=90°。
在△ABF 和△ACG 中，
$\begin{cases} ∠AFB=∠AGC, \\ ∠ABF=∠ACG, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴AF=AG。
【答案】
(1) ∠ABD=∠ACE，证明见解析；
(2) AF=AG，证明见解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 中点的定义
3. 垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题时先定位待证等角、等边所在的三角形，再结合已知条件寻找全等判定所需的要素，还可直接利用前一问的结论作为后一问的推导条件，逐步推导即可得到结果，能有效训练全等证明的逻辑思维。
【难度系数】
0.8
(1) 要证∠ABD=∠ACE，可通过证明两角所在的三角形全等推导。已知AB=AC，E、D分别是AB、AC的中点，由中点定义可推出AE=AD，再结合公共角∠BAD=∠CAE，即可用SAS判定△ABD≌△ACE，进而得到对应角相等。
(2) 要证AF=AG，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知AF⊥BD、AG⊥CE，可得两个直角相等，结合第(1)问得到的∠ABD=∠ACE，以及已知AB=AC，可用AAS判定△ABF≌△ACG，进而得到对应边相等。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AC，点E，D分别是AB，AC的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴AE=AD。
在△ABD 和△ACE 中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE。
(2) 证明：
∵AF⊥BD，AG⊥CE，
∴∠AFB=∠AGC=90°。
在△ABF 和△ACG 中，
$\begin{cases} ∠AFB=∠AGC, \\ ∠ABF=∠ACG, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴AF=AG。
【答案】
(1) ∠ABD=∠ACE，证明见解析；
(2) AF=AG，证明见解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 中点的定义
3. 垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题时先定位待证等角、等边所在的三角形，再结合已知条件寻找全等判定所需的要素，还可直接利用前一问的结论作为后一问的推导条件，逐步推导即可得到结果，能有效训练全等证明的逻辑思维。
【难度系数】
0.8
3.如图，$△ ABC$的面积为8，$AD$平分$∠ BAC$，且$AD⊥ BD$于点$D$，求$△ ADC$的面积.
答案
3.解:如图,延长BD交AC于点E.
∵AD平分∠BAC,AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE=90°.
在△ABD 和△AED 中，
∵$\begin{cases} ∠BAD=∠EAD, \\ AD=AD, \\ ∠ADB=∠ADE, \end{cases}$
∴△ABD≌△AED.(ASA)
∴BD=DE，
∴$S_{△ABD}=S_{△ADE}$ ,$S_{△BDC}=S_{△CDE}$ ，
∴$S_{△ABD} +S_{△BDC} =S_{△ADE} +S_{△CDE} =S_{△ADC}$ ，
∴$S_{△ADC} =\frac{1}{2} S_{△ABC} =\frac{1}{2} ×8=4$.
解析
【分析】
观察题目条件，AD同时满足“平分∠BAC”和“垂直BD”两个特征，这类问题的常规解法是延长BD与AC相交，构造全等三角形。首先通过ASA证明△ABD和△AED全等，得到BD=DE，此时△ABD和△AED等底同高面积相等，△BDC和△CDE也等底同高面积相等，进而可推出△ADC的面积是△ABC面积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：如图，延长BD交AC于点E。
∵AD平分∠BAC，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE=90°。
在△ABD和△AED中，
$\begin{cases} ∠BAD=∠EAD, \\ AD=AD, \\ ∠ADB=∠ADE, \end{cases}$
∴△ABD≌△AED（ASA）。
∴BD=DE，
根据等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ABD}=S_{△ADE}$，$S_{△BDC}=S_{△CDE}$，
∴$S_{△ABD} +S_{△BDC} =S_{△ADE} +S_{△CDE} =S_{△ADC}$，
∴$S_{△ADC} =\frac{1}{2} S_{△ABC} =\frac{1}{2} ×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形面积计算
【点评】
本题是全等三角形与三角形面积结合的典型题，解题关键是根据角平分线和垂直的特征构造全等三角形，利用全等性质得到线段相等，再结合等底同高三角形面积相等的规律建立面积关系，这类角平分线相关的辅助线作法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
观察题目条件，AD同时满足“平分∠BAC”和“垂直BD”两个特征，这类问题的常规解法是延长BD与AC相交，构造全等三角形。首先通过ASA证明△ABD和△AED全等，得到BD=DE，此时△ABD和△AED等底同高面积相等，△BDC和△CDE也等底同高面积相等，进而可推出△ADC的面积是△ABC面积的一半，代入数值计算即可。
【解析】
解：如图，延长BD交AC于点E。
∵AD平分∠BAC，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE=90°。
在△ABD和△AED中，
$\begin{cases} ∠BAD=∠EAD, \\ AD=AD, \\ ∠ADB=∠ADE, \end{cases}$
∴△ABD≌△AED（ASA）。
∴BD=DE，
根据等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ABD}=S_{△ADE}$，$S_{△BDC}=S_{△CDE}$，
∴$S_{△ABD} +S_{△BDC} =S_{△ADE} +S_{△CDE} =S_{△ADC}$，
∴$S_{△ADC} =\frac{1}{2} S_{△ABC} =\frac{1}{2} ×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形面积计算
【点评】
本题是全等三角形与三角形面积结合的典型题，解题关键是根据角平分线和垂直的特征构造全等三角形，利用全等性质得到线段相等，再结合等底同高三角形面积相等的规律建立面积关系，这类角平分线相关的辅助线作法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
