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6. ★★★（科学思维）[长沙中考]冬天，为了给鱼缸内的水加热，小星购买了标有“220 V 440 W”字样的电热丝$R_1$和标有“220 V 275 W”字样的电热丝$R_2$各一根，电热丝的电阻不随温度变化。
(1)求电热丝$R_1$正常工作时的电流。
(2)将$R_1$和$R_2$串联接入电路中，求$R_1$与$R_2$两端的电压之比。
(3)为了给鱼缸提供适宜的水温，小星想设计的加热电路需要满足以下要求：
(a)当水温低于$20\ °\mathrm{C}$时，启动高挡快速加热，功率为$440\ \mathrm{W}$；
(b)当水温在$20\ °\mathrm{C}$至$30\ °\mathrm{C}$之间时，启动低挡保温；
(c)当水温高于$30\ °\mathrm{C}$时，断开整个电路。
为此，他找到了4个温控开关(功能见下表)，从
中选择两个开关设计了如图所示的电路。
①(科学推理)请在电路图相应的位置标出电热丝和所选开关的符号；
②按设计连好电路后，为调整功率，小星取下某一根电热丝，剪掉一截后接回原电路。再启动低挡，测得其中一根电热丝两端的电压为$99\ \mathrm{V}$，请计算此时电路的总功率。
(1)求电热丝$R_1$正常工作时的电流。
(2)将$R_1$和$R_2$串联接入电路中，求$R_1$与$R_2$两端的电压之比。
(3)为了给鱼缸提供适宜的水温，小星想设计的加热电路需要满足以下要求：
(a)当水温低于$20\ °\mathrm{C}$时，启动高挡快速加热，功率为$440\ \mathrm{W}$；
(b)当水温在$20\ °\mathrm{C}$至$30\ °\mathrm{C}$之间时，启动低挡保温；
(c)当水温高于$30\ °\mathrm{C}$时，断开整个电路。
为此，他找到了4个温控开关(功能见下表)，从
中选择两个开关设计了如图所示的电路。
①(科学推理)请在电路图相应的位置标出电热丝和所选开关的符号；
②按设计连好电路后，为调整功率，小星取下某一根电热丝，剪掉一截后接回原电路。再启动低挡，测得其中一根电热丝两端的电压为$99\ \mathrm{V}$，请计算此时电路的总功率。
答案
6. 【解】(1)标有“220 V 440 W”的电热丝$R_1$正常工作时，根据$P=UI$知，电流$I_1=\frac{P_1}{U}=\frac{440\ \mathrm{W}}{220\ \mathrm{V}}=2\ \mathrm{A}$。
(2)由$P=\frac{U^2}{R}$可知，电热丝$R_1$的阻值$R_1=\frac{U^2}{P_1}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{440\ \mathrm{W}}=110\ \Omega$；电热丝$R_2$的阻值$R_2=\frac{U^2}{P_2}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{275\ \mathrm{W}}=176\ \Omega$；
根据串联分压规律可知$\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{110\ \Omega}{176\ \Omega}=\frac{5}{8}$。
(3)①如图所示
②未剪前，低挡时$R_1$和$R_2$串联，
$R_1$两端的电压$U_1=IR_1=\frac{U}{R_1+R_2}×R_1=\frac{220\ \mathrm{V}}{176\ \Omega+110\ \Omega}×110\ \Omega≈84.6\ \mathrm{V}$，
$R_2$两端的电压$U_2=U-U_1=220\ \mathrm{V}-84.6\ \mathrm{V}=135.4\ \mathrm{V}$；
情况一：若剪短的是$R_1$，将它接回原电路时，由串联分压的规律可知$U_1$将减小，$U_2$将增大，都不可能变为99 V，不符合题意；
情况二：若剪短的是$R_2$，将它接回原电路时，由串联分压的规律可知$U_2$将减小，$U_1$将增大，都有可能变为99 V，符合题意；
(a)若$R_2$剪短后接回原电路，$R_1$两端的电压$U_1'=99\ \mathrm{V}$，低挡时电路的实际电流$I'=I_1'=\frac{U_1'}{R_1}=\frac{99\ \mathrm{V}}{110\ \Omega}=0.9\ \mathrm{A}$，此时低挡的总功率$P_{总}=UI'=220\ \mathrm{V}×0.9\ \mathrm{A}=198\ \mathrm{W}$；
(b)若$R_2$剪短后接回原电路，$R_2$两端的电压$U_2'=99\ \mathrm{V}$，低挡时电路的实际电流$I''=I_1''=\frac{U_1''}{R_1}=\frac{220\ \mathrm{V}-99\ \mathrm{V}}{110\ \Omega}=1.1\ \mathrm{A}$，此时低挡的总功率$P_{总}'=UI''=220\ \mathrm{V}×1.1\ \mathrm{A}=242\ \mathrm{W}$。
【点拨】(3)①当水温低于$20\ °\mathrm{C}$时，启动高挡快速加热，电路中电流较大，故左侧开关将左侧电热丝短路，故选择$\mathrm{S}_1$与左侧电热丝并联，当水温高于$30\ °\mathrm{C}$时，断开整个电路，故选择$\mathrm{S}_3$放在右侧；根据启动高挡快速加热，功率为440 W；标有“220 V 440 W”的电热丝$R_1$是右侧的电阻。
解析
【分析】
1. 第(1)问：电热丝正常工作时，电压为额定电压、功率为额定功率，根据电功率公式$P=UI$变形可得电流$I=\frac{P}{U}$，代入$R_1$的额定参数即可计算正常工作电流。
2. 第(2)问：先利用电功率公式变形$R=\frac{U^2}{P}$，分别求出$R_1$和$R_2$的电阻；串联电路中电压与电阻成正比（$\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_1}{R_2}$），代入电阻值即可得到电压之比。
3. 第(3)问：①电路设计：高挡功率大需总电阻小，用开关短路其中一个电热丝（$S_1$与$R_2$并联，闭合$S_1$时$R_2$短路，仅$R_1$工作，功率为440W，符合高挡）；低挡时两电热丝串联，总电阻大、功率小；$S_3$在干路，断开时整个电路断电，符合高于30℃断开的要求。②先判断剪短的电热丝：原低挡时$R_1$分压约84.6V、$R_2$分压约135.4V，若剪短$R_1$分压更小，不可能为99V，故剪短的是$R_2$；再分两种情况，根据分压计算电路电流，最后用$P=UI$求总功率。
【解析】
(1) 电热丝$R_1$正常工作时，电压$U=220\ \mathrm{V}$，功率$P_1=440\ \mathrm{W}$，由$P=UI$得：
$I_1=\frac{P_1}{U}=\frac{440\ \mathrm{W}}{220\ \mathrm{V}}=2\ \mathrm{A}$。
(2) 由$P=\frac{U^2}{R}$得，$R_1$的电阻：
$R_1=\frac{U^2}{P_1}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{440\ \mathrm{W}}=110\ \Omega$；
$R_2$的电阻：
$R_2=\frac{U^2}{P_2}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{275\ \mathrm{W}}=176\ \Omega$；
串联电路电压与电阻成正比，故$R_1$与$R_2$两端电压之比：
$\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{110\ \Omega}{176\ \Omega}=\frac{5}{8}$。
(3) ① 电路图：
② 原低挡时$R_1$、$R_2$串联，电路电流$I=\frac{U}{R_1+R_2}=\frac{220\ \mathrm{V}}{110\ \Omega+176\ \Omega}\approx0.769\ \mathrm{A}$，$R_1$分压约84.6V、$R_2$分压约135.4V，故剪短的是$R_2$；
情况一：$R_1$两端电压$U_1'=99\ \mathrm{V}$，电路电流$I'=\frac{U_1'}{R_1}=\frac{99\ \mathrm{V}}{110\ \Omega}=0.9\ \mathrm{A}$，总功率$P_{总}=UI'=220\ \mathrm{V}×0.9\ \mathrm{A}=198\ \mathrm{W}$；
情况二：$R_2$两端电压$U_2'=99\ \mathrm{V}$，$R_1$两端电压$U_1''=220\ \mathrm{V}-99\ \mathrm{V}=121\ \mathrm{V}$，电路电流$I''=\frac{U_1''}{R_1}=\frac{121\ \mathrm{V}}{110\ \Omega}=1.1\ \mathrm{A}$，总功率$P_{总}'=UI''=220\ \mathrm{V}×1.1\ \mathrm{A}=242\ \mathrm{W}$。
【答案】
(1) $2\ \mathrm{A}$；
(2) $5:8$；
(3) ①；② $198\ \mathrm{W}$或$242\ \mathrm{W}$。
【知识点】
电功率计算、串联电路特点、欧姆定律
【点评】
本题结合实际加热场景，考查电功率公式、串联规律及电路设计，需科学推理，注重知识应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
1. 第(1)问：电热丝正常工作时，电压为额定电压、功率为额定功率，根据电功率公式$P=UI$变形可得电流$I=\frac{P}{U}$，代入$R_1$的额定参数即可计算正常工作电流。
2. 第(2)问：先利用电功率公式变形$R=\frac{U^2}{P}$，分别求出$R_1$和$R_2$的电阻；串联电路中电压与电阻成正比（$\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_1}{R_2}$），代入电阻值即可得到电压之比。
3. 第(3)问：①电路设计：高挡功率大需总电阻小，用开关短路其中一个电热丝（$S_1$与$R_2$并联，闭合$S_1$时$R_2$短路，仅$R_1$工作，功率为440W，符合高挡）；低挡时两电热丝串联，总电阻大、功率小；$S_3$在干路，断开时整个电路断电，符合高于30℃断开的要求。②先判断剪短的电热丝：原低挡时$R_1$分压约84.6V、$R_2$分压约135.4V，若剪短$R_1$分压更小，不可能为99V，故剪短的是$R_2$；再分两种情况，根据分压计算电路电流，最后用$P=UI$求总功率。
【解析】
(1) 电热丝$R_1$正常工作时，电压$U=220\ \mathrm{V}$，功率$P_1=440\ \mathrm{W}$，由$P=UI$得：
$I_1=\frac{P_1}{U}=\frac{440\ \mathrm{W}}{220\ \mathrm{V}}=2\ \mathrm{A}$。
(2) 由$P=\frac{U^2}{R}$得，$R_1$的电阻：
$R_1=\frac{U^2}{P_1}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{440\ \mathrm{W}}=110\ \Omega$；
$R_2$的电阻：
$R_2=\frac{U^2}{P_2}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{275\ \mathrm{W}}=176\ \Omega$；
串联电路电压与电阻成正比，故$R_1$与$R_2$两端电压之比：
$\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{110\ \Omega}{176\ \Omega}=\frac{5}{8}$。
(3) ① 电路图：
② 原低挡时$R_1$、$R_2$串联，电路电流$I=\frac{U}{R_1+R_2}=\frac{220\ \mathrm{V}}{110\ \Omega+176\ \Omega}\approx0.769\ \mathrm{A}$，$R_1$分压约84.6V、$R_2$分压约135.4V，故剪短的是$R_2$；
情况一：$R_1$两端电压$U_1'=99\ \mathrm{V}$，电路电流$I'=\frac{U_1'}{R_1}=\frac{99\ \mathrm{V}}{110\ \Omega}=0.9\ \mathrm{A}$，总功率$P_{总}=UI'=220\ \mathrm{V}×0.9\ \mathrm{A}=198\ \mathrm{W}$；
情况二：$R_2$两端电压$U_2'=99\ \mathrm{V}$，$R_1$两端电压$U_1''=220\ \mathrm{V}-99\ \mathrm{V}=121\ \mathrm{V}$，电路电流$I''=\frac{U_1''}{R_1}=\frac{121\ \mathrm{V}}{110\ \Omega}=1.1\ \mathrm{A}$，总功率$P_{总}'=UI''=220\ \mathrm{V}×1.1\ \mathrm{A}=242\ \mathrm{W}$。
【答案】
(1) $2\ \mathrm{A}$；
(2) $5:8$；
(3) ①
；② $198\ \mathrm{W}$或$242\ \mathrm{W}$。【知识点】
电功率计算、串联电路特点、欧姆定律
【点评】
本题结合实际加热场景，考查电功率公式、串联规律及电路设计，需科学推理，注重知识应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
