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9.「2026浙江杭州上城期中，★☆」如图,已知火车站的坐标为$(2,1)$,文化宫的坐标为$(-1,2)$.
(1)请根据已知条件,画出平面直角坐标系.
(2)请写出市场、超市的坐标.
(3)若小明家的坐标为$(7,0)$,在平面直角坐标系中标出小明家的位置,设火车站为点$A$,超市为点$B$,小明家为点$C$,判断三角形$ABC$的形状,并说明理由.
(1)请根据已知条件,画出平面直角坐标系.
(2)请写出市场、超市的坐标.
(3)若小明家的坐标为$(7,0)$,在平面直角坐标系中标出小明家的位置,设火车站为点$A$,超市为点$B$,小明家为点$C$,判断三角形$ABC$的形状,并说明理由.
答案
9.解析 (1)根据题意建立平面直角坐标系,如图所示.
(2)由图可知,市场的坐标为$(6,4)$,超市的坐标为$(4,-2)$.
(3)小明家的位置如图所示.
$△ ABC$是等腰直角三角形.理由如下:
因为$AB^2=2^2+3^2=13$,$BC^2=2^2+3^2=13$,$AC^2=1^2+5^2=26$,$13+13=26$,所以$AB^2+BC^2=AC^2$,$AB=BC$,
所以$∠ ABC=90°$,所以$△ ABC$是等腰直角三角形.
10. 核心素养 推理能力 「2025广东深圳罗湖期末」
【任务一】
如图1,A,E两点在直线l同侧,分别过点A,E作AB⊥l,ED⊥l,垂足分别为点B,D,C为线段BD上一动点,连接AC,EC.已知AB=5,DE=3,BD=15,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示BC的长.
(2)点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?并求出最小值.
【任务二】代数式$\sqrt{x^2+1} + \sqrt{(x-3)^2+4} = \sqrt{(x-0)^2+1^2} + \sqrt{(x-3)^2+2^2}$的几何意义:如图2,建立平面直角坐标系,点P(x,0)是x轴上一点,则$\sqrt{(x-0)^2+1^2}$可以看成点P与点A(0,1)之间的距离,$\sqrt{(x-3)^2+2^2}$可以看成点P与点B(3,2)之间的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB的长度之和,代数式的最小值就是PA+PB的最小值.
(3)求代数式$\sqrt{(x+1)^2+9} + \sqrt{(4-x)^2+1}$的最小值.
【任务一】
如图1,A,E两点在直线l同侧,分别过点A,E作AB⊥l,ED⊥l,垂足分别为点B,D,C为线段BD上一动点,连接AC,EC.已知AB=5,DE=3,BD=15,设CD=x.
(1)用含x的代数式表示BC的长.
(2)点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?并求出最小值.
【任务二】代数式$\sqrt{x^2+1} + \sqrt{(x-3)^2+4} = \sqrt{(x-0)^2+1^2} + \sqrt{(x-3)^2+2^2}$的几何意义:如图2,建立平面直角坐标系,点P(x,0)是x轴上一点,则$\sqrt{(x-0)^2+1^2}$可以看成点P与点A(0,1)之间的距离,$\sqrt{(x-3)^2+2^2}$可以看成点P与点B(3,2)之间的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB的长度之和,代数式的最小值就是PA+PB的最小值.
(3)求代数式$\sqrt{(x+1)^2+9} + \sqrt{(4-x)^2+1}$的最小值.
答案
10.解析 (1)$BC=15-x$.
(2)如图,作点E关于直线l的对称点$E'$,连接$AE'$,与直线l交于点C,则$CE=CE'$,此时$AC+CE$的值最小,为$AE'$的长,过点$E'$作AB的垂线,垂足为F,则$BF=DE'=DE=3$,$E'F=BD=15$,在直角三角形$AFE'$中,由勾股定理得 $AE' = \sqrt{AF^2+E'F^2} = \sqrt{(5+3)^2+15^2}=17$,所以$AC+CE$的最小值为17.
(3)如图,建立平面直角坐标系,点$P(x,0)$是x轴上一点,则$\sqrt{(x+1)^2+9}$可以看成点P与点$A(-1,3)$之间的距离,$\sqrt{(4-x)^2+1}$可以看成点P与点$B(4,1)$之间的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB的长度之和,代数式的最小值就是$PA+PB$的最小值.
作点B关于x轴的对称点$B'$,连接$AB'$交x轴于点P,则$BP=B'P$,此时$PA+PB$的值最小,为$AB'$的长,过点A作y轴的平行线,过点$B'$作x轴的平行线,两线交于点C,易知点$C(-1,-1)$,所以$AB' = \sqrt{(-1-3)^2+(-1-4)^2} = \sqrt{41}$,所以代数式$\sqrt{(x+1)^2+9}+\sqrt{(4-x)^2+1}$的最小值是$\sqrt{41}$.
1),O(0,0),则△ABO 的面积是
第1题图 第2题图
4
. 第1题图 第2题图答案
1.答案 4
解析 如图,过点A,B分别作y轴、x轴的垂线,垂足分别为点C,E,两垂线交于点D,则$C(0,3),D(3,3)$,$E(3,0)$,所以$△ ABO$的面积=四边形OCDE的面积$-$$△ ACO$的面积$-$$△ ABD$的面积$-$$△ BEO$的面积=$3×3-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×3×1=4$.
A(0,0),B(9,0),C(7,5),D(2,7),则四边形ABCD的面积为
42
.答案
2.答案 42
解析 如图,过点D,C分别作x轴的垂线,垂足分别为点E,F,则$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ OED}+S_{\mathrm{梯形}EFCD}+S_{△ CFB}=\frac{1}{2}AE· DE + \frac{1}{2}(CF+DE)· EF+\frac{1}{2}FC· FB=\frac{1}{2}×2×7+\frac{1}{2}×(5+7)×5+\frac{1}{2}×5×2=42$.
故四边形ABCD的面积为42.
3.已知$△ ABC$的三个顶点的坐标分别是$A(0,1)$，$B(2,0)$，$C(2,3)$.若点$P$在$x$轴上，且$△ ABP$的面积等于$△ ABC$的面积，则点$P$的坐标是
(8,0)或(-4,0)
.答案
3.答案 $(8,0)$或$(-4,0)$
解析 在平面直角坐标系中画出$△ ABC$,如图所示,易知$△ ABC$的面积$=\frac{1}{2}×3×2=3$,设点P的坐标为$(m,0)$,则$BP=|m-2|$,
因为$△ ABP$的面积等于$△ ABC$的面积,所以$\frac{1}{2}BP· AO=3$,即$\frac{1}{2}×|m-2|×1=3$,解得$m=8$或$m=-4$,所以点P的坐标为$(8,0)$或$(-4,0)$.
