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2. 制作有盖的长方体收纳盒
【所需材料】
如图①所示为长方形硬纸板$ABCD$，$AB=40\ \mathrm{cm}$，$BC=100\ \mathrm{cm}$.
【制作方案】
第一小组:按照如图②所示的方式裁剪掉4个大小相同的长方形,得到收纳盒的展开图,并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒,$PQ$和$MN$两边恰好重合且无重叠部分(如图③).
第二小组:如图④,沿$MN$将长方形$ABCD$剪成两部分,将长方形$ABNM$折叠成收纳盒的侧面,将长方形$CDMN$沿$EF$剪成大小相同的两个部分,分别作为收纳盒的上、下底面.
【问题解决】
(1) 若图③中收纳盒的高是10 cm,则该收纳盒底面的边$EF=$
(2) 图④中棱$ME$的长为
(3) 第三小组的同学观察第一、二两个小组的设计,发现第一小组将长方形硬纸板经过裁剪之后制成长方体收纳盒,而第二小组利用整张长方形硬纸板制成长方体收纳盒,所以第三小组的同学说:“第一小组制作的长方体收纳盒比第二小组制作的长方体收纳盒的体积小.”你认为这种说法正确吗?请通过计算说明理由.
【所需材料】
如图①所示为长方形硬纸板$ABCD$，$AB=40\ \mathrm{cm}$，$BC=100\ \mathrm{cm}$.
【制作方案】
第一小组:按照如图②所示的方式裁剪掉4个大小相同的长方形,得到收纳盒的展开图,并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒,$PQ$和$MN$两边恰好重合且无重叠部分(如图③).
第二小组:如图④,沿$MN$将长方形$ABCD$剪成两部分,将长方形$ABNM$折叠成收纳盒的侧面,将长方形$CDMN$沿$EF$剪成大小相同的两个部分,分别作为收纳盒的上、下底面.
【问题解决】
(1) 若图③中收纳盒的高是10 cm,则该收纳盒底面的边$EF=$
20
cm,$EH=$40
cm.(2) 图④中棱$ME$的长为
5
cm.(3) 第三小组的同学观察第一、二两个小组的设计,发现第一小组将长方形硬纸板经过裁剪之后制成长方体收纳盒,而第二小组利用整张长方形硬纸板制成长方体收纳盒,所以第三小组的同学说:“第一小组制作的长方体收纳盒比第二小组制作的长方体收纳盒的体积小.”你认为这种说法正确吗?请通过计算说明理由.
答案
（1）由题意得，$EF=40−2×10=20(\mathrm{cm})$，$EH=\frac{100-2×10}{2}=40(\mathrm{cm})$.
（2）设$DM=x\ \mathrm{cm}$,则$DE=ME=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$.因为$AB=40\ \mathrm{cm}$,$BC=100\ \mathrm{cm}$,所以根据题意,可列方程为$2(\frac{1}{2}x +40)+x=100$,解得$x=10$,即$DM=10\ \mathrm{cm}$.所以$ME=DE=5\ \mathrm{cm}$.
（3）第三小组的同学的说法不正确.理由:第一小组制作的长方体收纳盒的体积为$10×20×40=8\ 000(\mathrm{cm^3})$,第二小组制作的长方体收纳盒的体积为$5×40×40=8\ 000(\mathrm{cm^3})$,所以第一小组制作的长方体收纳盒与第二小组制作的长方体收纳盒体积相同.所以第三小组的同学的说法不正确.
（2）设$DM=x\ \mathrm{cm}$,则$DE=ME=\frac{1}{2}x\ \mathrm{cm}$.因为$AB=40\ \mathrm{cm}$,$BC=100\ \mathrm{cm}$,所以根据题意,可列方程为$2(\frac{1}{2}x +40)+x=100$,解得$x=10$,即$DM=10\ \mathrm{cm}$.所以$ME=DE=5\ \mathrm{cm}$.
（3）第三小组的同学的说法不正确.理由:第一小组制作的长方体收纳盒的体积为$10×20×40=8\ 000(\mathrm{cm^3})$,第二小组制作的长方体收纳盒的体积为$5×40×40=8\ 000(\mathrm{cm^3})$,所以第一小组制作的长方体收纳盒与第二小组制作的长方体收纳盒体积相同.所以第三小组的同学的说法不正确.
