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9.一个数值转换器的工作原理如图所示.
(1)当输入的$x$值为8时,则输出的$y$值为
(2)若输出的$y$是$\sqrt{3}$且$10≤ |x| ＜100$,则输入的$x$值为
(1)当输入的$x$值为8时,则输出的$y$值为
$\sqrt{6}$
.(2)若输出的$y$是$\sqrt{3}$且$10≤ |x| ＜100$,则输入的$x$值为
11 或 83 或 $-79$
.答案
9.(1)$\sqrt{6}$ (2)11 或 83 或 $-79$
解析
【分析】
首先明确数值转换器的运算流程：输入x后，先计算$|x-2|$的值，再对该值取算术平方根，若结果为无理数则直接输出y；若结果为有理数，就将这个有理数作为新的被开方数再次取算术平方根，直到得到无理数时输出。
(1) 直接将x=8代入流程逐步计算即可；
(2) 反向推导：输出$y=\sqrt{3}$，说明最初的$|x-2|$是3的$2^n$次幂（n为非负整数，每次开算术平方根结果为有理数时会继续运算），再结合$10≤ |x| ＜100$的条件筛选符合的x值。
【解析】
(1) 当输入$x=8$时：
第一步：计算$|x-2|=|8-2|=6$；
第二步：对6取算术平方根得$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$是无理数，因此直接输出。
(2) 已知输出$y=\sqrt{3}$，说明经过若干次开算术平方根后得到$\sqrt{3}$，因此初始的$|x-2|=3^{2^n}$（n为非负整数）：
① 当$n=0$时，$|x-2|=3^1=3$，解得$x=5$或$x=-1$，二者绝对值均小于10，不符合要求，舍去；
② 当$n=1$时，$|x-2|=3^2=9$，解得$x=11$或$x=-7$，其中$x=-7$绝对值小于10舍去，$x=11$符合条件；
③ 当$n=2$时，$|x-2|=3^4=81$，解得$x=83$或$x=-79$，二者绝对值均满足$10≤ |x| ＜100$，符合条件；
④ 当$n≥3$时，$|x-2|≥3^8=6561$，x的绝对值远大于100，不符合要求。
综上符合条件的x为11、83、-79。
【答案】
(1)$\sqrt{6}$；(2)11 或 83 或 $-79$
【知识点】
绝对值运算，算术平方根，无理数的识别
【点评】
本题结合流程图考查实数的基础运算，解题核心是理清运算顺序，正向计算需按规则逐步判断，反向推导时要考虑所有可能的循环次数，避免漏解。
【难度系数】
0.65
首先明确数值转换器的运算流程：输入x后，先计算$|x-2|$的值，再对该值取算术平方根，若结果为无理数则直接输出y；若结果为有理数，就将这个有理数作为新的被开方数再次取算术平方根，直到得到无理数时输出。
(1) 直接将x=8代入流程逐步计算即可；
(2) 反向推导：输出$y=\sqrt{3}$，说明最初的$|x-2|$是3的$2^n$次幂（n为非负整数，每次开算术平方根结果为有理数时会继续运算），再结合$10≤ |x| ＜100$的条件筛选符合的x值。
【解析】
(1) 当输入$x=8$时：
第一步：计算$|x-2|=|8-2|=6$；
第二步：对6取算术平方根得$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$是无理数，因此直接输出。
(2) 已知输出$y=\sqrt{3}$，说明经过若干次开算术平方根后得到$\sqrt{3}$，因此初始的$|x-2|=3^{2^n}$（n为非负整数）：
① 当$n=0$时，$|x-2|=3^1=3$，解得$x=5$或$x=-1$，二者绝对值均小于10，不符合要求，舍去；
② 当$n=1$时，$|x-2|=3^2=9$，解得$x=11$或$x=-7$，其中$x=-7$绝对值小于10舍去，$x=11$符合条件；
③ 当$n=2$时，$|x-2|=3^4=81$，解得$x=83$或$x=-79$，二者绝对值均满足$10≤ |x| ＜100$，符合条件；
④ 当$n≥3$时，$|x-2|≥3^8=6561$，x的绝对值远大于100，不符合要求。
综上符合条件的x为11、83、-79。
【答案】
(1)$\sqrt{6}$；(2)11 或 83 或 $-79$
【知识点】
绝对值运算，算术平方根，无理数的识别
【点评】
本题结合流程图考查实数的基础运算，解题核心是理清运算顺序，正向计算需按规则逐步判断，反向推导时要考虑所有可能的循环次数，避免漏解。
【难度系数】
0.65
10. 求下列各式中的$x$.
(1)$25x^2 -1=0$.
(2)$15^2 +x^2=17^2$.
(3)$3x^3=81$.
(4)$343(x+3)^3 +27=0$.
(1)$25x^2 -1=0$.
(2)$15^2 +x^2=17^2$.
(3)$3x^3=81$.
(4)$343(x+3)^3 +27=0$.
答案
10.解:(1)$25x^2 -1=0,25x^2=1,x^2=\frac{1}{25}$,
$\therefore x=\pm\sqrt{\frac{1}{25}},x=\pm\frac{1}{5}$.
(2)$15^2 +x^2=17^2$,
$\therefore x^2=64,\therefore x=\pm\sqrt{64},x=\pm8$.
(3)$\because 3x^3=81,\therefore x^3=\frac{81}{3},x^3=27$.
$\therefore x=3$.
(4)$\because 343(x+3)^3 +27=0$,
$\therefore (x+3)^3=-\frac{27}{343}$.
$\therefore x+3=-\frac{3}{7}.\therefore x=-3\frac{3}{7}$.
$\therefore x=\pm\sqrt{\frac{1}{25}},x=\pm\frac{1}{5}$.
(2)$15^2 +x^2=17^2$,
$\therefore x^2=64,\therefore x=\pm\sqrt{64},x=\pm8$.
(3)$\because 3x^3=81,\therefore x^3=\frac{81}{3},x^3=27$.
$\therefore x=3$.
(4)$\because 343(x+3)^3 +27=0$,
$\therefore (x+3)^3=-\frac{27}{343}$.
$\therefore x+3=-\frac{3}{7}.\therefore x=-3\frac{3}{7}$.
解析
【分析】
这几道题均考查利用平方根、立方根的定义解方程，解题思路如下：①对于含$x^2$的式子（第1、2题），先通过移项、系数化为1，将式子整理为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，再根据平方根的定义，$x$等于$a$的两个互为相反数的平方根；②对于含$x^3$的式子（第3、4题），先整理为$x^3=b$（或含$x$的整体的三次方等于常数）的形式，再根据立方根的定义开立方求出$x$（或整体的值，再计算$x$），注意立方根只有唯一结果，第4题需把$(x+3)$看作整体先求解。
【解析】
解：(1) $25x^2 -1=0$
移项得：$25x^2=1$
系数化为1得：$x^2=\frac{1}{25}$
根据平方根的定义得：$x=\pm\sqrt{\frac{1}{25}}$，即$x=\pm\frac{1}{5}$
(2) $15^2 +x^2=17^2$
计算常数项得：$225 + x^2 = 289$
移项得：$x^2=289-225=64$
根据平方根的定义得：$x=\pm\sqrt{64}$，即$x=\pm8$
(3) $3x^3=81$
系数化为1得：$x^3=\frac{81}{3}=27$
根据立方根的定义得：$x=\sqrt[3]{27}=3$
(4) $343(x+3)^3 +27=0$
移项得：$343(x+3)^3=-27$
系数化为1得：$(x+3)^3=-\frac{27}{343}$
根据立方根的定义得：$x+3=\sqrt[3]{-\frac{27}{343}}=-\frac{3}{7}$
解得：$x=-3-\frac{3}{7}=-3\frac{3}{7}$
【答案】
(1)$x=\pm\frac{1}{5}$；(2)$x=\pm8$；(3)$x=3$；(4)$x=-3\frac{3}{7}$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；整体思想
【点评】
本题是开方运算的基础应用题型，解题时需注意平方根有两个互为相反数的结果，不要漏写负根；立方根仅有唯一结果，遇到含未知数的整体的三次方时，先求整体的值再计算未知数，可简化计算。
【难度系数】
0.85
这几道题均考查利用平方根、立方根的定义解方程，解题思路如下：①对于含$x^2$的式子（第1、2题），先通过移项、系数化为1，将式子整理为$x^2=a$（$a≥0$）的形式，再根据平方根的定义，$x$等于$a$的两个互为相反数的平方根；②对于含$x^3$的式子（第3、4题），先整理为$x^3=b$（或含$x$的整体的三次方等于常数）的形式，再根据立方根的定义开立方求出$x$（或整体的值，再计算$x$），注意立方根只有唯一结果，第4题需把$(x+3)$看作整体先求解。
【解析】
解：(1) $25x^2 -1=0$
移项得：$25x^2=1$
系数化为1得：$x^2=\frac{1}{25}$
根据平方根的定义得：$x=\pm\sqrt{\frac{1}{25}}$，即$x=\pm\frac{1}{5}$
(2) $15^2 +x^2=17^2$
计算常数项得：$225 + x^2 = 289$
移项得：$x^2=289-225=64$
根据平方根的定义得：$x=\pm\sqrt{64}$，即$x=\pm8$
(3) $3x^3=81$
系数化为1得：$x^3=\frac{81}{3}=27$
根据立方根的定义得：$x=\sqrt[3]{27}=3$
(4) $343(x+3)^3 +27=0$
移项得：$343(x+3)^3=-27$
系数化为1得：$(x+3)^3=-\frac{27}{343}$
根据立方根的定义得：$x+3=\sqrt[3]{-\frac{27}{343}}=-\frac{3}{7}$
解得：$x=-3-\frac{3}{7}=-3\frac{3}{7}$
【答案】
(1)$x=\pm\frac{1}{5}$；(2)$x=\pm8$；(3)$x=3$；(4)$x=-3\frac{3}{7}$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；整体思想
【点评】
本题是开方运算的基础应用题型，解题时需注意平方根有两个互为相反数的结果，不要漏写负根；立方根仅有唯一结果，遇到含未知数的整体的三次方时，先求整体的值再计算未知数，可简化计算。
【难度系数】
0.85
11. 完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题.
(1)$m=$
(2)从表格数字中可以发现:开算术平方根时，被开方数的小数点每向左(或向右)移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左(或向右)移动一位.请用文字表述立方根的变化规律.
(3)若$\sqrt{a}≈14.142,\sqrt[3]{700}≈b$，求$a+b$的值.
(参考数据:$\sqrt{2}≈1.4142,\sqrt{20}≈4.4721,\sqrt[3]{7}≈1.9129,\sqrt[3]{0.7}≈0.8879)$
(1)$m=$
80
，$n=$0.4
.(2)从表格数字中可以发现:开算术平方根时，被开方数的小数点每向左(或向右)移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左(或向右)移动一位.请用文字表述立方根的变化规律.
(3)若$\sqrt{a}≈14.142,\sqrt[3]{700}≈b$，求$a+b$的值.
(参考数据:$\sqrt{2}≈1.4142,\sqrt{20}≈4.4721,\sqrt[3]{7}≈1.9129,\sqrt[3]{0.7}≈0.8879)$
答案
11.解:(1)80 0.4
(2)开立方根时,被开方数的小数点每向左(或向右)移动三位,它的立方根的小数点随即向左(或向右)移动一位.
(3)$\because \sqrt{2}≈1.414\ 2,\therefore \sqrt{200}≈14.142$,即$a=200$.
$\because \sqrt[3]{0.7}≈0.887\ 9,\therefore \sqrt[3]{700}≈8.879$,即$b=8.879$,
$\therefore a+b=200+8.879=208.879$.
(2)开立方根时,被开方数的小数点每向左(或向右)移动三位,它的立方根的小数点随即向左(或向右)移动一位.
(3)$\because \sqrt{2}≈1.414\ 2,\therefore \sqrt{200}≈14.142$,即$a=200$.
$\because \sqrt[3]{0.7}≈0.887\ 9,\therefore \sqrt[3]{700}≈8.879$,即$b=8.879$,
$\therefore a+b=200+8.879=208.879$.
解析
【分析】
解决本题首先要结合表格数据归纳算术平方根、立方根的变化规律，再运用规律解题：
1. 第(1)问求m、n：观察算术平方根行，被开方数从64变为6400，小数点右移2位，对应算术平方根的小数点也按规律移动即可得m；观察立方根行，被开方数从64变为0.064，小数点左移3位，对应立方根的小数点按规律移动即可得n。
2. 第(2)问总结立方根规律：对照算术平方根的规律表述，观察表格中被开方数和对应立方根的小数点移动位数的对应关系，归纳即可。
3. 第(3)问计算a+b：先根据算术平方根的规律，结合已知√2≈1.4142推出a的值；再根据立方根的规律，结合已知∛0.7≈0.8879推出b的值，最后求和即可。
【解析】
(1) 求m：已知√64=8，被开方数64到6400，小数点向右移动2位，根据算术平方根的变化规律，算术平方根的小数点向右移动1位，因此m=8×10=80；
求n：已知∛64=4，被开方数64到0.064，小数点向左移动3位，根据立方根的变化规律，立方根的小数点向左移动1位，因此n=4÷10=0.4。
(2) 观察表格中被开方数和立方根的对应变化：被开方数的小数点每移动3位，对应立方根的小数点向相同方向移动1位，因此规律为：开立方根时，被开方数的小数点每向左(或向右)移动三位，它的立方根的小数点随即向左(或向右)移动一位。
(3) 求a的值：已知√2≈1.4142，√a≈14.142是1.4142的小数点向右移动1位得到的，根据算术平方根的规律，被开方数的小数点向右移动2位，因此a=2×100=200；
求b的值：已知∛0.7≈0.8879，700是0.7的小数点向右移动3位得到的，根据立方根的规律，立方根的小数点向右移动1位，因此b=0.8879×10=8.879；
因此a+b=200+8.879=208.879。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80}$，$\boldsymbol{0.4}$
(2) 开立方根时，被开方数的小数点每向左(或向右)移动三位，它的立方根的小数点随即向左(或向右)移动一位。
(3) $\boldsymbol{208.879}$
【知识点】
算术平方根的性质，立方根的性质，规律探究应用
【点评】
本题结合表格考查平方根、立方根的小数点移动规律，既要求学生具备观察归纳的能力，也要求学生能熟练运用总结出的规律解决计算问题，属于基础类规律探究题，能有效巩固根式的相关性质。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要结合表格数据归纳算术平方根、立方根的变化规律，再运用规律解题：
1. 第(1)问求m、n：观察算术平方根行，被开方数从64变为6400，小数点右移2位，对应算术平方根的小数点也按规律移动即可得m；观察立方根行，被开方数从64变为0.064，小数点左移3位，对应立方根的小数点按规律移动即可得n。
2. 第(2)问总结立方根规律：对照算术平方根的规律表述，观察表格中被开方数和对应立方根的小数点移动位数的对应关系，归纳即可。
3. 第(3)问计算a+b：先根据算术平方根的规律，结合已知√2≈1.4142推出a的值；再根据立方根的规律，结合已知∛0.7≈0.8879推出b的值，最后求和即可。
【解析】
(1) 求m：已知√64=8，被开方数64到6400，小数点向右移动2位，根据算术平方根的变化规律，算术平方根的小数点向右移动1位，因此m=8×10=80；
求n：已知∛64=4，被开方数64到0.064，小数点向左移动3位，根据立方根的变化规律，立方根的小数点向左移动1位，因此n=4÷10=0.4。
(2) 观察表格中被开方数和立方根的对应变化：被开方数的小数点每移动3位，对应立方根的小数点向相同方向移动1位，因此规律为：开立方根时，被开方数的小数点每向左(或向右)移动三位，它的立方根的小数点随即向左(或向右)移动一位。
(3) 求a的值：已知√2≈1.4142，√a≈14.142是1.4142的小数点向右移动1位得到的，根据算术平方根的规律，被开方数的小数点向右移动2位，因此a=2×100=200；
求b的值：已知∛0.7≈0.8879，700是0.7的小数点向右移动3位得到的，根据立方根的规律，立方根的小数点向右移动1位，因此b=0.8879×10=8.879；
因此a+b=200+8.879=208.879。
【答案】
(1) $\boldsymbol{80}$，$\boldsymbol{0.4}$
(2) 开立方根时，被开方数的小数点每向左(或向右)移动三位，它的立方根的小数点随即向左(或向右)移动一位。
(3) $\boldsymbol{208.879}$
【知识点】
算术平方根的性质，立方根的性质，规律探究应用
【点评】
本题结合表格考查平方根、立方根的小数点移动规律，既要求学生具备观察归纳的能力，也要求学生能熟练运用总结出的规律解决计算问题，属于基础类规律探究题，能有效巩固根式的相关性质。
【难度系数】
0.7
