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12. 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是 $v=16\sqrt{df}$，其中 $v$ 表示车速（单位：km/h），$d$ 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），$f$ 表示摩擦系数。在某次交通事故调查中，测得 $d=20\ \mathrm{m}$，$f=1.8$，若 $v≥80\ \mathrm{km/h}$ 时，说明汽车已超速，问肇事汽车是否超速？
答案
12.解:当 $d=20\ \mathrm{m},f=1.8$ 时,
$v=16\sqrt{df}=16\sqrt{20×1.8}=16\sqrt{36}=16×6=96(\mathrm{km/h})$,
因为 $96＞80$,所以肇事汽车超速了.
$v=16\sqrt{df}=16\sqrt{20×1.8}=16\sqrt{36}=16×6=96(\mathrm{km/h})$,
因为 $96＞80$,所以肇事汽车超速了.
解析
【分析】
要判断肇事汽车是否超速，首先明确题目给出的车速计算公式、已知的距离d、摩擦系数f的数值以及超速判定标准。解题思路分为两步：第一步将d=20、f=1.8代入给定的速度公式，计算出肇事车辆的实际车速；第二步将计算得到的车速与80km/h比较大小，若车速≥80km/h则属于超速，反之则不超速。
【解析】
当$d=20\ \mathrm{m},f=1.8$时，
代入公式$v=16\sqrt{df}$可得：
$v=16\sqrt{20×1.8}$
$=16\sqrt{36}$
$=16×6$
$=96(\mathrm{km/h})$
因为$96＞80$，所以肇事汽车超速了。
【答案】
肇事汽车超速了。
【知识点】
代数式求值，二次根式化简，实数大小比较
【点评】
本题是结合交通场景的实际应用类题目，解题核心是准确将已知数值代入给定公式计算，再结合判定标准对比得到结论，计算时注意二次根式的化简要正确。
【难度系数】
0.85
要判断肇事汽车是否超速，首先明确题目给出的车速计算公式、已知的距离d、摩擦系数f的数值以及超速判定标准。解题思路分为两步：第一步将d=20、f=1.8代入给定的速度公式，计算出肇事车辆的实际车速；第二步将计算得到的车速与80km/h比较大小，若车速≥80km/h则属于超速，反之则不超速。
【解析】
当$d=20\ \mathrm{m},f=1.8$时，
代入公式$v=16\sqrt{df}$可得：
$v=16\sqrt{20×1.8}$
$=16\sqrt{36}$
$=16×6$
$=96(\mathrm{km/h})$
因为$96＞80$，所以肇事汽车超速了。
【答案】
肇事汽车超速了。
【知识点】
代数式求值，二次根式化简，实数大小比较
【点评】
本题是结合交通场景的实际应用类题目，解题核心是准确将已知数值代入给定公式计算，再结合判定标准对比得到结论，计算时注意二次根式的化简要正确。
【难度系数】
0.85
13. 已知$\sqrt[3]{5.25} \approx 1.738$，$\sqrt[3]{525} \approx 8.067$，则$\sqrt[3]{-0.000525}$约等于 （
A.$-17.38$
B.$-0.01738$
C.$-806.7$
D.$-0.08067$
D
）A.$-17.38$
B.$-0.01738$
C.$-806.7$
D.$-0.08067$
答案
13.D
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆立方根的相关性质：一是立方根的符号与被开方数的符号一致，负数的立方根是负数，可以先把负号移到根号外；二是立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，立方根的小数点就对应向左（或向右）移动1位。接下来我们先把待求的$\sqrt[3]{-0.000525}$变形，再找到被开方数0.000525和已知的525的小数点移动关系，就能算出结果。
【解析】
第一步：处理负号，根据立方根的符号性质可得：
$\sqrt[3]{-0.000525}=-\sqrt[3]{0.000525}$
第二步：对比0.000525和已知的$\sqrt[3]{525}\approx8.067$的被开方数525：
525的小数点向左移动6位得到0.000525，按照立方根小数点移动规律，被开方数小数点左移6位，立方根的小数点对应左移$6÷3=2$位。
第三步：计算结果
$\sqrt[3]{0.000525}\approx8.067÷100=0.08067$
因此$\sqrt[3]{-0.000525}\approx-0.08067$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
立方根的性质，立方根小数点移动规律
【点评】
本题重点考查立方根小数点移动规律的应用，解题的核心是准确判断被开方数的小数点移动位数，进而推导立方根的小数点变化，同时要注意负数立方根的符号处理，避免因记错移动位数或忽略符号出错。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要回忆立方根的相关性质：一是立方根的符号与被开方数的符号一致，负数的立方根是负数，可以先把负号移到根号外；二是立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，立方根的小数点就对应向左（或向右）移动1位。接下来我们先把待求的$\sqrt[3]{-0.000525}$变形，再找到被开方数0.000525和已知的525的小数点移动关系，就能算出结果。
【解析】
第一步：处理负号，根据立方根的符号性质可得：
$\sqrt[3]{-0.000525}=-\sqrt[3]{0.000525}$
第二步：对比0.000525和已知的$\sqrt[3]{525}\approx8.067$的被开方数525：
525的小数点向左移动6位得到0.000525，按照立方根小数点移动规律，被开方数小数点左移6位，立方根的小数点对应左移$6÷3=2$位。
第三步：计算结果
$\sqrt[3]{0.000525}\approx8.067÷100=0.08067$
因此$\sqrt[3]{-0.000525}\approx-0.08067$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
立方根的性质，立方根小数点移动规律
【点评】
本题重点考查立方根小数点移动规律的应用，解题的核心是准确判断被开方数的小数点移动位数，进而推导立方根的小数点变化，同时要注意负数立方根的符号处理，避免因记错移动位数或忽略符号出错。
【难度系数】
0.7
14.若一个偶数的立方根比2大，平方根比4小，则这个偶数是
10 或 12 或 14
。答案
14.10 或 12 或 14
解析
【分析】
解题时首先要把题目中关于立方根、平方根的大小描述转化为对应的不等式，确定这个数的取值范围，再结合“偶数”的限制条件，在取值范围内筛选出符合要求的数即可。第一步先根据立方根比2大，算出这个数要大于2的立方；第二步根据平方根（算术平方根）比4小，算出这个数要小于4的平方；第三步在得到的范围内找偶数就得到答案。
【解析】
设这个偶数为$ x $。
1. 根据“偶数的立方根比2大”，可得：
$ \sqrt[3]{x} ＞ 2 $
两边同时立方，不等号方向不变，得：
$ x ＞ 2^3 = 8 $
2. 根据“平方根比4小”，这里的平方根指算术平方根（负数无平方根，且$ x $为正偶数），可得：
$ \sqrt{x} ＜ 4 $
两边同时平方，不等号方向不变，得：
$ x ＜ 4^2 = 16 $
3. 综上可得$ x $的取值范围是$ 8 ＜ x ＜ 16 $，结合$ x $是偶数的条件，符合要求的数为10、12、14。
【答案】
10或12或14
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，偶数的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心是将文字表述的大小关系转化为数学不等式确定数的范围，再结合限定条件筛选结果，解题时要注意平方根的非负性，避免范围判断错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要把题目中关于立方根、平方根的大小描述转化为对应的不等式，确定这个数的取值范围，再结合“偶数”的限制条件，在取值范围内筛选出符合要求的数即可。第一步先根据立方根比2大，算出这个数要大于2的立方；第二步根据平方根（算术平方根）比4小，算出这个数要小于4的平方；第三步在得到的范围内找偶数就得到答案。
【解析】
设这个偶数为$ x $。
1. 根据“偶数的立方根比2大”，可得：
$ \sqrt[3]{x} ＞ 2 $
两边同时立方，不等号方向不变，得：
$ x ＞ 2^3 = 8 $
2. 根据“平方根比4小”，这里的平方根指算术平方根（负数无平方根，且$ x $为正偶数），可得：
$ \sqrt{x} ＜ 4 $
两边同时平方，不等号方向不变，得：
$ x ＜ 4^2 = 16 $
3. 综上可得$ x $的取值范围是$ 8 ＜ x ＜ 16 $，结合$ x $是偶数的条件，符合要求的数为10、12、14。
【答案】
10或12或14
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，偶数的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心是将文字表述的大小关系转化为数学不等式确定数的范围，再结合限定条件筛选结果，解题时要注意平方根的非负性，避免范围判断错误。
【难度系数】
0.8
15. 小明在学完立方根后研究了以下问题:如何求出－50 653 的立方根? 他进行了如下步骤.
①估算:因为 $10^3 = 1\ 000,100^3 = 1\ 000\ 000$,所以$\sqrt[3]{50\ 653}$是两位数;
②观察立方数:$1^3 = 1,2^3 = 8,3^3 = 27,4^3 = 64,5^3 = 125,6^3 = 216,7^3 = 343,8^3 = 512,9^3 = 729$.猜想$\sqrt[3]{50\ 653}$的个位数字是7;
③接着将 50 653 往左移动 3 位小数点后约为 51,因为 $3^3 = 27,4^3 = 64$,所以$\sqrt[3]{50\ 653}$的十位数字应为 3,于是猜想$\sqrt[3]{50\ 653} = 37$,验证得 50 653 的立方根是 37;
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到$\sqrt[3]{-50\ 653} = -37$,同时发现结论:若两个数互为相反数,则这两个数的立方根也互为相反数;反之也成立.
请你根据小明的方法和结论,回答下列问题:
(1)$\sqrt[3]{-117\ 649} = \_\_\_\_\_\_$.
(2)若$\sqrt[3]{1 - 2x} + \sqrt[3]{5} = 0$,则$x = \_\_\_\_\_\_$.
(3)已知$\sqrt[3]{x - 2} + 2 = x$,且$\sqrt[3]{3y - 1}$与$\sqrt[3]{1 - 2x}$互为相反数,求$x,y$的值.
①估算:因为 $10^3 = 1\ 000,100^3 = 1\ 000\ 000$,所以$\sqrt[3]{50\ 653}$是两位数;
②观察立方数:$1^3 = 1,2^3 = 8,3^3 = 27,4^3 = 64,5^3 = 125,6^3 = 216,7^3 = 343,8^3 = 512,9^3 = 729$.猜想$\sqrt[3]{50\ 653}$的个位数字是7;
③接着将 50 653 往左移动 3 位小数点后约为 51,因为 $3^3 = 27,4^3 = 64$,所以$\sqrt[3]{50\ 653}$的十位数字应为 3,于是猜想$\sqrt[3]{50\ 653} = 37$,验证得 50 653 的立方根是 37;
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到$\sqrt[3]{-50\ 653} = -37$,同时发现结论:若两个数互为相反数,则这两个数的立方根也互为相反数;反之也成立.
请你根据小明的方法和结论,回答下列问题:
(1)$\sqrt[3]{-117\ 649} = \_\_\_\_\_\_$.
(2)若$\sqrt[3]{1 - 2x} + \sqrt[3]{5} = 0$,则$x = \_\_\_\_\_\_$.
(3)已知$\sqrt[3]{x - 2} + 2 = x$,且$\sqrt[3]{3y - 1}$与$\sqrt[3]{1 - 2x}$互为相反数,求$x,y$的值.
答案
15.解:(1)$-49$ (2)$3$
(3)$\because \sqrt[3]{x-2}+2=x,\therefore \sqrt[3]{x-2}=x-2$,
$\therefore x-2=0$ 或 $x-2=-1$ 或 $x-2=1$,解得$x=2$ 或 1 或 3.
$\because \sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数,
$\therefore 3y-1=2x-1$,即
当 $x=2$ 时,$3y-1=3$,解得 $y=\frac{4}{3}$;
当 $x=1$ 时,$3y-1=1$,解得 $y=\frac{2}{3}$;
当 $x=3$ 时,$3y-1=5$,解得 $y=2$.
(3)$\because \sqrt[3]{x-2}+2=x,\therefore \sqrt[3]{x-2}=x-2$,
$\therefore x-2=0$ 或 $x-2=-1$ 或 $x-2=1$,解得$x=2$ 或 1 或 3.
$\because \sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数,
$\therefore 3y-1=2x-1$,即
当 $x=2$ 时,$3y-1=3$,解得 $y=\frac{4}{3}$;
当 $x=1$ 时,$3y-1=1$,解得 $y=\frac{2}{3}$;
当 $x=3$ 时,$3y-1=5$,解得 $y=2$.
解析
【分析】
(1) 求$\sqrt[3]{-117649}$可先求117649的立方根，再结合负数立方根的性质得结果：首先判断$\sqrt[3]{117649}$是两位数，再根据立方数的个位特征确定个位数字，接着左移三位确定十位数字即可。
(2) 依据题中结论“两个立方根互为相反数，则被开方数也互为相反数”列方程，求解即可得到x的值。
(3) 先对$\sqrt[3]{x-2}+2=x$移项，结合“立方根等于本身的数有0、1、-1”求出x的所有可能值；再根据立方根互为相反数时被开方数互为相反数，得到y与x的关系，代入x的值即可求出对应y的值。
【解析】
(1) 先计算$\sqrt[3]{117649}$：
∵$10^3=1000$，$100^3=1000000$，$1000＜117649＜1000000$，
∴$\sqrt[3]{117649}$是两位数；
观察立方数个位，只有$9^3=729$的个位是9，因此$\sqrt[3]{117649}$的个位数字是9；
将117649左移3位得到117，
∵$4^3=64$，$5^3=125$，$64＜117＜125$，
∴十位数字是4，即$\sqrt[3]{117649}=49$，
∴$\sqrt[3]{-117649}=-49$。
(2) 由$\sqrt[3]{1 - 2x} + \sqrt[3]{5} = 0$可得$\sqrt[3]{1 - 2x}=-\sqrt[3]{5}$，根据题中结论得：
$1-2x=-5$，
解得$x=3$。
(3) 对$\sqrt[3]{x - 2} + 2 = x$移项得$\sqrt[3]{x - 2}=x-2$，
∵立方根等于本身的数为0、1、-1，
∴$x-2=0$或$x-2=1$或$x-2=-1$，解得$x=2$或$x=3$或$x=1$。
∵$\sqrt[3]{3y - 1}$与$\sqrt[3]{1 - 2x}$互为相反数，
∴$3y-1 + (1-2x)=0$，整理得$3y=2x$。
当$x=2$时，$3y=4$，解得$y=\frac{4}{3}$；
当$x=1$时，$3y=2$，解得$y=\frac{2}{3}$；
当$x=3$时，$3y=6$，解得$y=2$。
【答案】
(1)$-49$
(2)$3$
(3)$x$的值为1或2或3，对应$y$的值为$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$或2
【知识点】
立方根的性质，相反数的性质，一元一次方程的解法
【点评】
本题结合探究材料考查立方根的实际应用，需要充分利用题干给出的方法和结论解题，注意立方根等于本身的数有3个，求解时不要出现漏解的问题。
【难度系数】
0.65
(1) 求$\sqrt[3]{-117649}$可先求117649的立方根，再结合负数立方根的性质得结果：首先判断$\sqrt[3]{117649}$是两位数，再根据立方数的个位特征确定个位数字，接着左移三位确定十位数字即可。
(2) 依据题中结论“两个立方根互为相反数，则被开方数也互为相反数”列方程，求解即可得到x的值。
(3) 先对$\sqrt[3]{x-2}+2=x$移项，结合“立方根等于本身的数有0、1、-1”求出x的所有可能值；再根据立方根互为相反数时被开方数互为相反数，得到y与x的关系，代入x的值即可求出对应y的值。
【解析】
(1) 先计算$\sqrt[3]{117649}$：
∵$10^3=1000$，$100^3=1000000$，$1000＜117649＜1000000$，
∴$\sqrt[3]{117649}$是两位数；
观察立方数个位，只有$9^3=729$的个位是9，因此$\sqrt[3]{117649}$的个位数字是9；
将117649左移3位得到117，
∵$4^3=64$，$5^3=125$，$64＜117＜125$，
∴十位数字是4，即$\sqrt[3]{117649}=49$，
∴$\sqrt[3]{-117649}=-49$。
(2) 由$\sqrt[3]{1 - 2x} + \sqrt[3]{5} = 0$可得$\sqrt[3]{1 - 2x}=-\sqrt[3]{5}$，根据题中结论得：
$1-2x=-5$，
解得$x=3$。
(3) 对$\sqrt[3]{x - 2} + 2 = x$移项得$\sqrt[3]{x - 2}=x-2$，
∵立方根等于本身的数为0、1、-1，
∴$x-2=0$或$x-2=1$或$x-2=-1$，解得$x=2$或$x=3$或$x=1$。
∵$\sqrt[3]{3y - 1}$与$\sqrt[3]{1 - 2x}$互为相反数，
∴$3y-1 + (1-2x)=0$，整理得$3y=2x$。
当$x=2$时，$3y=4$，解得$y=\frac{4}{3}$；
当$x=1$时，$3y=2$，解得$y=\frac{2}{3}$；
当$x=3$时，$3y=6$，解得$y=2$。
【答案】
(1)$-49$
(2)$3$
(3)$x$的值为1或2或3，对应$y$的值为$\frac{2}{3}$或$\frac{4}{3}$或2
【知识点】
立方根的性质，相反数的性质，一元一次方程的解法
【点评】
本题结合探究材料考查立方根的实际应用，需要充分利用题干给出的方法和结论解题，注意立方根等于本身的数有3个，求解时不要出现漏解的问题。
【难度系数】
0.65
