1 [2025 扬州江都期末]如图，小明用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，使斜边 DF 保持水平，且边 DE 与点 B 在同一条直线上。已知直角三角形纸板的两条直角边 DE=60 cm，EF=30 cm，测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5 m，CD=10 m，则树高 AB 为 （）

A.4 m
B.5 m
C.5.5 m
D.6.5 m

1. D

【分析】
要计算树高AB，首先可通过图形特征判断△DEF和△DCB相似：两个三角形有公共角∠D，且都包含直角，符合相似三角形的判定条件。利用相似三角形对应边成比例可求出BC的长度，再加上DF离地面的高度AC，即可得到最终的树高，计算前需先统一长度单位。
【解析】
先统一单位：$DE=60\ \mathrm{cm}=0.6\ \mathrm{m}$，$EF=30\ \mathrm{cm}=0.3\ \mathrm{m}$。
在$△ DEF$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}∠ D=∠ D \\∠ DEF=∠ DCB=90°\end{cases}$
$\therefore△ DEF∽△ DCB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{BC}$。
代入已知数值$DE=0.6\ \mathrm{m}$，$DC=10\ \mathrm{m}$，$EF=0.3\ \mathrm{m}$：
$\frac{0.6}{10}=\frac{0.3}{BC}$，解得$BC=5\ \mathrm{m}$。
树高$AB=AC+BC=1.5+5=6.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的典型题型，解题核心是准确找到对应相似的三角形，计算时要注意统一单位，最终求树高时不要遗漏观测点到地面的高度。
【难度系数】
0.7

2 [2025绵阳]如图,小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量.他准备了一根竹竿,将竹竿垂直固定于离大树10 m远的C处,然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由点C后退2 m至点A时,看大树顶部F的视线恰好经过竹竿的顶端D,测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6 m,竹竿CD的长为3 m,则大树的高度EF为 m.

2. 10

【分析】
本题是利用相似三角形测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先观察到观测者身高AB、竹竿CD、大树EF都垂直于水平地面，因此三条线段互相平行，视线B-D-F共线，我们可以过点B作水平线段垂直于EF，交CD、EF于两点，即可构造出一对相似三角形，同时得到多个矩形，利用矩形性质得到对应水平线段和竖直线段的长度，再根据相似三角形对应边成比例列方程，求出大树高出观测者身高的部分，最后加上观测者身高即可得到大树总高度。
【解析】
解：过点B作BN⊥EF于点N，交CD于点M。
∵AB⊥AE，CD⊥AE，EF⊥AE，
∴AB//CD//EF，
∴四边形ABMC、ABNE、CMNE均为矩形，
∴BM=AC=2m，MN=CE=10m，CM=EN=AB=1.6m，
∴DM=CD - CM = 3m - 1.6m = 1.4m，BN=BM + MN = 2m + 10m = 12m。
∵CD//EF，
∴△BMD∽△BNF，
∴$\frac{DM}{FN}=\frac{BM}{BN}$，
代入数值可得$\frac{1.4}{FN}=\frac{2}{12}$，
解得$FN=8.4$m，
∴EF=FN + EN = 8.4m + 1.6m = 10m。
【答案】
10
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形测高
【点评】
本题属于相似三角形的实际应用基础题，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，将实际测量问题转化为几何比例计算问题，能很好地考查学生建立数学模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

3 [2025泰安泰山期末]小明想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:如图,小明边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得小明落在墙上的影子高度$CD = 1.3\ \mathrm{m}$,$CE = 0.8\ \mathrm{m}$,$CA = 30\ \mathrm{m}$(点$A,E,C$在同一条直线上).已知小明的身高$EF$是$1.85\ \mathrm{m}$,求楼高$AB$(结果精确到$0.1\ \mathrm{m}$).

3. 如图,过点 D 作 DG⊥AB,交 AB 于点 G,交 EF 于点 H.由题意可知,四边形 ACDG、四边形 HECD 都是矩形,EF = 1.85 m,则 GD = CA = 30 m,HD = CE = 0.8 m,AG = HE = CD = 1.3 m,AB//EF.
∴ FH = EF - HE = 1.85 - 1.3 = 0.55(m).
∵ AB//EF,
∴ 易得△BGD∽△FHD.
∴ $\frac{BG}{FH}=\frac{GD}{HD}$,即$\frac{BG}{0.55}=\frac{30}{0.8}$.
∴ BG≈20.6 m.
∴ AB = AG + BG = 1.3 + 20.6 = 21.9(m),即楼高 AB 约为 21.9 m

【分析】
这是利用平行投影结合相似三角形测量楼高的实际应用问题，解题思路如下：首先处理墙上的影子长度，通过作水平辅助线构造矩形和相似三角形，借助矩形的性质得到已知的水平、竖直线段长度；再利用平行线的性质得到两个相似三角形，根据相似三角形对应边成比例求出楼高超出影子高度的部分，最后加上影子高度即可得到总楼高。
【解析】
过点 D 作 DG⊥AB，交 AB 于点 G，交 EF 于点 H。
由题意可知，四边形ACDG、四边形HECD都是矩形，$EF = 1.85\ \mathrm{m}$，
∴ $GD = CA = 30\ \mathrm{m}$，$HD = CE = 0.8\ \mathrm{m}$，$AG = HE = CD = 1.3\ \mathrm{m}$，$AB// EF$。
∴ $FH = EF - HE = 1.85 - 1.3 = 0.55(\mathrm{m})$。
∵ $AB// EF$，
∴ $∠ BGD = ∠ FHD = 90°$，$∠ BDG = ∠ FDH$，
∴ $△ BGD ∽ △ FHD$。
∴ $\frac{BG}{FH}=\frac{GD}{HD}$，即$\frac{BG}{0.55}=\frac{30}{0.8}$，
解得 $BG=\frac{30×0.55}{0.8}=20.625\approx20.6\ \mathrm{m}$。
∴ $AB = AG + BG = 1.3 + 20.625\approx21.9(\mathrm{m})$。
【答案】
楼高AB约为21.9 m

【知识点】
相似三角形的应用，矩形的性质，平行投影
【点评】
本题是利用相似三角形测高的典型题型，解题的关键是通过作辅助线将有墙面遮挡的投影问题转化为常规的相似三角形模型，结合矩形性质梳理各线段的数量关系，利用相似三角形对应边成比例求解，解题时需注意找准相似三角形的对应边，避免数据代入错误。
【难度系数】
0.7

4 雨过天晴，小李跑到室外呼吸新鲜空气，广场上点E处有一处积水。如图，小李站在距积水2米的点D处，他正好从水面上看到前方距他10米的一棵树的顶端A的倒影。已知点D，E，B在同一条直线上，AB⊥BD，CD⊥BD，小李的眼睛到地面的距离CD为1.6米，求树AB的高(∠CED=∠AEB，积水水面大小忽略不计)。

4. 由题意,得∠CDE = ∠ABE = 90°,∠CED = ∠AEB.
∴ △CDE∽△ABE.
∴ $\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$.
∵ CD = 1.6 米,DE = 2 米,BE = 10 - 2 = 8(米),
∴ AB = 6.4 米.
∴ 树 AB 的高是 6.4 米

【分析】
遇到这类利用光的反射测高度的实际问题，我们可以优先用相似三角形的相关知识解题。首先观察已知条件：CD⊥BD、AB⊥BD，可得到两个相等的直角，再结合题目给出的∠CED=∠AEB，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，即可得到△CDE和△ABE相似。接下来利用相似三角形对应边成比例的性质，找准各对应边的已知长度代入比例式就能求出树高AB，其中要注意BE的长度是小李到树的总距离DB减去DE的长度。
【解析】
解：由题意得∠CDE = ∠ABE = 90°，
又
∵∠CED = ∠AEB，
∴△CDE∽△ABE（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质可得$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{BE}$。
已知CD=1.6米，DE=2米，小李距树的距离DB=10米，
∴BE=DB-DE=10-2=8（米），
将数值代入比例式：$\frac{1.6}{AB}=\frac{2}{8}$，
解得$AB=\frac{1.6×8}{2}=6.4$（米）。
【答案】
树AB的高是6.4米。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的基础应用，解题核心是准确识别出符合判定条件的相似三角形，理清各对应边的数量关系后代入计算即可，注意不要混淆对应边的长度。
【难度系数】
0.7