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5 如图，某大道旁有一根电线杆AB和一块矩形广告牌HCDF，某天在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而矩形广告牌端点F的影子刚好落在地面上的点E处。已知BC=5米，矩形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是
（第5题）
8.25
米。（第5题）答案
5. 8.25
解析
【分析】
本题是平行投影下的测高问题，解题思路如下：首先太阳光线为平行光线，因此AG//FE；其次通过作辅助线构造直角三角形，结合矩形的性质得到相关线段的长度，再利用平行关系得到相等的角，证明两个直角三角形相似，最后根据相似三角形对应边成比例求出电线杆高出广告牌的高度，加上广告牌的高度即可得到AB的总高度。
【解析】
过点G作GM⊥AB，垂足为M。
∵四边形HCDF是矩形，G为HF的中点，HF=4米，HC=3米，
∴BM=HC=3米，CD=HF=4米，$HG=\frac{1}{2}HF=2$米，
∴$GM=BC+HG=5+2=7$米，且$∠ AMG=∠ FDE=90°$。
∵太阳光线互相平行，
∴$AG// FE$，
又
∵$GM// BE$，
∴$∠ AGM=∠ FED$，
∴$△ AMG ∽ △ FDE$。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{AM}{FD}=\frac{GM}{DE}$
代入FD=3米，GM=7米，DE=4米，得：
$\frac{AM}{3}=\frac{7}{4}$
解得$AM=\frac{21}{4}=5.25$米。
∴$AB=AM+BM=5.25+3=8.25$米。
【答案】
8.25
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影，矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的核心是通过作辅助线构造相似三角形，结合已知图形的性质转化线段长度，需要学生掌握平行投影的特点和相似三角形的判定及性质。
【难度系数】
0.65
本题是平行投影下的测高问题，解题思路如下：首先太阳光线为平行光线，因此AG//FE；其次通过作辅助线构造直角三角形，结合矩形的性质得到相关线段的长度，再利用平行关系得到相等的角，证明两个直角三角形相似，最后根据相似三角形对应边成比例求出电线杆高出广告牌的高度，加上广告牌的高度即可得到AB的总高度。
【解析】
过点G作GM⊥AB，垂足为M。
∵四边形HCDF是矩形，G为HF的中点，HF=4米，HC=3米，
∴BM=HC=3米，CD=HF=4米，$HG=\frac{1}{2}HF=2$米，
∴$GM=BC+HG=5+2=7$米，且$∠ AMG=∠ FDE=90°$。
∵太阳光线互相平行，
∴$AG// FE$，
又
∵$GM// BE$，
∴$∠ AGM=∠ FED$，
∴$△ AMG ∽ △ FDE$。
根据相似三角形对应边成比例，得：
$\frac{AM}{FD}=\frac{GM}{DE}$
代入FD=3米，GM=7米，DE=4米，得：
$\frac{AM}{3}=\frac{7}{4}$
解得$AM=\frac{21}{4}=5.25$米。
∴$AB=AM+BM=5.25+3=8.25$米。
【答案】
8.25
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影，矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的核心是通过作辅助线构造相似三角形，结合已知图形的性质转化线段长度，需要学生掌握平行投影的特点和相似三角形的判定及性质。
【难度系数】
0.65
6 小安和小智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度,测量方案如下:如图,小安位于小智和古塔之间,直线 BM 上平放一平面镜,在镜面上做一个标记,记为点 C,平面镜不动,小安看着镜面上的标记来回走动,走到点 D 时,看到塔顶端点 A 在镜面中的像与镜面上的标记重合,此时测得小安眼睛与地面的高度 ED=1.6米,CD=2.8米.同时,在阳光下,古塔 AB 的影子与小智的影子顶端 H 恰好重合,测得小智的身高 FG 为 1.8 米,影长 FH 为 3.6 米.已知 $AB ⊥ BM,ED ⊥ BM,GF ⊥ BM,DH=21.2$ 米,A,H,G 三点共线,且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计.求古塔 AB 的高度.
答案
6. 连接 CE.
∵ DH = 21.2 米,CD = 2.8 米,
∴ CH = CD + DH = 24 米.
∵ AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM,
∴ FG//AB,∠ABC = ∠CDE = 90°.
∵ ∠ACB = ∠DCE,
∴ △ABC∽△EDC.
∴ $\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$.
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{ED}{DC}=\frac{1.6}{2.8}=\frac{4}{7}$. 设 AB = 4x 米,则 BC = 7x 米.
∵ FG//AB,
∴ 易得△HFG∽△HBA.
∴ $\frac{FG}{BA}=\frac{FH}{BH}$.
∴ $\frac{1.8}{4x}=\frac{3.6}{7x+24}$.
∴ x = 24.
∴ 4x = 96,即古塔 AB 的高度为 96 米
∵ DH = 21.2 米,CD = 2.8 米,
∴ CH = CD + DH = 24 米.
∵ AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM,
∴ FG//AB,∠ABC = ∠CDE = 90°.
∵ ∠ACB = ∠DCE,
∴ △ABC∽△EDC.
∴ $\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$.
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{ED}{DC}=\frac{1.6}{2.8}=\frac{4}{7}$. 设 AB = 4x 米,则 BC = 7x 米.
∵ FG//AB,
∴ 易得△HFG∽△HBA.
∴ $\frac{FG}{BA}=\frac{FH}{BH}$.
∴ $\frac{1.8}{4x}=\frac{3.6}{7x+24}$.
∴ x = 24.
∴ 4x = 96,即古塔 AB 的高度为 96 米
解析
【分析】
本题需利用相似三角形的性质求解古塔高度，解题思路如下：首先，根据平面镜反射的性质可得对应角相等，结合AB、ED均垂直于地面，可证明△ABC与△EDC相似，得到AB与BC的比值关系；其次，阳光下的影子属于平行投影，FG与AB平行，可证明△HFG与△HBA相似；最后将AB、BC用含同一未知数的式子表示，代入第二个相似三角形的比例关系中列方程求解即可。
【解析】
连接CE。
∵ DH = 21.2 米，CD = 2.8 米，
∴ CH = CD + DH = 2.8 + 21.2 = 24 米。
∵ AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，
∴ ∠ABC = ∠CDE = ∠HFG = ∠HBA = 90°，且FG//AB。
根据平面镜反射原理，入射角等于反射角，可得∠ACB = ∠DCE，
∴ △ABC∽△EDC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$，即 $\frac{AB}{BC}=\frac{ED}{DC}=\frac{1.6}{2.8}=\frac{4}{7}$。
设 AB = 4x 米，则 BC = 7x 米，BH = BC + CH = 7x + 24 米。
∵ FG//AB，
∴ △HFG∽△HBA（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{FG}{BA}=\frac{FH}{BH}$，
代入已知数据得：$\frac{1.8}{4x}=\frac{3.6}{7x+24}$，
交叉相乘得：$3.6×4x = 1.8×(7x + 24)$，
化简得：$14.4x = 12.6x + 43.2$，
移项计算得：$1.8x = 43.2$，解得x = 24。
∴ AB = 4x = 4×24 = 96 米。
【答案】
96米
【知识点】
相似三角形的应用；平行投影的性质；镜面反射的性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了相似三角形在高度测量中的应用，需要学生能从实际问题中抽象出几何模型，准确找到相似三角形、理清各线段的数量关系，通过设参数列方程的方法求解，能很好地锻炼学生的知识应用能力和建模能力。
【难度系数】
0.6
本题需利用相似三角形的性质求解古塔高度，解题思路如下：首先，根据平面镜反射的性质可得对应角相等，结合AB、ED均垂直于地面，可证明△ABC与△EDC相似，得到AB与BC的比值关系；其次，阳光下的影子属于平行投影，FG与AB平行，可证明△HFG与△HBA相似；最后将AB、BC用含同一未知数的式子表示，代入第二个相似三角形的比例关系中列方程求解即可。
【解析】
连接CE。
∵ DH = 21.2 米，CD = 2.8 米，
∴ CH = CD + DH = 2.8 + 21.2 = 24 米。
∵ AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，
∴ ∠ABC = ∠CDE = ∠HFG = ∠HBA = 90°，且FG//AB。
根据平面镜反射原理，入射角等于反射角，可得∠ACB = ∠DCE，
∴ △ABC∽△EDC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$，即 $\frac{AB}{BC}=\frac{ED}{DC}=\frac{1.6}{2.8}=\frac{4}{7}$。
设 AB = 4x 米，则 BC = 7x 米，BH = BC + CH = 7x + 24 米。
∵ FG//AB，
∴ △HFG∽△HBA（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{FG}{BA}=\frac{FH}{BH}$，
代入已知数据得：$\frac{1.8}{4x}=\frac{3.6}{7x+24}$，
交叉相乘得：$3.6×4x = 1.8×(7x + 24)$，
化简得：$14.4x = 12.6x + 43.2$，
移项计算得：$1.8x = 43.2$，解得x = 24。
∴ AB = 4x = 4×24 = 96 米。
【答案】
96米
【知识点】
相似三角形的应用；平行投影的性质；镜面反射的性质
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了相似三角形在高度测量中的应用，需要学生能从实际问题中抽象出几何模型，准确找到相似三角形、理清各线段的数量关系，通过设参数列方程的方法求解，能很好地锻炼学生的知识应用能力和建模能力。
【难度系数】
0.6
7 [2025巴中期末]热爱足球的小明对球门的高度萌生了探究欲，趁着赛前球员热身训练的间隙，开启了对球门的测量实践（参考数据：国际上，标准十一人制足球比赛球门的高度为2.44米）。
（1）测量一：如图①，小明从球门AB后退24步到点M处，将随身所带的一面小镜子平放在地面上的点M处，继续后退直到他在镜子中刚好看到球门横梁下沿A时停止，此时他共后退了39步。已知小明眼睛离地面的高度EF=1.5米，求球门AB的高度。
（2）测量二：如图②，小明的爸爸从球门A'B'后退20步到点C处站立不动，小明从点C继续后退5步到点E'处（点B',C,E'在同一条直线上），此时小明的眼睛F'、爸爸的头顶D、球门横梁下沿A'三点共线。已知小明爸爸的身高CD=1.7米，小明眼睛离地面的高度E'F'=1.5米，求球门A'B'的高度。
（3）根据（1）（2）的计算结果，请计算球门高度的平均值，并对照参考值说明小明的测量方案是否合理。
（1）测量一：如图①，小明从球门AB后退24步到点M处，将随身所带的一面小镜子平放在地面上的点M处，继续后退直到他在镜子中刚好看到球门横梁下沿A时停止，此时他共后退了39步。已知小明眼睛离地面的高度EF=1.5米，求球门AB的高度。
（2）测量二：如图②，小明的爸爸从球门A'B'后退20步到点C处站立不动，小明从点C继续后退5步到点E'处（点B',C,E'在同一条直线上），此时小明的眼睛F'、爸爸的头顶D、球门横梁下沿A'三点共线。已知小明爸爸的身高CD=1.7米，小明眼睛离地面的高度E'F'=1.5米，求球门A'B'的高度。
（3）根据（1）（2）的计算结果，请计算球门高度的平均值，并对照参考值说明小明的测量方案是否合理。
答案
7. (1) 由题意知,∠ABM = ∠FEM = 90°,∠EMF = ∠BMA,
∴ △ABM∽△FEM.
∴ $\frac{AB}{FE}=\frac{BM}{EM}$. 设 BM = 24x 米,则 BE = 39x 米,
∴ EM = 39x - 24x = 15x (米).
∵ EF = 1.5 米,
∴ $\frac{AB}{1.5}=\frac{24x}{15x}$.
∴ AB = 2.4 米,即球门 AB 的高度为 2.4 米
(2) 如图,连接 A'E'交 CD 于点 Q. 由题意知,A'B'//DC//E'F',
∴ $\frac{F'D}{A'D}=\frac{E'C}{B'C}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$. 易得△E'QC∽△E'A'B',△A'DQ∽△A'F'E'.
∴ $\frac{DQ}{F'E'}=\frac{A'D}{A'F'}=\frac{4}{5}$,$\frac{A'B'}{QC}=\frac{E'B'}{E'C}=5$.
∵ CD = 1.7 米,E'F' = 1.5 米,
∴ $\frac{DQ}{1.5}=\frac{4}{5}$.
∴ DQ = 1.2 米.
∴ QC = DC - DQ = 0.5 米.
∴ $\frac{A'B'}{0.5}=5$.
∴ A'B' = 2.5 米,即球门 A'B' 的高度为 2.5 米
(3) $\frac{2.4+2.5}{2}=2.45$(米).
∵ 国际上,标准十一人制足球比赛球门的高度为 2.44 米,2.45 与 2.44 非常接近,
∴ 小明的测量方案合理
解析
【分析】
（1）第一问利用镜面反射原理可得对应角相等，结合竖直物体与地面垂直的条件，可证明两个直角三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例，结合步数的比值即可求出门的高度，每步长度相同，计算时步长可约去。
（2）第二问中三条竖直高度均垂直于地面，因此互相平行，可得到多组相似三角形，先根据步数得到对应线段的比例关系，再结合已知身高逐步求解，最终得出门的高度。
（3）第三问计算两次测量结果的算术平均数，和标准球门高度对比，若误差较小则说明测量方案合理。
【解析】
（1）由题意得：$∠ ABM = ∠ FEM = 90°$，根据镜面反射规律，入射角等于反射角，因此$∠ EMF = ∠ BMA$，可得$△ ABM ∽ △ FEM$。
根据相似三角形性质，$\frac{AB}{FE}=\frac{BM}{EM}$。设每步长度为$x$米，则$BM=24x$米，$EM=(39-24)x=15x$米，代入$EF=1.5$米得：
$\frac{AB}{1.5}=\frac{24x}{15x}$，约去$x$后解得$AB=2.4$米。
（2）连接$A'E'$交$CD$于点$Q$，由题意得$A'B'⊥ B'E'$，$DC⊥ B'E'$，$E'F'⊥ B'E'$，因此$A'B'// DC// E'F'$。
根据平行线分线段成比例得$\frac{F'D}{A'D}=\frac{E'C}{B'C}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$，因此$\frac{A'D}{A'F'}=\frac{4}{5}$，$\frac{E'B'}{E'C}=\frac{20+5}{5}=5$。
易证$△ A'DQ ∽ △ A'F'E'$，$△ E'QC ∽ △ E'A'B'$，因此$\frac{DQ}{F'E'}=\frac{A'D}{A'F'}=\frac{4}{5}$，$\frac{A'B'}{QC}=\frac{E'B'}{E'C}=5$。
代入$E'F'=1.5$米得$\frac{DQ}{1.5}=\frac{4}{5}$，解得$DQ=1.2$米，因此$QC=CD-DQ=1.7-1.2=0.5$米。
再代入$\frac{A'B'}{0.5}=5$，解得$A'B'=2.5$米。
（3）两次测量高度的平均值为$\frac{2.4+2.5}{2}=2.45$米，与标准球门高度2.44米相差极小，因此测量方案合理。
【答案】
7. (1) 由题意知,∠ABM = ∠FEM = 90°,∠EMF = ∠BMA,
∴ △ABM∽△FEM.
∴ $\frac{AB}{FE}=\frac{BM}{EM}$. 设 BM = 24x 米,则 BE = 39x 米,
∴ EM = 39x - 24x = 15x (米).
∵ EF = 1.5 米,
∴ $\frac{AB}{1.5}=\frac{24x}{15x}$.
∴ AB = 2.4 米,即球门 AB 的高度为 2.4 米
(2) 如图,连接 A'E'交 CD 于点 Q. 由题意知,A'B'//DC//E'F',
∴ $\frac{F'D}{A'D}=\frac{E'C}{B'C}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$. 易得△E'QC∽△E'A'B',△A'DQ∽△A'F'E'.
∴ $\frac{DQ}{F'E'}=\frac{A'D}{A'F'}=\frac{4}{5}$,$\frac{A'B'}{QC}=\frac{E'B'}{E'C}=5$.
∵ CD = 1.7 米,E'F' = 1.5 米,
∴ $\frac{DQ}{1.5}=\frac{4}{5}$.
∴ DQ = 1.2 米.
∴ QC = DC - DQ = 0.5 米.
∴ $\frac{A'B'}{0.5}=5$.
∴ A'B' = 2.5 米,即球门 A'B' 的高度为 2.5 米
(3) $\frac{2.4+2.5}{2}=2.45$(米).
∵ 国际上,标准十一人制足球比赛球门的高度为 2.44 米,2.45 与 2.44 非常接近,
∴ 小明的测量方案合理
【知识点】
相似三角形的应用，平行线分线段成比例，平均数计算
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了相似三角形在高度测量中的应用，要求学生能从实际问题中抽象出几何模型，灵活运用相似三角形的判定与性质解题，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
（1）第一问利用镜面反射原理可得对应角相等，结合竖直物体与地面垂直的条件，可证明两个直角三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例，结合步数的比值即可求出门的高度，每步长度相同，计算时步长可约去。
（2）第二问中三条竖直高度均垂直于地面，因此互相平行，可得到多组相似三角形，先根据步数得到对应线段的比例关系，再结合已知身高逐步求解，最终得出门的高度。
（3）第三问计算两次测量结果的算术平均数，和标准球门高度对比，若误差较小则说明测量方案合理。
【解析】
（1）由题意得：$∠ ABM = ∠ FEM = 90°$，根据镜面反射规律，入射角等于反射角，因此$∠ EMF = ∠ BMA$，可得$△ ABM ∽ △ FEM$。
根据相似三角形性质，$\frac{AB}{FE}=\frac{BM}{EM}$。设每步长度为$x$米，则$BM=24x$米，$EM=(39-24)x=15x$米，代入$EF=1.5$米得：
$\frac{AB}{1.5}=\frac{24x}{15x}$，约去$x$后解得$AB=2.4$米。
（2）连接$A'E'$交$CD$于点$Q$，由题意得$A'B'⊥ B'E'$，$DC⊥ B'E'$，$E'F'⊥ B'E'$，因此$A'B'// DC// E'F'$。
根据平行线分线段成比例得$\frac{F'D}{A'D}=\frac{E'C}{B'C}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$，因此$\frac{A'D}{A'F'}=\frac{4}{5}$，$\frac{E'B'}{E'C}=\frac{20+5}{5}=5$。
易证$△ A'DQ ∽ △ A'F'E'$，$△ E'QC ∽ △ E'A'B'$，因此$\frac{DQ}{F'E'}=\frac{A'D}{A'F'}=\frac{4}{5}$，$\frac{A'B'}{QC}=\frac{E'B'}{E'C}=5$。
代入$E'F'=1.5$米得$\frac{DQ}{1.5}=\frac{4}{5}$，解得$DQ=1.2$米，因此$QC=CD-DQ=1.7-1.2=0.5$米。
再代入$\frac{A'B'}{0.5}=5$，解得$A'B'=2.5$米。
（3）两次测量高度的平均值为$\frac{2.4+2.5}{2}=2.45$米，与标准球门高度2.44米相差极小，因此测量方案合理。
【答案】
7. (1) 由题意知,∠ABM = ∠FEM = 90°,∠EMF = ∠BMA,
∴ △ABM∽△FEM.
∴ $\frac{AB}{FE}=\frac{BM}{EM}$. 设 BM = 24x 米,则 BE = 39x 米,
∴ EM = 39x - 24x = 15x (米).
∵ EF = 1.5 米,
∴ $\frac{AB}{1.5}=\frac{24x}{15x}$.
∴ AB = 2.4 米,即球门 AB 的高度为 2.4 米
(2) 如图,连接 A'E'交 CD 于点 Q. 由题意知,A'B'//DC//E'F',
∴ $\frac{F'D}{A'D}=\frac{E'C}{B'C}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$. 易得△E'QC∽△E'A'B',△A'DQ∽△A'F'E'.
∴ $\frac{DQ}{F'E'}=\frac{A'D}{A'F'}=\frac{4}{5}$,$\frac{A'B'}{QC}=\frac{E'B'}{E'C}=5$.
∵ CD = 1.7 米,E'F' = 1.5 米,
∴ $\frac{DQ}{1.5}=\frac{4}{5}$.
∴ DQ = 1.2 米.
∴ QC = DC - DQ = 0.5 米.
∴ $\frac{A'B'}{0.5}=5$.
∴ A'B' = 2.5 米,即球门 A'B' 的高度为 2.5 米
(3) $\frac{2.4+2.5}{2}=2.45$(米).
∵ 国际上,标准十一人制足球比赛球门的高度为 2.44 米,2.45 与 2.44 非常接近,
∴ 小明的测量方案合理
【知识点】
相似三角形的应用，平行线分线段成比例，平均数计算
【点评】
本题结合实际测量场景，考查了相似三角形在高度测量中的应用，要求学生能从实际问题中抽象出几何模型，灵活运用相似三角形的判定与性质解题，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
