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5 毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买礼品，每两名同学都相互赠送一件礼品，礼品店共售出礼品42件，则该兴趣小组有多少名同学？
答案
设该兴趣小组有x名同学,则每名同学需送出(x-1)件礼品.由题意,得x(x-1)=42,解得x₁=7,x₂=-6(不合题意,舍去).
∴该兴趣小组有7名同学
∴该兴趣小组有7名同学
解析
【分析】
解题时首先明确互赠礼品的数量逻辑：每两名同学相互赠送一件礼品，说明每名同学不需要给自己赠送礼品，因此每名同学送出的礼品数为总人数减1；由于甲赠乙与乙赠甲是两件不同的礼品，总礼品数无需除以2，直接等于总人数乘以单人送出的礼品数。我们可以设兴趣小组人数为x，结合总售出礼品42件列一元二次方程，求解后根据人数为正整数的实际意义舍去不合题意的根即可。
【解析】
设该兴趣小组有x名同学，则每名同学需送出$(x-1)$件礼品。
由题意得方程：
$x(x-1)=42$
整理得$x^2 - x - 42 = 0$
因式分解得$(x-7)(x+6)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$
因为人数不能为负数，所以$x_2=-6$不符合实际意义，舍去。
【答案】
该兴趣小组有7名同学
【知识点】
一元二次方程的应用；实际问题根的检验；列方程解应用题
【点评】
本题属于常见的生活实际应用题，解题关键是理清互赠类问题的数量关系，注意区分互赠问题和握手问题的计算差异，求解方程后必须结合实际场景验证解的合理性，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确互赠礼品的数量逻辑：每两名同学相互赠送一件礼品，说明每名同学不需要给自己赠送礼品，因此每名同学送出的礼品数为总人数减1；由于甲赠乙与乙赠甲是两件不同的礼品，总礼品数无需除以2，直接等于总人数乘以单人送出的礼品数。我们可以设兴趣小组人数为x，结合总售出礼品42件列一元二次方程，求解后根据人数为正整数的实际意义舍去不合题意的根即可。
【解析】
设该兴趣小组有x名同学，则每名同学需送出$(x-1)$件礼品。
由题意得方程：
$x(x-1)=42$
整理得$x^2 - x - 42 = 0$
因式分解得$(x-7)(x+6)=0$
解得$x_1=7$，$x_2=-6$
因为人数不能为负数，所以$x_2=-6$不符合实际意义，舍去。
【答案】
该兴趣小组有7名同学
【知识点】
一元二次方程的应用；实际问题根的检验；列方程解应用题
【点评】
本题属于常见的生活实际应用题，解题关键是理清互赠类问题的数量关系，注意区分互赠问题和握手问题的计算差异，求解方程后必须结合实际场景验证解的合理性，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
6 在一次活动中，每两人都只握一次手。如果一共握手 36 次，求参加活动的人数。
答案
设参加活动的人数为x.根据题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=36$.整理,得x²-x-72=0,解得x₁=9,x₂=-8(不合题意,舍去).
∴参加活动的人数为9
∴参加活动的人数为9
解析
【分析】
要解决握手问题，首先明确计数逻辑：若有x人参加活动，每个人会和其余(x-1)人握手，但每一次握手会被2个人各计数1次，存在重复计算，因此实际总握手次数应为总计数的$\frac{1}{2}$。接下来结合总握手次数为36次的条件列一元二次方程，解方程后结合“人数为正整数”的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设参加活动的人数为x.
根据题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
整理，得$x^2 - x - 72=0$
因式分解得$(x-9)(x+8)=0$，解得$x_1=9$，$x_2=-8$
由于人数不能为负数，$x_2=-8$不合题意，舍去。
【答案】9
【知识点】
一元二次方程应用，解一元二次方程，实际问题验根
【点评】
本题是握手类实际应用的典型题型，解题核心是理清握手次数的计数规则，避免重复计数，同时要结合实际场景的取值要求，对方程的根进行筛选，舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
要解决握手问题，首先明确计数逻辑：若有x人参加活动，每个人会和其余(x-1)人握手，但每一次握手会被2个人各计数1次，存在重复计算，因此实际总握手次数应为总计数的$\frac{1}{2}$。接下来结合总握手次数为36次的条件列一元二次方程，解方程后结合“人数为正整数”的实际要求舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
设参加活动的人数为x.
根据题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=36$
整理，得$x^2 - x - 72=0$
因式分解得$(x-9)(x+8)=0$，解得$x_1=9$，$x_2=-8$
由于人数不能为负数，$x_2=-8$不合题意，舍去。
【答案】9
【知识点】
一元二次方程应用，解一元二次方程，实际问题验根
【点评】
本题是握手类实际应用的典型题型，解题核心是理清握手次数的计数规则，避免重复计数，同时要结合实际场景的取值要求，对方程的根进行筛选，舍去不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
7 某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都比赛一场），计划安排15场比赛.
（1）应该邀请多少支球队参加比赛？
（2）若某支球队参加3场比赛后，因故不能参加后面的比赛，则实际共比赛多少场？
（1）应该邀请多少支球队参加比赛？
（2）若某支球队参加3场比赛后，因故不能参加后面的比赛，则实际共比赛多少场？
答案
(1) 设应该邀请x支球队参加比赛.由题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=15$,解得x₁=6,x₂=-5(不合题意,舍去).
∴应该邀请6支球队参加比赛
(2) $3+\frac{1}{2}×(6-1)×(6-2)=13$(场).
∴实际共比赛13场
∴应该邀请6支球队参加比赛
(2) $3+\frac{1}{2}×(6-1)×(6-2)=13$(场).
∴实际共比赛13场
解析
【分析】
（1）解决第一问的核心是明确单循环赛制的总场数计算规则：若有$x$支球队，每支球队需与其余$(x-1)$支球队各赛1场，但每场比赛会被两个球队各计算1次，因此总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合题目给出的总场数15，即可列出一元二次方程求解，注意球队数量为正整数，需舍去不符合实际意义的根。
（2）解决第二问的思路：首先某队已经参加的3场是已完成的有效比赛；该队退赛后，剩余的5支球队仍需按单循环赛制完成相互之间的所有比赛，算出剩余5队的单循环总场数，再加上已完成的3场，就是实际总比赛场数。
【解析】
（1）设应该邀请$x$支球队参加比赛。
由题意得单循环总场数满足：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理得$x^2-x-30=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-5$。
球队数量不能为负，故舍去$x_2=-5$。
（2）1支球队退赛后，剩余$6-1=5$支球队需进行单循环比赛，这5支球队的比赛场数为$\frac{1}{2}×(6-1)×(6-2)=10$场。
实际总场数为已完成的3场加剩余5队的比赛场数，即$3+10=13$场。
【答案】
(1) 应该邀请6支球队参加比赛；(2) 实际共比赛13场
【知识点】
一元二次方程应用，单循环赛计数
【点评】
本题结合体育赛制背景考查方程的实际应用，解题的关键是准确理解单循环赛制的计数规则，第二问需注意区分已完成赛事和剩余赛事的范围，避免多算或漏算场次。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问的核心是明确单循环赛制的总场数计算规则：若有$x$支球队，每支球队需与其余$(x-1)$支球队各赛1场，但每场比赛会被两个球队各计算1次，因此总场数为$\frac{1}{2}x(x-1)$。结合题目给出的总场数15，即可列出一元二次方程求解，注意球队数量为正整数，需舍去不符合实际意义的根。
（2）解决第二问的思路：首先某队已经参加的3场是已完成的有效比赛；该队退赛后，剩余的5支球队仍需按单循环赛制完成相互之间的所有比赛，算出剩余5队的单循环总场数，再加上已完成的3场，就是实际总比赛场数。
【解析】
（1）设应该邀请$x$支球队参加比赛。
由题意得单循环总场数满足：
$\frac{1}{2}x(x-1)=15$
整理得$x^2-x-30=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-5$。
球队数量不能为负，故舍去$x_2=-5$。
（2）1支球队退赛后，剩余$6-1=5$支球队需进行单循环比赛，这5支球队的比赛场数为$\frac{1}{2}×(6-1)×(6-2)=10$场。
实际总场数为已完成的3场加剩余5队的比赛场数，即$3+10=13$场。
【答案】
(1) 应该邀请6支球队参加比赛；(2) 实际共比赛13场
【知识点】
一元二次方程应用，单循环赛计数
【点评】
本题结合体育赛制背景考查方程的实际应用，解题的关键是准确理解单循环赛制的计数规则，第二问需注意区分已完成赛事和剩余赛事的范围，避免多算或漏算场次。
【难度系数】
0.7
8 [2025 鞍山海城期末]如图,利用一面墙(墙EF最长可利用28 m)围成一个矩形花园ABCD.与墙平行的一边BC上要预留2 m宽的入口MN,计划砌墙60 m长.
(1)当矩形花园的一边BC为多少米时,矩形花园的面积为440 m²?
(2)能否围成面积为600 m²的矩形花园?
(1)当矩形花园的一边BC为多少米时,矩形花园的面积为440 m²?
(2)能否围成面积为600 m²的矩形花园?
答案
设$BC=x$ m,则$AB=\frac{60-x+2}{2}=(31-\frac{1}{2}x)$m.
(1) 依题意,得$x·(31-\frac{1}{2}x)=440$,解得$x_1=22$,$x_2=40$(不合题意,舍去).
∴当矩形花园的一边BC为22 m时,矩形花园的面积为440 m²
(2) 根据题意,得$x·(31-\frac{1}{2}x)=600$,整理,得$x^2-62x+1200=0$.
∵$\Delta=(-62)^2-4×1×1200=-956＜0$,
∴原方程没有实数根.
∴不能围成面积为600 m²的矩形花园
(1) 依题意,得$x·(31-\frac{1}{2}x)=440$,解得$x_1=22$,$x_2=40$(不合题意,舍去).
∴当矩形花园的一边BC为22 m时,矩形花园的面积为440 m²
(2) 根据题意,得$x·(31-\frac{1}{2}x)=600$,整理,得$x^2-62x+1200=0$.
∵$\Delta=(-62)^2-4×1×1200=-956＜0$,
∴原方程没有实数根.
∴不能围成面积为600 m²的矩形花园
解析
【分析】
本题是一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：①先设与墙平行的边BC的长度为x m，结合砌墙总长度、入口宽度，推导垂直于墙的边AB的长度表达式，同时注意墙的最大可用长度为28m，因此x的取值不能超过28m；②第一问根据矩形面积=长×宽，列出面积为440m²的方程，求解后舍去不符合实际取值范围的根即可得到结果；③第二问同理列出面积为600m²的方程，通过计算一元二次方程根的判别式，判断方程是否有正实根，即可确定能否围成对应面积的花园。
【解析】
设BC的长度为$x$ m，则垂直于墙的边AB的长度为$\frac{60-(x-2)}{2}=(31-\frac{1}{2}x)$ m，且$0＜x≤28$。
(1) 依题意，矩形面积为440 m²，列方程得：
$x·(31-\frac{1}{2}x)=440$
整理得$x^2-62x+880=0$
解得$x_1=22$，$x_2=40$
∵墙最长可利用28m，$40＞28$，不符合题意，舍去$x_2=40$
∴$x=22$
(2) 若围成面积为600 m²的矩形花园，列方程得：
$x·(31-\frac{1}{2}x)=600$
整理得$x^2-62x+1200=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-62)^2-4×1×1200=3844-4800=-956＜0$
∴原方程没有实数根，即无法围成面积为600 m²的矩形花园。
【答案】
(1) 当BC为22 m时，矩形花园面积为440 m²；
(2) 不能围成面积为600 m²的矩形花园。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程根的判别式；矩形面积计算
【点评】
本题属于实际应用类题型，解题时需注意结合实际场景对未知数的取值范围进行限制，避免出现不符合实际的解；判断是否存在对应情况时，可通过一元二次方程根的判别式快速判断方程是否有解，从而得出结论。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程的实际应用问题，解题思路如下：①先设与墙平行的边BC的长度为x m，结合砌墙总长度、入口宽度，推导垂直于墙的边AB的长度表达式，同时注意墙的最大可用长度为28m，因此x的取值不能超过28m；②第一问根据矩形面积=长×宽，列出面积为440m²的方程，求解后舍去不符合实际取值范围的根即可得到结果；③第二问同理列出面积为600m²的方程，通过计算一元二次方程根的判别式，判断方程是否有正实根，即可确定能否围成对应面积的花园。
【解析】
设BC的长度为$x$ m，则垂直于墙的边AB的长度为$\frac{60-(x-2)}{2}=(31-\frac{1}{2}x)$ m，且$0＜x≤28$。
(1) 依题意，矩形面积为440 m²，列方程得：
$x·(31-\frac{1}{2}x)=440$
整理得$x^2-62x+880=0$
解得$x_1=22$，$x_2=40$
∵墙最长可利用28m，$40＞28$，不符合题意，舍去$x_2=40$
∴$x=22$
(2) 若围成面积为600 m²的矩形花园，列方程得：
$x·(31-\frac{1}{2}x)=600$
整理得$x^2-62x+1200=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-62)^2-4×1×1200=3844-4800=-956＜0$
∴原方程没有实数根，即无法围成面积为600 m²的矩形花园。
【答案】
(1) 当BC为22 m时，矩形花园面积为440 m²；
(2) 不能围成面积为600 m²的矩形花园。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程根的判别式；矩形面积计算
【点评】
本题属于实际应用类题型，解题时需注意结合实际场景对未知数的取值范围进行限制，避免出现不符合实际的解；判断是否存在对应情况时，可通过一元二次方程根的判别式快速判断方程是否有解，从而得出结论。
【难度系数】
0.7
9 如图所示为一个“三角点阵”，从上向下数有无数多行，其中第1行有1个点，第2行有2个点……第n行有n个点.容易发现“三角点阵”中前4行的点数和是10.
（1）请用一元二次方程说明“三角点阵”中前多少行的点数和是276.
（2）这个“三角点阵”中前n行的点数和能是600吗？如果能，请求出n的值；如果不能，请说明理由.
（1）请用一元二次方程说明“三角点阵”中前多少行的点数和是276.
（2）这个“三角点阵”中前n行的点数和能是600吗？如果能，请求出n的值；如果不能，请说明理由.
答案
(1) 设“三角点阵”中前x行的点数和是276.由题意,得1+2+3+…+x=276,即$\frac{x(x+1)}{2}=276$.整理,得$x^2+x-552=0$,解得$x_1=23$,$x_2=-24$(不合题意,舍去).
∴“三角点阵”中前23行的点数和是276
(2) 不能 理由:由题意,得1+2+3+…+n=600,即$\frac{n(n+1)}{2}=600$.整理,得$n^2+n-1200=0$,解得$n_1=\frac{-1+\sqrt{4801}}{2}$,$n_2=\frac{-1-\sqrt{4801}}{2}$.又
∵n为正整数,
∴$n_1$,$n_2$均不符合题意.
∴这个“三角点阵”中前n行的点数和不能是600.
∴“三角点阵”中前23行的点数和是276
(2) 不能 理由:由题意,得1+2+3+…+n=600,即$\frac{n(n+1)}{2}=600$.整理,得$n^2+n-1200=0$,解得$n_1=\frac{-1+\sqrt{4801}}{2}$,$n_2=\frac{-1-\sqrt{4801}}{2}$.又
∵n为正整数,
∴$n_1$,$n_2$均不符合题意.
∴这个“三角点阵”中前n行的点数和不能是600.
解析
【分析】
首先明确三角点阵前x行的点数是从1到x的连续正整数，根据等差数列求和规律，前x行点数和公式为$\frac{x(x+1)}{2}$。第一问设前x行点数和为276，代入公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负根即可；第二问同样代入公式列方程，求解后判断根是否为正整数，即可判断能否达到600的点数和。
【解析】
(1) 设“三角点阵”中前x行的点数和是276。
根据连续正整数求和规律可得方程：
$\frac{x(x+1)}{2}=276$
整理得：$x^2+x-552=0$
解得$x_1=23$，$x_2=-24$。
由于行数x为正整数，故舍去$x_2=-24$。
(2) 不能，理由如下：
假设前n行的点数和为600，代入求和公式得：
$\frac{n(n+1)}{2}=600$
整理得：$n^2+n-1200=0$
用求根公式解得$n_1=\frac{-1+\sqrt{4801}}{2}$，$n_2=\frac{-1-\sqrt{4801}}{2}$。
因为n必须为正整数，而上述两个根均不是正整数，不符合题意，因此前n行点数和不能是600。
【答案】
(1) 前23行的点数和是276；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用、等差数列求和、实际问题根的检验
【点评】
本题结合图形规律考查一元二次方程的实际应用，解题关键是先推导得到前n行点数和的计算公式，再列方程求解，注意最终解需要符合行数为正整数的实际要求。
【难度系数】
0.7
首先明确三角点阵前x行的点数是从1到x的连续正整数，根据等差数列求和规律，前x行点数和公式为$\frac{x(x+1)}{2}$。第一问设前x行点数和为276，代入公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负根即可；第二问同样代入公式列方程，求解后判断根是否为正整数，即可判断能否达到600的点数和。
【解析】
(1) 设“三角点阵”中前x行的点数和是276。
根据连续正整数求和规律可得方程：
$\frac{x(x+1)}{2}=276$
整理得：$x^2+x-552=0$
解得$x_1=23$，$x_2=-24$。
由于行数x为正整数，故舍去$x_2=-24$。
(2) 不能，理由如下：
假设前n行的点数和为600，代入求和公式得：
$\frac{n(n+1)}{2}=600$
整理得：$n^2+n-1200=0$
用求根公式解得$n_1=\frac{-1+\sqrt{4801}}{2}$，$n_2=\frac{-1-\sqrt{4801}}{2}$。
因为n必须为正整数，而上述两个根均不是正整数，不符合题意，因此前n行点数和不能是600。
【答案】
(1) 前23行的点数和是276；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用、等差数列求和、实际问题根的检验
【点评】
本题结合图形规律考查一元二次方程的实际应用，解题关键是先推导得到前n行点数和的计算公式，再列方程求解，注意最终解需要符合行数为正整数的实际要求。
【难度系数】
0.7
