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1 一个两位数的个位上的数字与十位上的数字的和为9，并且个位上的数字与十位上的数字的平方和为45，求这个两位数。
答案
设这个两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为(9-x).由题意,得x²+(9-x)²=45.整理,得x²-9x+18=0,解得x₁=3,x₂=6.当x=3时,这个两位数为63;当x=6时,这个两位数为36.综上所述,这个两位数为36或63
解析
【分析】
本题是数字类一元二次方程应用问题，解题思路清晰：首先已知两位数的个位与十位数字之和为9，因此可设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位的数字用含未知数的代数式表示；再根据“两个数字的平方和为45”的等量关系列出一元二次方程，求解后结合数位的意义将数字组合为两位数即可，注意不要漏解。
【解析】
解：设这个两位数的个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$(9-x)$。
由题意得：$x^2+(9-x)^2=45$
展开整理得：$x^2-9x+18=0$
因式分解得：$(x-3)(x-6)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=6$。
当$x=3$时，十位数字为$9-3=6$，这个两位数为$6×10+3=63$；
当$x=6$时，十位数字为$9-6=3$，这个两位数为$3×10+6=36$。
综上所述，这个两位数为36或63。
【答案】
36或63
【知识点】
一元二次方程的应用；数字问题求解；因式分解解方程
【点评】
本题属于基础的方程应用题型，解题核心是找准等量关系列方程，需要注意数位数字的取值特性，最终得到两位数时不要漏写符合题意的解。
【难度系数】
0.7
本题是数字类一元二次方程应用问题，解题思路清晰：首先已知两位数的个位与十位数字之和为9，因此可设其中一个数位的数字为未知数，另一个数位的数字用含未知数的代数式表示；再根据“两个数字的平方和为45”的等量关系列出一元二次方程，求解后结合数位的意义将数字组合为两位数即可，注意不要漏解。
【解析】
解：设这个两位数的个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$(9-x)$。
由题意得：$x^2+(9-x)^2=45$
展开整理得：$x^2-9x+18=0$
因式分解得：$(x-3)(x-6)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=6$。
当$x=3$时，十位数字为$9-3=6$，这个两位数为$6×10+3=63$；
当$x=6$时，十位数字为$9-6=3$，这个两位数为$3×10+6=36$。
综上所述，这个两位数为36或63。
【答案】
36或63
【知识点】
一元二次方程的应用；数字问题求解；因式分解解方程
【点评】
本题属于基础的方程应用题型，解题核心是找准等量关系列方程，需要注意数位数字的取值特性，最终得到两位数时不要漏写符合题意的解。
【难度系数】
0.7
2 如图所示为某月的月历表,在表上可以用一个虚线框框出位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若框出的9个数中最大数与最小数的积为192,求这9个数的和.
（第2题）
（第2题）答案
根据月历表可以得出,框出的9个数中最大数与最小数的差为16.设最小数为x,则最大数为(x+16).根据题意,得x(x+16)=192,解得x₁=8,x₂=-24(不合题意,舍去).
∴这9个数分别为8,9,10,15,16,17,22,23,24.
∴这9个数的和为8+9+10+15+16+17+22+23+24=144
∴这9个数分别为8,9,10,15,16,17,22,23,24.
∴这9个数的和为8+9+10+15+16+17+22+23+24=144
解析
【分析】
解题时首先观察月历的数字规律：月历中每行数字是连续自然数，相邻两行同一列的数字相差7，因此3行3列框出的9个数中，最小数在左上角，最大数在右下角，二者的差固定为16。接着根据题目给出的“最大数与最小数的积为192”的条件，设最小数为未知数列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的解后，写出9个数字求和即可。
【解析】
观察月历表可得，框出的9个数中最大数与最小数的差为16。
设最小数为$x$，则最大数为$x+16$，根据题意列方程：
$x(x+16)=192$
整理得$x^2+16x-192=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-24$。
由于月历中的数均为正整数，因此$x=-24$不合题意，舍去。
对应的9个数分别为：8,9,10,15,16,17,22,23,24
这9个数的和为：$8+9+10+15+16+17+22+23+24=144$
【答案】
144
【知识点】
一元二次方程的应用，月历数字规律，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活常见的月历考查实际问题的求解，解题关键是先找到3×3数字框中最大数和最小数的差，再列方程求解，注意要结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察月历的数字规律：月历中每行数字是连续自然数，相邻两行同一列的数字相差7，因此3行3列框出的9个数中，最小数在左上角，最大数在右下角，二者的差固定为16。接着根据题目给出的“最大数与最小数的积为192”的条件，设最小数为未知数列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的解后，写出9个数字求和即可。
【解析】
观察月历表可得，框出的9个数中最大数与最小数的差为16。
设最小数为$x$，则最大数为$x+16$，根据题意列方程：
$x(x+16)=192$
整理得$x^2+16x-192=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-24$。
由于月历中的数均为正整数，因此$x=-24$不合题意，舍去。
对应的9个数分别为：8,9,10,15,16,17,22,23,24
这9个数的和为：$8+9+10+15+16+17+22+23+24=144$
【答案】
144
【知识点】
一元二次方程的应用，月历数字规律，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活常见的月历考查实际问题的求解，解题关键是先找到3×3数字框中最大数和最小数的差，再列方程求解，注意要结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
3 某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有 36 名同学会做这项实验.每节课每名同学教会多少名同学做这项实验？
答案
设每节课每名同学教会x名同学做这项实验.根据题意,得1+x+x(1+x)=36,解得x₁=5,x₂=-7(不合题意,舍去).
∴每节课每名同学教会5名同学做这项实验
∴每节课每名同学教会5名同学做这项实验
解析
【分析】
这是典型的两轮传播类实际问题，解题思路如下：首先明确初始状态只有1名同学会做实验；第一节课这名同学教会x名同学，此时会做实验的总人数为1+x；第二节课时，每一名会做的同学都教会x名同学，因此第二节课新教会的人数为(1+x)·x，两轮结束后全班会做实验的总人数等于初始人数加第一节课新增人数加第二节课新增人数，据此列方程求解即可，注意求出的解要符合人数为正的实际意义，负根需舍去。
【解析】
设每节课每名同学教会x名同学做这项实验。
根据总人数的等量关系列方程：
$1 + x + x(1 + x) = 36$
整理方程得：
$x^2 + 2x - 35 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x + 7) = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-7$
因为教会的学生人数不能为负数，因此$x_2=-7$不符合题意，舍去。
【答案】
每节课每名同学教会5名同学做这项实验。
【知识点】
一元二次方程应用、传播问题模型、实际根的取舍
【点评】
本题核心是梳理清楚每轮传播的新增人数与累计总人数的数量关系，列方程求解后要注意结合实际问题的意义，排除不符合要求的根。
【难度系数】
0.75
这是典型的两轮传播类实际问题，解题思路如下：首先明确初始状态只有1名同学会做实验；第一节课这名同学教会x名同学，此时会做实验的总人数为1+x；第二节课时，每一名会做的同学都教会x名同学，因此第二节课新教会的人数为(1+x)·x，两轮结束后全班会做实验的总人数等于初始人数加第一节课新增人数加第二节课新增人数，据此列方程求解即可，注意求出的解要符合人数为正的实际意义，负根需舍去。
【解析】
设每节课每名同学教会x名同学做这项实验。
根据总人数的等量关系列方程：
$1 + x + x(1 + x) = 36$
整理方程得：
$x^2 + 2x - 35 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x + 7) = 0$
解得：$x_1=5$，$x_2=-7$
因为教会的学生人数不能为负数，因此$x_2=-7$不符合题意，舍去。
【答案】
每节课每名同学教会5名同学做这项实验。
【知识点】
一元二次方程应用、传播问题模型、实际根的取舍
【点评】
本题核心是梳理清楚每轮传播的新增人数与累计总人数的数量关系，列方程求解后要注意结合实际问题的意义，排除不符合要求的根。
【难度系数】
0.75
4 为了宣传垃圾分类，小王写了一封倡议书，用社交平台转发的方式传播，他设计了如下的转发规则：将倡议书发表在自己的社交平台上，然后邀请$ x $人转发，每人转发之后，又邀请不同的$ x $人转发。已知经过两轮转发后，共有111人参与了本次活动。
（1）$ x $的值是多少？
（2）再经过几轮转发后，参与的人数会超过10 000？
（1）$ x $的值是多少？
（2）再经过几轮转发后，参与的人数会超过10 000？
答案
(1) 由题意,得1+x+x²=111.整理,得x²+x-110=0,解得x₁=10,x₂=-11(不合题意,舍去).
∴x的值为10
(2) 第三轮转发后,参与的人数为1+10+100+1000=1111,第四轮转发后,参与的人数为1+10+100+1000+10000=11111.
∵11111＞10000,
∴再经过两轮转发后,参与的人数会超过10000
∴x的值为10
(2) 第三轮转发后,参与的人数为1+10+100+1000=1111,第四轮转发后,参与的人数为1+10+100+1000+10000=11111.
∵11111＞10000,
∴再经过两轮转发后,参与的人数会超过10000
解析
【分析】
（1）首先梳理参与人数的组成：初始参与的小王共1人，第一轮转发新增x个参与者，第二轮转发时第一轮的x人每人再邀请x人，因此第二轮新增x²个参与者，两轮后总参与人数为三者之和，据此列出一元二次方程求解即可，注意人数为正，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）明确每轮转发新增人数的规律：由x=10可知，第n轮转发新增的人数为10ⁿ，依次计算第三轮、第四轮转发后的总人数，找到总人数首次超过10000时的轮次，减去已经完成的2轮，即可得到需要再经过的轮数。
【解析】
（1）根据两轮转发后总参与人数为111人，列方程：
$1 + x + x^2 = 111$
整理得：$x^2 + x - 110 = 0$
解方程得：$x_1=10$，$x_2=-11$
$\because$ 转发人数不能为负数，$\therefore x_2=-11$不符合题意，舍去。
$\therefore x$的值为10。
（2）由$x=10$可知，每轮新增人数为对应轮次的10的乘方：
第三轮转发后总参与人数：$1 + 10 + 10^2 + 10^3 = 1111$
第四轮转发后总参与人数：$1111 + 10^4 = 11111$
$\because 11111 ＞ 10000$，当前已完成2轮转发，
$\therefore$ 还需要再经过$4 - 2 = 2$轮。
【答案】
（1）$\boxed{10}$；（2）$\boxed{2}$轮
【知识点】
一元二次方程的应用，有理数乘方的应用，实际问题解的检验
【点评】
本题结合生活中的社交平台转发场景命题，贴近实际，既考查了列一元二次方程解决实际问题的能力，也考查了对乘方指数型增长规律的理解，解题时要注意所得方程的解需符合实际意义，第二问要注意区分总轮次和“再经过”的轮次，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.7
（1）首先梳理参与人数的组成：初始参与的小王共1人，第一轮转发新增x个参与者，第二轮转发时第一轮的x人每人再邀请x人，因此第二轮新增x²个参与者，两轮后总参与人数为三者之和，据此列出一元二次方程求解即可，注意人数为正，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）明确每轮转发新增人数的规律：由x=10可知，第n轮转发新增的人数为10ⁿ，依次计算第三轮、第四轮转发后的总人数，找到总人数首次超过10000时的轮次，减去已经完成的2轮，即可得到需要再经过的轮数。
【解析】
（1）根据两轮转发后总参与人数为111人，列方程：
$1 + x + x^2 = 111$
整理得：$x^2 + x - 110 = 0$
解方程得：$x_1=10$，$x_2=-11$
$\because$ 转发人数不能为负数，$\therefore x_2=-11$不符合题意，舍去。
$\therefore x$的值为10。
（2）由$x=10$可知，每轮新增人数为对应轮次的10的乘方：
第三轮转发后总参与人数：$1 + 10 + 10^2 + 10^3 = 1111$
第四轮转发后总参与人数：$1111 + 10^4 = 11111$
$\because 11111 ＞ 10000$，当前已完成2轮转发，
$\therefore$ 还需要再经过$4 - 2 = 2$轮。
【答案】
（1）$\boxed{10}$；（2）$\boxed{2}$轮
【知识点】
一元二次方程的应用，有理数乘方的应用，实际问题解的检验
【点评】
本题结合生活中的社交平台转发场景命题，贴近实际，既考查了列一元二次方程解决实际问题的能力，也考查了对乘方指数型增长规律的理解，解题时要注意所得方程的解需符合实际意义，第二问要注意区分总轮次和“再经过”的轮次，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.7
