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1 [2025 秦皇岛昌黎期末]用公式法解方程$3x^2 -7=-5x$时,得$x=$
,则“□”处应填（
A.－5
B.5
C.－7
D.7
,则“□”处应填（A
）A.－5
B.5
C.－7
D.7
答案
1. A
解析
【分析】
要确定方框中的数，需先回忆一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。解题时先将题给方程整理为一般形式，对应确定$a、b、c$的值，再对照求根公式即可得到方框对应的值。
【解析】
首先将方程$3x^2 -7=-5x$整理为一般形式：
移项得$3x^2+5x-7=0$，
对照一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=3$，$b=5$，$c=-7$。
代入求根公式得$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4×3×(-7)}}{2×3}$，
因此方框处应填$-5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式,公式法解方程
【点评】
本题核心考查公式法解一元二次方程的应用，解题关键是先将方程化为一般形式，准确识别各项系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
要确定方框中的数，需先回忆一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。解题时先将题给方程整理为一般形式，对应确定$a、b、c$的值，再对照求根公式即可得到方框对应的值。
【解析】
首先将方程$3x^2 -7=-5x$整理为一般形式：
移项得$3x^2+5x-7=0$，
对照一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=3$，$b=5$，$c=-7$。
代入求根公式得$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4×3×(-7)}}{2×3}$，
因此方框处应填$-5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求根公式,公式法解方程
【点评】
本题核心考查公式法解一元二次方程的应用，解题关键是先将方程化为一般形式，准确识别各项系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
2 用公式法解方程$4x^2 + 12x + 3 = 0$，得（
A.$x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{6}}{2}$
B.$x = \dfrac{3 \pm \sqrt{6}}{2}$
C.$x = \dfrac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
D.$x = \dfrac{3 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
A
）A.$x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{6}}{2}$
B.$x = \dfrac{3 \pm \sqrt{6}}{2}$
C.$x = \dfrac{-3 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
D.$x = \dfrac{3 \pm 2\sqrt{3}}{2}$
答案
2. A
解析
【分析】
使用公式法解一元二次方程时，首先要明确解题步骤：第一步先确认方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确找出$a、b、c$的取值，注意不要弄错符号；第二步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况；第三步若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后化简结果和选项比对即可得到答案。
【解析】
解：方程$4x^2 + 12x + 3 = 0$是一元二次方程的一般形式，其中二次项系数$a=4$，一次项系数$b=12$，常数项$c=3$。
1. 计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 12^2 - 4×4×3 = 144 - 48 = 96＞0$，可知方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式计算：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12\pm\sqrt{96}}{2×4} = \frac{-12\pm4\sqrt{6}}{8}$
对结果约分，分子分母同时除以4，得$x=\frac{-3\pm\sqrt{6}}{2}$
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程求根公式，二次根式化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题，解题核心是准确确定$a、b、c$的取值，牢记求根公式的形式，计算判别式和化简二次根式时注意避免计算失误。
【难度系数】
0.8
使用公式法解一元二次方程时，首先要明确解题步骤：第一步先确认方程为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的一般形式，准确找出$a、b、c$的取值，注意不要弄错符号；第二步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况；第三步若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算，最后化简结果和选项比对即可得到答案。
【解析】
解：方程$4x^2 + 12x + 3 = 0$是一元二次方程的一般形式，其中二次项系数$a=4$，一次项系数$b=12$，常数项$c=3$。
1. 计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 12^2 - 4×4×3 = 144 - 48 = 96＞0$，可知方程有两个不相等的实数根。
2. 代入求根公式计算：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12\pm\sqrt{96}}{2×4} = \frac{-12\pm4\sqrt{6}}{8}$
对结果约分，分子分母同时除以4，得$x=\frac{-3\pm\sqrt{6}}{2}$
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程求根公式，二次根式化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础题，解题核心是准确确定$a、b、c$的取值，牢记求根公式的形式，计算判别式和化简二次根式时注意避免计算失误。
【难度系数】
0.8
3 [2025南京玄武段考]一元二次方程$x(x - 2) = 3x^2 - 1$化成一般形式为
$2x^2 + 2x - 1 = 0$
，用公式法解此方程时，$\Delta =$$12$
，$x_1 =$$\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$
，$x_2 =$$\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}$
。答案
3. 一元二次方程$x(x - 2) = 3x^2 - 1$化成一般形式为$2x^2 + 2x - 1 = 0$，用公式法解此方程时，$\Delta =12$，$x_1 =\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2 =\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}$。
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆一元二次方程一般形式的定义：形如$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式叫一元二次方程的一般形式，因此第一步需要先把原方程去括号、移项、合并同类项，整理为一般形式；再根据根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，代入一般形式中$a、b、c$的值计算$\Delta$；最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$即可求出两个根。
【解析】
1. 化一般形式：
先去括号得：$x^2 - 2x = 3x^2 - 1$
移项（将所有项移到等号左侧，注意移项要变号）：$x^2 - 2x - 3x^2 + 1 = 0$
合并同类项得：$-2x^2 - 2x + 1 = 0$
两边同时乘$-1$使二次项系数为正，得到一般形式：$2x^2 + 2x - 1 = 0$
2. 计算判别式$\Delta$：
在一般形式中，$a=2$，$b=2$，$c=-1$，代入$\Delta=b^2-4ac$得：
$\Delta=2^2 - 4×2×(-1)=4 + 8 = 12$
3. 用公式法求根：
将$a=2$，$b=2$，$\Delta=12$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2×2}=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$
因此$x_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$2x^2 + 2x - 1 = 0$；$12$；$\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$；$\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查基本概念和公式的应用，解题时需注意移项要变号，将二次项系数化为正数更方便后续计算，代入公式时要准确对应$a、b、c$的符号，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先回忆一元二次方程一般形式的定义：形如$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式叫一元二次方程的一般形式，因此第一步需要先把原方程去括号、移项、合并同类项，整理为一般形式；再根据根的判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，代入一般形式中$a、b、c$的值计算$\Delta$；最后代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$即可求出两个根。
【解析】
1. 化一般形式：
先去括号得：$x^2 - 2x = 3x^2 - 1$
移项（将所有项移到等号左侧，注意移项要变号）：$x^2 - 2x - 3x^2 + 1 = 0$
合并同类项得：$-2x^2 - 2x + 1 = 0$
两边同时乘$-1$使二次项系数为正，得到一般形式：$2x^2 + 2x - 1 = 0$
2. 计算判别式$\Delta$：
在一般形式中，$a=2$，$b=2$，$c=-1$，代入$\Delta=b^2-4ac$得：
$\Delta=2^2 - 4×2×(-1)=4 + 8 = 12$
3. 用公式法求根：
将$a=2$，$b=2$，$\Delta=12$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2×2}=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$
因此$x_1=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$2x^2 + 2x - 1 = 0$；$12$；$\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$；$\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考查基本概念和公式的应用，解题时需注意移项要变号，将二次项系数化为正数更方便后续计算，代入公式时要准确对应$a、b、c$的符号，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
4 教材变式题 有一个数值转换机，其流程如图所示.若输入$a=-6$，则输出$x$的值为.
答案
4. $\dfrac{3\pm\sqrt{57}}{4}$
解析
【分析】
解题首先要根据输入的a值判断选择对应的方程：首先输入a=-6，先判断a＞0是否成立，因为-6＜0，所以选择分支“否”对应的方程$2x^2-3x+a=0$；再将a=-6代入该方程得到标准一元二次方程，最后用公式法求解方程即可得到输出的x值。
【解析】
解：已知输入a=-6，
第一步：判断a＞0是否成立：
∵-6＜0，
∴不满足a＞0，选择方程$2x^2-3x+a=0$，
第二步：将a=-6代入方程，得：$2x^2-3x-6=0$，
该一元二次方程中，二次项系数为2，一次项系数为-3，常数项为-6，
先计算根的判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×2×(-6) = 9 + 48 = 57 ＞ 0$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{57}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{57}}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3\pm\sqrt{57}}{4}$
【知识点】
流程图逻辑判断、公式法解方程、根的判别式
【点评】
本题将流程图与一元二次方程的解法结合，解题关键是先根据a的取值范围准确选择对应方程，代入参数时要注意符号，计算判别式和求根时要严格按照公式步骤求解，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解题首先要根据输入的a值判断选择对应的方程：首先输入a=-6，先判断a＞0是否成立，因为-6＜0，所以选择分支“否”对应的方程$2x^2-3x+a=0$；再将a=-6代入该方程得到标准一元二次方程，最后用公式法求解方程即可得到输出的x值。
【解析】
解：已知输入a=-6，
第一步：判断a＞0是否成立：
∵-6＜0，
∴不满足a＞0，选择方程$2x^2-3x+a=0$，
第二步：将a=-6代入方程，得：$2x^2-3x-6=0$，
该一元二次方程中，二次项系数为2，一次项系数为-3，常数项为-6，
先计算根的判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×2×(-6) = 9 + 48 = 57 ＞ 0$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{57}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{57}}{4}$。
【答案】
$\dfrac{3\pm\sqrt{57}}{4}$
【知识点】
流程图逻辑判断、公式法解方程、根的判别式
【点评】
本题将流程图与一元二次方程的解法结合，解题关键是先根据a的取值范围准确选择对应方程，代入参数时要注意符号，计算判别式和求根时要严格按照公式步骤求解，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
5 用公式法解下面的方程：
(1) $3x^2 + 1 = 2\sqrt{3}x$；
(2) $x(2x - 3) = 5 - 7x$。
(1) $3x^2 + 1 = 2\sqrt{3}x$；
(2) $x(2x - 3) = 5 - 7x$。
答案
5. (1) $x_1=x_2=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(2) $x_1=\dfrac{-2+\sqrt{14}}{2},x_2=\dfrac{-2-\sqrt{14}}{2}$
(2) $x_1=\dfrac{-2+\sqrt{14}}{2},x_2=\dfrac{-2-\sqrt{14}}{2}$
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的固定思路为：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，第二步准确确定$a$、$b$、$c$的取值，第三步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况，若$\Delta≥0$，则代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，最后对结果化简即可。
第(1)题先移项把所有项移到等号左侧，整理为一般形式后再按步骤计算；第(2)题先去括号，再移项合并同类项得到一般形式，再按上述流程求解。
【解析】
(1) 整理方程为一般形式：
移项得 $3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$
其中$a=3$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=1$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4×3×1 = 12 - 12 = 0$
$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\sqrt{3}\pm0}{2×3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
(2) 整理方程为一般形式：
去括号得 $2x^2 - 3x = 5 - 7x$
移项、合并同类项得 $2x^2 + 4x - 5 = 0$
其中$a=2$，$b=4$，$c=-5$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 4^2 - 4×2×(-5) = 16 + 40 = 56＞0$
$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{-4\pm2\sqrt{14}}{4}=\frac{-2\pm\sqrt{14}}{2}$
【答案】
(1) $x_1=x_2=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(2) $x_1=\dfrac{-2+\sqrt{14}}{2},x_2=\dfrac{-2-\sqrt{14}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是公式法解方程的基础应用，解题的易错点为整理方程为一般形式时搞错各项符号，计算判别式、代入求根公式后要注意对结果化简，掌握公式法的固定解题步骤即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程的固定思路为：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，第二步准确确定$a$、$b$、$c$的取值，第三步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况，若$\Delta≥0$，则代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根，最后对结果化简即可。
第(1)题先移项把所有项移到等号左侧，整理为一般形式后再按步骤计算；第(2)题先去括号，再移项合并同类项得到一般形式，再按上述流程求解。
【解析】
(1) 整理方程为一般形式：
移项得 $3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$
其中$a=3$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=1$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4×3×1 = 12 - 12 = 0$
$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\sqrt{3}\pm0}{2×3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
(2) 整理方程为一般形式：
去括号得 $2x^2 - 3x = 5 - 7x$
移项、合并同类项得 $2x^2 + 4x - 5 = 0$
其中$a=2$，$b=4$，$c=-5$
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = 4^2 - 4×2×(-5) = 16 + 40 = 56＞0$
$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{-4\pm2\sqrt{14}}{4}=\frac{-2\pm\sqrt{14}}{2}$
【答案】
(1) $x_1=x_2=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
(2) $x_1=\dfrac{-2+\sqrt{14}}{2},x_2=\dfrac{-2-\sqrt{14}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是公式法解方程的基础应用，解题的易错点为整理方程为一般形式时搞错各项符号，计算判别式、代入求根公式后要注意对结果化简，掌握公式法的固定解题步骤即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
6 [2025安徽]下列方程中，有两个不相等的实数根的是（
A.$x^2+1=0$
B.$x^2-2x+1=0$
C.$x^2+x+1=0$
D.$x^2+x-1=0$
D
）A.$x^2+1=0$
B.$x^2-2x+1=0$
C.$x^2+x+1=0$
D.$x^2+x-1=0$
答案
6. D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需借助根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题时首先明确每个选项中一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$（注意符号不要出错），再分别代入判别式公式计算$\Delta$的取值，最后选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；
若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；
若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
分别计算各选项的判别式：
A. 方程$x^2+1=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，无实数根，不符合要求；
B. 方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
C. 方程$x^2+x+1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，不符合要求；
D. 方程$x^2+x-1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，解题时需注意准确提取各项系数，尤其常数项为负数时不要带错符号。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否有两个不相等的实数根，需借助根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值判断：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题时首先明确每个选项中一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$（注意符号不要出错），再分别代入判别式公式计算$\Delta$的取值，最后选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；
若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；
若$\Delta＜0$，方程没有实数根。
分别计算各选项的判别式：
A. 方程$x^2+1=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，无实数根，不符合要求；
B. 方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
C. 方程$x^2+x+1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，不符合要求；
D. 方程$x^2+x-1=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心考查根的判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，解题时需注意准确提取各项系数，尤其常数项为负数时不要带错符号。
【难度系数】
0.8
7 [2025 甘肃]若关于$x$的一元二次方程$3x^2 -6x + m =0$有两个实数根，则$m$的取值范围是（
A.$m＜3$
B.$m≤3$
C.$m＞3$
D.$m≥3$
B
）A.$m＜3$
B.$m≤3$
C.$m＞3$
D.$m≥3$
答案
7. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程有两个实数根的判定条件：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程有两个实数根（包含两个相等的实数根和两个不相等的实数根两种情况）；其次从题给方程中确定$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$m$的不等式，最后解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
已知关于$x$的方程$3x^2-6x+m=0$是一元二次方程，满足二次项系数$a=3≠0$。
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，
其中$a=3$，$b=-6$，$c=m$，代入得：
$(-6)^2 - 4×3× m ≥0$
计算得：$36 - 12m ≥0$
移项得：$12m ≤36$
两边同时除以12得：$m≤3$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，解题时需注意“两个实数根”包含两个相等和两个不相等的实数根两种情况，因此判别式要取大于等于0，避免漏掉等号错选A。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：首先明确一元二次方程有两个实数根的判定条件：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$时，方程有两个实数根（包含两个相等的实数根和两个不相等的实数根两种情况）；其次从题给方程中确定$a、b、c$的取值，代入判别式列出关于$m$的不等式，最后解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
已知关于$x$的方程$3x^2-6x+m=0$是一元二次方程，满足二次项系数$a=3≠0$。
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，
其中$a=3$，$b=-6$，$c=m$，代入得：
$(-6)^2 - 4×3× m ≥0$
计算得：$36 - 12m ≥0$
移项得：$12m ≤36$
两边同时除以12得：$m≤3$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，解题时需注意“两个实数根”包含两个相等和两个不相等的实数根两种情况，因此判别式要取大于等于0，避免漏掉等号错选A。
【难度系数】
0.8
8 [2025 西藏]若关于 x 的一元二次方程 $x^2 - x + 2m = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m = $
$\dfrac{1}{8}$
答案
8. $\dfrac{1}{8}$
解析
【分析】
已知题目给出的是一元二次方程，且明确有两个相等的实数根，解题时首先回忆一元二次方程根的情况与根的判别式的对应关系：当判别式$\Delta=0$时，一元二次方程有两个相等的实数根。接下来先确定方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta=0$得到关于$m$的一元一次方程，求解该方程即可得到$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$。
在方程$x^2 - x + 2m = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=2m$，代入$\Delta=0$可得：
$(-1)^2 - 4×1×2m = 0$
化简得：
$1 - 8m = 0$
移项求解得：
$8m=1 \implies m=\frac{1}{8}$
【答案】
$\dfrac{1}{8}$
【知识点】
根的判别式的应用；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需准确识别方程各项的系数，尤其要注意一次项系数的符号，计算过程难度低，只要牢记相关性质即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
已知题目给出的是一元二次方程，且明确有两个相等的实数根，解题时首先回忆一元二次方程根的情况与根的判别式的对应关系：当判别式$\Delta=0$时，一元二次方程有两个相等的实数根。接下来先确定方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta=0$得到关于$m$的一元一次方程，求解该方程即可得到$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当方程有两个相等的实数根时，$\Delta=0$。
在方程$x^2 - x + 2m = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=2m$，代入$\Delta=0$可得：
$(-1)^2 - 4×1×2m = 0$
化简得：
$1 - 8m = 0$
移项求解得：
$8m=1 \implies m=\frac{1}{8}$
【答案】
$\dfrac{1}{8}$
【知识点】
根的判别式的应用；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需准确识别方程各项的系数，尤其要注意一次项系数的符号，计算过程难度低，只要牢记相关性质即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
9 若关于x的方程$x^2 + 2x + m - 1 = 0$有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是
$1$
.答案
9. 1
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式Δ＞0。我们先确定方程中对应a、b、c的值，代入判别式列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围，最后在取值范围内找出最大的整数即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2-4ac$。
已知方程$x^2 + 2x + m - 1 = 0$有两个不相等的实数根，因此$\Delta＞0$。
其中$a=1$，$b=2$，$c=m-1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(m-1) ＞ 0$
化简不等式：
$4 - 4(m-1) ＞ 0$
$4 -4m +4 ＞0$
$8 -4m ＞0$
移项得$4m ＜ 8$，解得$m ＜ 2$。
小于2的最大整数是1，因此m可取的最大整数是1。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的典型应用类题目，解题核心是根据方程根的情况建立参数的不等式，求解参数范围后筛选符合要求的解，属于常规考点。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的个数与判别式的关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式Δ＞0。我们先确定方程中对应a、b、c的值，代入判别式列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围，最后在取值范围内找出最大的整数即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2-4ac$。
已知方程$x^2 + 2x + m - 1 = 0$有两个不相等的实数根，因此$\Delta＞0$。
其中$a=1$，$b=2$，$c=m-1$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(m-1) ＞ 0$
化简不等式：
$4 - 4(m-1) ＞ 0$
$4 -4m +4 ＞0$
$8 -4m ＞0$
移项得$4m ＜ 8$，解得$m ＜ 2$。
小于2的最大整数是1，因此m可取的最大整数是1。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是根的判别式的典型应用类题目，解题核心是根据方程根的情况建立参数的不等式，求解参数范围后筛选符合要求的解，属于常规考点。
【难度系数】
0.8
10 已知关于x的一元二次方程$x^2 - 3x + 2a = 0$有两个不相等的实数根.
（1）若$a=1$，求方程的根；
（2）求a的取值范围.
（1）若$a=1$，求方程的根；
（2）求a的取值范围.
答案
10. (1) 当 $a = 1$ 时, 方程为 $x^2 - 3x + 2 = 0$, $\therefore x = \dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4×1×2}}{2×1} = \dfrac{3\pm1}{2}$, 即 $x_1 = 2, x_2 = 1$
(2) $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 3x + 2a = 0$ 有两个不相等的实数根, $\therefore \Delta=(-3)^2-4×2a＞0$, 解得 $a＜\dfrac{9}{8}$
(2) $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 3x + 2a = 0$ 有两个不相等的实数根, $\therefore \Delta=(-3)^2-4×2a＞0$, 解得 $a＜\dfrac{9}{8}$
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先将a=1代入原方程，得到具体的一元二次方程，再用公式法解方程：先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，计算判别式验证有实根后，代入求根公式即可求得两根；
（2）求解第二问时，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的性质，可知根的判别式Δ＞0，将原方程的对应系数代入判别式，得到关于a的一元一次不等式，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
（1）当$a = 1$时，原方程为 $x^2 - 3x + 2 = 0$，
代入求根公式得：$x = \dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4×1×2}}{2×1} = \dfrac{3\pm1}{2}$，
即$x_1 = \dfrac{3+1}{2}=2$，$x_2 = \dfrac{3-1}{2}=1$。
（2）$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 3x + 2a = 0$ 有两个不相等的实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×2a＞0$，
化简得$9-8a＞0$，
解得 $a＜\dfrac{9}{8}$。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=2$；
(2) $a＜\dfrac{9}{8}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，重点考查根的判别式与根的个数的对应关系，以及公式法解方程的步骤，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.85
（1）求解第一问时，先将a=1代入原方程，得到具体的一元二次方程，再用公式法解方程：先确定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，计算判别式验证有实根后，代入求根公式即可求得两根；
（2）求解第二问时，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的性质，可知根的判别式Δ＞0，将原方程的对应系数代入判别式，得到关于a的一元一次不等式，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
（1）当$a = 1$时，原方程为 $x^2 - 3x + 2 = 0$，
代入求根公式得：$x = \dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4×1×2}}{2×1} = \dfrac{3\pm1}{2}$，
即$x_1 = \dfrac{3+1}{2}=2$，$x_2 = \dfrac{3-1}{2}=1$。
（2）$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 3x + 2a = 0$ 有两个不相等的实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×2a＞0$，
化简得$9-8a＞0$，
解得 $a＜\dfrac{9}{8}$。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=2$；
(2) $a＜\dfrac{9}{8}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；根的判别式的应用；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，重点考查根的判别式与根的个数的对应关系，以及公式法解方程的步骤，掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.85
11 [2025 临夏期末]已知关于$x$的方程$x^2 + ax + a - 2 = 0$.
（1）若该方程有一个根为$-2$，求$a$的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根.
（1）若该方程有一个根为$-2$，求$a$的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根.
答案
11. (1) 将 $x = -2$ 代入方程 $x^2 + ax + a - 2 = 0$, 得 $(-2)^2 - 2a + a - 2 = 0$, 解得 $a = 2$
(2) $\because \Delta=a^2-4(a-2)=a^2-4a+8=(a-2)^2+4＞0$, $\therefore$ 对于任意实数 $a$, 该方程总有两个不相等的实数根
(2) $\because \Delta=a^2-4(a-2)=a^2-4a+8=(a-2)^2+4＞0$, $\therefore$ 对于任意实数 $a$, 该方程总有两个不相等的实数根
解析
【分析】
（1）根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此将已知根$x=-2$代入原方程，可得到关于$a$的一元一次方程，求解该方程即可得出$a$的值；
（2）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需证明其根的判别式$\Delta$恒大于$0$。先写出该方程判别式的表达式，再通过配方变形判断其取值范围，即可完成证明。
【解析】
（1）将$x=-2$代入方程$x^2 + ax + a - 2 = 0$，得：
$(-2)^2 - 2a + a - 2 = 0$
化简得：$2 - a = 0$
解得：$a = 2$
（2）证明：对于方程$x^2 + ax + a - 2 = 0$，其根的判别式为：
$\Delta = a^2 - 4(a - 2) = a^2 - 4a + 8$
配方可得：$\Delta = (a - 2)^2 + 4$
$\because$ 对任意实数$a$，都有$(a - 2)^2 ≥ 0$
$\therefore (a - 2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$恒成立
$\therefore$ 对于任意实数$a$，该方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $a=2$；
(2) 对于任意实数$a$，方程总有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式应用，配方法
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，第一问直接考查根的定义的代入应用，难度较低；第二问考查根的判别式的应用，通过配方判断判别式正负是解题关键，整体侧重对基础知识点的掌握考查。
【难度系数】
0.85
（1）根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此将已知根$x=-2$代入原方程，可得到关于$a$的一元一次方程，求解该方程即可得出$a$的值；
（2）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，只需证明其根的判别式$\Delta$恒大于$0$。先写出该方程判别式的表达式，再通过配方变形判断其取值范围，即可完成证明。
【解析】
（1）将$x=-2$代入方程$x^2 + ax + a - 2 = 0$，得：
$(-2)^2 - 2a + a - 2 = 0$
化简得：$2 - a = 0$
解得：$a = 2$
（2）证明：对于方程$x^2 + ax + a - 2 = 0$，其根的判别式为：
$\Delta = a^2 - 4(a - 2) = a^2 - 4a + 8$
配方可得：$\Delta = (a - 2)^2 + 4$
$\because$ 对任意实数$a$，都有$(a - 2)^2 ≥ 0$
$\therefore (a - 2)^2 + 4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$恒成立
$\therefore$ 对于任意实数$a$，该方程总有两个不相等的实数根。
【答案】
(1) $a=2$；
(2) 对于任意实数$a$，方程总有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根的判别式应用，配方法
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，第一问直接考查根的定义的代入应用，难度较低；第二问考查根的判别式的应用，通过配方判断判别式正负是解题关键，整体侧重对基础知识点的掌握考查。
【难度系数】
0.85
