1 如图，二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$A(1,-2),B(0,-5)$。
（1）求该二次函数的表达式及该函数图象的顶点坐标；
（2）当$y≤-2$时，请根据图象直接写出$x$的取值范围。

(1) 将$A(1,-2),B(0,-5)$代入$y=x^2+bx+c$，得$\begin{cases}-2=1+b+c,\\-5=c,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=-5.\end{cases}$
∴ 该二次函数的表达式为$y=x^2+2x-5$。$\because y=x^2+2x-5=(x+1)^2-6$，
∴ 该函数图象的顶点坐标为$(-1,-6)$
(2) $-3≤ x≤ 1$

【分析】
（1）题目给出二次函数的一般式，且已知图象经过两个点，我们可以用待定系数法，将两点坐标代入一般式，得到关于参数b、c的二元一次方程组，求解后即可得到函数表达式；求顶点坐标时，可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接读出顶点坐标，也可使用顶点坐标公式计算，两种方法均符合当前学段要求。
（2）求$y≤-2$时x的取值范围，首先抛物线开口向上，函数值小于等于-2的部分为图象上纵坐标为-2的两个点之间的区域，已知点A(1,-2)满足$y=-2$，结合抛物线的对称轴可找到另一个$y=-2$的点的横坐标，即可直接写出x的取值范围。
【解析】
（1）将$A(1,-2)$、$B(0,-5)$代入$y=x^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}-2=1+b+c\\-5=c\end{cases}$
把$c=-5$代入第一个方程，解得$b=2$。
因此二次函数的表达式为$y=x^2+2x-5$。
将表达式配方为顶点式：
$y=x^2+2x-5=(x+1)^2-1-5=(x+1)^2-6$
根据顶点式的性质，可得函数图象的顶点坐标为$(-1,-6)$。
（2）已知$A(1,-2)$是函数值为-2的点，二次函数的对称轴为直线$x=-1$，由抛物线的对称性可得，另一个函数值为-2的点横坐标为$-1-(1-(-1))=-3$。
因为抛物线开口向上，所以当$y≤-2$时，x的取值范围为$-3≤x≤1$。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$y=x^2+2x-5$，顶点坐标为$(-1,-6)$；
(2) $-3≤x≤1$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点坐标；二次函数与不等式
【点评】
本题属于二次函数基础题，主要考查待定系数法求函数解析式的方法，以及二次函数的对称性、图像和不等式的关联，解题时要结合抛物线开口方向判断函数值的分布，熟练掌握配方法转化顶点式是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2 [2025长春期中]如图,在平面直角坐标系中,三个小正方形的边长均为1,且正方形的边与坐标轴平行,OA边在x轴的正半轴上,OC边在y轴的正半轴上,抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$经过点C,D.
(1) 点C的坐标为,点D的坐标为;
(2) 求抛物线对应的函数表达式;
(3) 将正方形OABC沿x轴向右平移,使点B落在抛物线上,求平移的距离.

(1) $(0,1)$，$(3,3)$
(2) 将$C(0,1),D(3,3)$代入$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$，得$\begin{cases}c=1,\\-\frac{1}{2}×3^2+3b+1=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=\frac{13}{6},\\c=1,\end{cases}$
∴ 抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{13}{6}x+1$
(3) 在$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{13}{6}x+1$中，当$y=1$时，$1=-\frac{1}{2}x^2+\frac{13}{6}x+1$，解得$x_1=0,x_2=\frac{13}{3}$。
∵ 点B向右移动，
∴ 点B落在点$(\frac{13}{3},1)$上。
∵ 点B的初始横坐标为1，
∴ 平移的距离为$\frac{13}{3}-1=\frac{10}{3}$

【分析】
(1) 求点坐标：结合正方形边长为1、边与坐标轴平行的特征，C点在y轴正半轴，OC长为1，因此横坐标为0，纵坐标为1；D点横向距离原点3个单位长度，纵向距离原点3个单位长度，即可得到D点坐标。
(2) 求抛物线表达式：已知抛物线经过C、D两点，采用待定系数法，将两点坐标代入二次函数一般式，得到关于参数b、c的方程组，解方程组求出参数值即可得到函数表达式。
(3) 求平移距离：首先确定原B点坐标为$(1,1)$，沿x轴向右平移时点的纵坐标不变，始终为1，因此令函数中$y=1$，求解对应的x值，舍去不符合平移方向的解，用得到的横坐标减去原B点的横坐标，即可得到平移距离。
【解析】
(1) 由正方形边长为1，OC在y轴正半轴得$C(0,1)$；D点横向距原点3个单位，纵向距原点3个单位，得$D(3,3)$。
(2) 将$C(0,1),D(3,3)$代入$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}c=1\\-\frac{1}{2}×3^2+3b+1=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=\frac{13}{6}\\c=1\end{cases}$
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{13}{6}x+1$。
(3) 原B点坐标为$(1,1)$，沿x轴向右平移时纵坐标不变，令$y=1$，代入解析式得：
$1=-\frac{1}{2}x^2+\frac{13}{6}x+1$
解得$x_1=0,x_2=\frac{13}{3}$，结合向右平移的要求，取$x=\frac{13}{3}$。
平移距离为$\frac{13}{3}-1=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,1)}$，$\boldsymbol{(3,3)}$
(2) $\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{13}{6}x+1}$
(3) $\boldsymbol{\frac{10}{3}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形性质、平移的性质
【点评】
本题结合正方形特征考查二次函数基础应用，解题核心是掌握待定系数法求解析式的方法，以及平移时点的坐标变化规律，侧重基础知识点的综合运用，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.7

3 已知二次函数的图象经过点$(1,0),(2,3),(0,-5)$.
(1) 求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
(2) 将该二次函数的图象向左平移$m$个$(m＞0)$单位长度后恰好经过坐标原点，求$m$的值.

(1) 设二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c$。由题意，得$\begin{cases}a+b+c=0,\\4a+2b+c=3,\\c=-5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=6,\\c=-5.\end{cases}$
∴ 该二次函数的表达式为$y=-x^2+6x-5$。$\because y=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4$，
∴ 该二次函数图象的顶点坐标为$(3,4)$
(2) 将二次函数的图象向左平移$m$个$(m＞0)$单位长度后对应的函数表达式为$y=-(x-3+m)^2+4$。
∵ 将二次函数的图象向左平移$m$个$(m＞0)$单位长度后恰好经过坐标原点，
∴ $-(0-3+m)^2+4=0$，解得$m=5$或$m=1$。
∴ $m$的值为1或5

【分析】
(1) 已知二次函数经过三个普通点，可先设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出系数即可得到函数表达式；再通过配方法将一般式转化为顶点式，就能直接得到顶点坐标。
(2) 函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，向左平移$m$个单位时，将原表达式中的$x$替换为$x+m$，得到平移后的函数表达式；再将原点$(0,0)$代入平移后的表达式，解方程后结合$m＞0$的条件筛选结果即可。
【解析】
(1) 设该二次函数的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
将点$(1,0),(2,3),(0,-5)$分别代入表达式，得：
$\begin{cases}a+b+c=0\\4a+2b+c=3\\c=-5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=6\\c=-5\end{cases}$
∴ 该二次函数的表达式为$y=-x^2+6x-5$。
将表达式配方变形：
$y=-x^2+6x-5=-(x^2-6x+9)+4=-(x-3)^2+4$
∴ 该二次函数图象的顶点坐标为$(3,4)$。
(2) 根据平移“左加右减”的规则，向左平移$m(m＞0)$个单位长度后对应的函数表达式为：
$y=-(x-3+m)^2+4$
∵ 平移后的图象经过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入得：
$-(0-3+m)^2+4=0$
整理得$(m-3)^2=4$，解得$m=5$或$m=1$，均满足$m＞0$的条件。
【答案】
(1) 二次函数的表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+6x-5}$，图象的顶点坐标为$\boldsymbol{(3,4)}$；
(2) $m$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{5}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查对基础知识点的应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，以及函数图象平移的运算规则，整体计算难度不大。
【难度系数】
0.7

4 [2025宁波余姚期末]已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的图象上部分点的横坐标$x$与纵坐标$y$的对应值如下表：
| $x$ | … | $-1$ | $0$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $-2$ | | $1$ | $m$ | … |
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求$m$的值；
（3）写出抛物线的顶点坐标。

(1) 把$(-1,-2),(0,1),(2,1)$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得$\begin{cases}a-b+c=-2,\\c=1,\\4a+2b+c=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=1.\end{cases}$
∴ 该抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2+2x+1$
(2) 把$(3,m)$代入$y=-x^2+2x+1$，得$m=-9+6+1=-2$
(3) $\because y=-(x^2-2x+1)+2=-(x-1)^2+2$，
∴ 该抛物线的顶点坐标为$(1,2)$

【分析】
（1）求抛物线的函数表达式，已知抛物线上3个点的坐标，可将三点坐标代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式；（2）求$m$的值，本质是求$x=3$时对应的函数值，将$x=3$代入已求出的解析式计算即可；（3）求顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标，也可使用顶点坐标公式计算。
【解析】
（1）把$(-1,-2),(0,1),(2,1)$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}a-b+c=-2\\c=1\\4a+2b+c=1\end{cases}$
将$c=1$代入另外两个方程，化简得$\begin{cases}a-b=-3\\2a+b=0\end{cases}$，两式相加解得$a=-1$，代入得$b=2$。
∴ 该抛物线对应的函数表达式为$y=-x^2+2x+1$。
（2）把$x=3$代入$y=-x^2+2x+1$，得：
$m=-3^2+2×3+1=-9+6+1=-2$。
（3）对解析式配方：
$y=-x^2+2x+1=-(x^2-2x+1)+1+1=-(x-1)^2+2$
∴ 该抛物线的顶点坐标为$(1,2)$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+1$；(2) $m=-2$；(3) $(1,2)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察二次函数解析式求解、函数图象点的性质及顶点坐标的求法，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题，是常考的基础类题目。
【难度系数】
0.8