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1[2026河南周口期末]用代入消元法解二元一次方程组$\begin{cases}5x+3y=22,①\\y=x-2②\end{cases}$时,将②代入①,正确的是（ ）
A.$5x+3(x-2)=22$
B.$5x+(x-2)=22$
C.$5x+3(x-2)=66$
D.$5x+(x-2)=66$
A.$5x+3(x-2)=22$
B.$5x+(x-2)=22$
C.$5x+3(x-2)=66$
D.$5x+(x-2)=66$
答案
A 【解析】$\begin{cases}5x+3y=22,①\\y=x-2,②\end{cases}$ 把②代入①,得$5x+3(x-2)=22$,故选 A.
解析
【分析】
本题考查代入消元法的基本操作，解题思路如下：首先明确代入消元的核心是将一个方程中某个未知数的表达式，替换到另一个方程中对应未知数的位置，实现消元。本题中方程②已经直接给出y关于x的表达式y=x-2，只需将方程①中的y全部替换为x-2即可，替换时注意y前面的系数3要和整个(x-2)相乘，其余项保持不变，最后对照选项选出正确结果即可。
【解析】
已知二元一次方程组$\begin{cases}5x+3y=22,①\\y=x-2②\end{cases}$，将②代入①时，把①中所有的$y$替换为$x-2$，注意原方程①中$y$的系数为3，因此替换后$3y$变为$3(x-2)$，其余项保持不变，可得：
$5x+3(x-2)=22$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 代入消元法
2. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是代入消元法的基础考查题，重点注意代入时不要漏乘未知数的系数，熟练掌握代入消元的基本步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查代入消元法的基本操作，解题思路如下：首先明确代入消元的核心是将一个方程中某个未知数的表达式，替换到另一个方程中对应未知数的位置，实现消元。本题中方程②已经直接给出y关于x的表达式y=x-2，只需将方程①中的y全部替换为x-2即可，替换时注意y前面的系数3要和整个(x-2)相乘，其余项保持不变，最后对照选项选出正确结果即可。
【解析】
已知二元一次方程组$\begin{cases}5x+3y=22,①\\y=x-2②\end{cases}$，将②代入①时，把①中所有的$y$替换为$x-2$，注意原方程①中$y$的系数为3，因此替换后$3y$变为$3(x-2)$，其余项保持不变，可得：
$5x+3(x-2)=22$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 代入消元法
2. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是代入消元法的基础考查题，重点注意代入时不要漏乘未知数的系数，熟练掌握代入消元的基本步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2[2026湖南衡阳质检]由方程组$\begin{cases}2x+m=1,\\y-3=m,\end{cases}$可得出$x$与$y$的关系是（ ）
A.$2x+y=4$
B.$2x-y=4$
C.$2x+y=-4$
D.$2x-y=-4$
A.$2x+y=4$
B.$2x-y=4$
C.$2x+y=-4$
D.$2x-y=-4$
答案
A 【解析】$\begin{cases}2x+m=1,①\\y-3=m,②\end{cases}$ 把②代入①,得$2x+y-3=1$,整理得$2x+y=4$,故选 A.
解析
【分析】
本题需要推导x与y的关系，核心思路是消去两个方程中的公共参数m。观察方程组可发现，第二个方程直接给出了m关于y的表达式，因此只需将第二个式子的m代入第一个式子，再整理化简就能得到x和y的关系式。
【解析】
把原方程组标记为：
$\begin{cases}2x+m=1,①\\y-3=m,②\end{cases}$
将②代入①，可得：
$2x+(y-3)=1$
整理等式：$2x+y-3=1$，移项计算得$2x+y=4$。
【答案】
A
【知识点】
代入消元法，等式的性质
【点评】
本题属于消元思想的基础应用，重点考查代入消元的方法，只要掌握参数代换的思路就能快速解题。
【难度系数】
0.9
本题需要推导x与y的关系，核心思路是消去两个方程中的公共参数m。观察方程组可发现，第二个方程直接给出了m关于y的表达式，因此只需将第二个式子的m代入第一个式子，再整理化简就能得到x和y的关系式。
【解析】
把原方程组标记为：
$\begin{cases}2x+m=1,①\\y-3=m,②\end{cases}$
将②代入①，可得：
$2x+(y-3)=1$
整理等式：$2x+y-3=1$，移项计算得$2x+y=4$。
【答案】
A
【知识点】
代入消元法，等式的性质
【点评】
本题属于消元思想的基础应用，重点考查代入消元的方法，只要掌握参数代换的思路就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3[2026 山东德州期末]用代入消元法解下列方程组：
(1) $\begin{cases} y=2x-1, \\ 7x-3y=1; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x+3y=-19, \\ x=1-5y. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} y=2x-1, \\ 7x-3y=1; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x+3y=-19, \\ x=1-5y. \end{cases}$
答案
【解】(1) $\begin{cases} y=2x-1,① \\ 7x-3y=1,② \end{cases}$ 把①代入②,得 $7x-3(2x-1)=1$,解得 $x=-2$. 把 $x=-2$ 代入①,得 $y=2×(-2)-1=-5$,所以原方程组的解是$\begin{cases} x=-2, \\ y=-5. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x+3y=-19,① \\ x=1-5y,② \end{cases}$ 把②代入①,得 $2(1-5y)+3y=-19$,解得 $y=3$. 把 $y=3$ 代入②,得 $x= 1 - 5 × 3 = - 14$, 所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-14, \\ y=3. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x+3y=-19,① \\ x=1-5y,② \end{cases}$ 把②代入①,得 $2(1-5y)+3y=-19$,解得 $y=3$. 把 $y=3$ 代入②,得 $x= 1 - 5 × 3 = - 14$, 所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-14, \\ y=3. \end{cases}$
解析
【分析】
这两个二元一次方程组均有一个方程直接给出了一个未知数关于另一个未知数的表达式，适合用代入消元法求解：第一步，将用一个未知数表示另一个未知数的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程；第二步，解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；第三步，将求得的未知数的值代回原来的表达式，求出另一个未知数的值，最后写出方程组的解即可。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases} y=2x-1,① \\ 7x-3y=1,② \end{cases}$
把①代入②，得 $7x-3(2x-1)=1$，
去括号合并同类项得：$x+3=1$，解得 $x=-2$。
把 $x=-2$ 代入①，得 $y=2×(-2)-1=-5$。
(2) 给方程组标号：$\begin{cases} 2x+3y=-19,① \\ x=1-5y,② \end{cases}$
把②代入①，得 $2(1-5y)+3y=-19$，
去括号合并同类项得：$2-7y=-19$，解得 $y=3$。
把 $y=3$ 代入②，得 $x= 1 - 5 × 3 = - 14$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=-2, \\ y=-5; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=-14, \\ y=3. \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，解一元一次方程，二元一次方程组的解
【点评】
本题是代入消元法的基础应用题型，重点考查代入消元法解二元一次方程组的基本步骤，熟练掌握“代入消元-解一元一次方程-回代求另一个未知数-写解”的流程即可快速解题，计算时注意符号问题避免出错。
【难度系数】
0.8
这两个二元一次方程组均有一个方程直接给出了一个未知数关于另一个未知数的表达式，适合用代入消元法求解：第一步，将用一个未知数表示另一个未知数的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程；第二步，解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；第三步，将求得的未知数的值代回原来的表达式，求出另一个未知数的值，最后写出方程组的解即可。
【解析】
(1) 给方程组标号：$\begin{cases} y=2x-1,① \\ 7x-3y=1,② \end{cases}$
把①代入②，得 $7x-3(2x-1)=1$，
去括号合并同类项得：$x+3=1$，解得 $x=-2$。
把 $x=-2$ 代入①，得 $y=2×(-2)-1=-5$。
(2) 给方程组标号：$\begin{cases} 2x+3y=-19,① \\ x=1-5y,② \end{cases}$
把②代入①，得 $2(1-5y)+3y=-19$，
去括号合并同类项得：$2-7y=-19$，解得 $y=3$。
把 $y=3$ 代入②，得 $x= 1 - 5 × 3 = - 14$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=-2, \\ y=-5; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=-14, \\ y=3. \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，解一元一次方程，二元一次方程组的解
【点评】
本题是代入消元法的基础应用题型，重点考查代入消元法解二元一次方程组的基本步骤，熟练掌握“代入消元-解一元一次方程-回代求另一个未知数-写解”的流程即可快速解题，计算时注意符号问题避免出错。
【难度系数】
0.8
4[2026辽宁沈阳期末]已知$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是二元一次方程组$\begin{cases}mx+ny=8, \\ nx-my=1\end{cases}$的解，则$2m-n$的值为（ ）
A.2
B.4
C.3
D.8
A.2
B.4
C.3
D.8
答案
B 【解析】根据题意可知,$\begin{cases}2m+n=8, \\ 2n-m=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=3, \\ n=2,\end{cases}$ 所以 $2m-n=2×3-2=4$. 故选 B.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据二元一次方程组解的定义，能使方程组中所有方程成立的未知数的值就是方程组的解，因此把已知的$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$代入原方程组，即可得到关于m、n的二元一次方程组；第二步，用代入消元法解新的方程组，求出m和n的具体值；第三步，将m、n的值代入代数式$2m-n$计算出结果即可。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是方程组$\begin{cases}mx+ny=8, \\ nx-my=1\end{cases}$的解，
∴ 将$x=2$、$y=1$代入原方程组，可得：
$\begin{cases}2m + n = 8&① \\ 2n - m = 1&②\end{cases}$
将方程②变形为：$m = 2n - 1$ ③，
把③代入①得：$2(2n - 1) + n = 8$，
去括号得：$4n - 2 + n = 8$，
合并同类项得：$5n = 10$，解得$n=2$，
将$n=2$代入③得：$m = 2×2 - 1 = 3$，
即方程组的解为$\begin{cases}m=3 \\ n=2\end{cases}$，
代入$2m-n$得：$2×3 - 2 = 4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；代入消元法解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查二元一次方程组解的概念的应用，以及代入消元法的运算能力，解题时注意代入数值时不要混淆系数，计算过程注意符号即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，根据二元一次方程组解的定义，能使方程组中所有方程成立的未知数的值就是方程组的解，因此把已知的$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$代入原方程组，即可得到关于m、n的二元一次方程组；第二步，用代入消元法解新的方程组，求出m和n的具体值；第三步，将m、n的值代入代数式$2m-n$计算出结果即可。
【解析】
∵ $\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是方程组$\begin{cases}mx+ny=8, \\ nx-my=1\end{cases}$的解，
∴ 将$x=2$、$y=1$代入原方程组，可得：
$\begin{cases}2m + n = 8&① \\ 2n - m = 1&②\end{cases}$
将方程②变形为：$m = 2n - 1$ ③，
把③代入①得：$2(2n - 1) + n = 8$，
去括号得：$4n - 2 + n = 8$，
合并同类项得：$5n = 10$，解得$n=2$，
将$n=2$代入③得：$m = 2×2 - 1 = 3$，
即方程组的解为$\begin{cases}m=3 \\ n=2\end{cases}$，
代入$2m-n$得：$2×3 - 2 = 4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；代入消元法解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查二元一次方程组解的概念的应用，以及代入消元法的运算能力，解题时注意代入数值时不要混淆系数，计算过程注意符号即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
5[2026浙江温州期中]若实数$x,y$满足$|2x+y+1|+(y+4x)^2=0$,则$x^8y^8$的值是
1
.答案
1 【解析】因为 $|2x+y+1|≥0,(y+4x)^2≥0$,且$|2x+y+1|+(y+4x)^2=0$,所以$|2x+y+1|=0$,$(y+4x)^2=0$,所以$\begin{cases}2x+y+1=0, \\ y+4x=0,\end{cases}$ 所以$\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}, \\ y=-2, \end{cases}$ 所以$x^8y^8=(xy)^8=[\dfrac{1}{2}×(-2)]^8=(-1)^8=1$. 故答案为 1.
解析
【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都等于0。据此可列出关于x、y的二元一次方程组，用代入消元法解方程组得到x、y的值后，计算$x^8y^8$时可以利用积的乘方的逆运算，先计算$xy$的值再求8次方，能简化计算过程，避免单独计算高次幂的繁琐。
【解析】
因为绝对值具有非负性，即$|2x+y+1|≥0$，平方数也具有非负性，即$(y+4x)^2≥0$，且二者的和为0，因此可得：
$\begin{cases}2x+y+1=0 \\ y+4x=0\end{cases}$
用代入消元法解这个方程组：由第二个方程得$y=-4x$，将其代入第一个方程，得$2x-4x+1=0$，即$-2x+1=0$，解得$x=\dfrac{1}{2}$。再将$x=\dfrac{1}{2}$代入$y=-4x$，得$y=-4×\dfrac{1}{2}=-2$。
接下来计算$x^8y^8$，利用积的乘方逆运算公式$a^nb^n=(ab)^n$，可得：
$x^8y^8=(xy)^8=[\dfrac{1}{2}×(-2)]^8=(-1)^8=1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；积的乘方运算
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是熟练掌握非负数的性质，准确列出并求解二元一次方程组，计算高次幂乘积时巧用积的乘方的逆运算可以大幅简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都等于0。据此可列出关于x、y的二元一次方程组，用代入消元法解方程组得到x、y的值后，计算$x^8y^8$时可以利用积的乘方的逆运算，先计算$xy$的值再求8次方，能简化计算过程，避免单独计算高次幂的繁琐。
【解析】
因为绝对值具有非负性，即$|2x+y+1|≥0$，平方数也具有非负性，即$(y+4x)^2≥0$，且二者的和为0，因此可得：
$\begin{cases}2x+y+1=0 \\ y+4x=0\end{cases}$
用代入消元法解这个方程组：由第二个方程得$y=-4x$，将其代入第一个方程，得$2x-4x+1=0$，即$-2x+1=0$，解得$x=\dfrac{1}{2}$。再将$x=\dfrac{1}{2}$代入$y=-4x$，得$y=-4×\dfrac{1}{2}=-2$。
接下来计算$x^8y^8$，利用积的乘方逆运算公式$a^nb^n=(ab)^n$，可得：
$x^8y^8=(xy)^8=[\dfrac{1}{2}×(-2)]^8=(-1)^8=1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；积的乘方运算
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是熟练掌握非负数的性质，准确列出并求解二元一次方程组，计算高次幂乘积时巧用积的乘方的逆运算可以大幅简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
6[2026江苏徐州调研]解下列方程组：
(1) $\begin{cases} 4x - y = 15, \\ 2x + 3y = -3; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3x + 4y = 18, \\ \frac{1}{2}x + y = 4. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} 4x - y = 15, \\ 2x + 3y = -3; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3x + 4y = 18, \\ \frac{1}{2}x + y = 4. \end{cases}$
答案
【解】(1) $\begin{cases} 4x-y=15,① \\ 2x+3y=-3,② \end{cases}$ 由①得 $y=4x-15$. ③ 把③代入②,得 $2x+3(4x-15)=-3$,解得 $x= 3$. 把 $x=3$ 代入③,得 $y=4×3-15=-3$,所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\ y=-3. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3x+4y=18,① \\ \dfrac{1}{2}x+y=4,② \end{cases}$ 由②得 $y=4-\dfrac{1}{2}x$. ③ 把③代入①,得 $3x+4(4-\dfrac{1}{2}x)=18$,解得 $x=2$. 把 $x=2$ 代入③,得 $y=4-\dfrac{1}{2}×2=3$,所以原方程组的解是$\begin{cases} x=2, \\ y=3. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 3x+4y=18,① \\ \dfrac{1}{2}x+y=4,② \end{cases}$ 由②得 $y=4-\dfrac{1}{2}x$. ③ 把③代入①,得 $3x+4(4-\dfrac{1}{2}x)=18$,解得 $x=2$. 把 $x=2$ 代入③,得 $y=4-\dfrac{1}{2}×2=3$,所以原方程组的解是$\begin{cases} x=2, \\ y=3. \end{cases}$
解析
【分析】
这是两组二元一次方程组，可采用代入消元法求解。解题思路为：先观察方程组中未知数的系数，优先选择系数绝对值为1的未知数所在的方程，将该未知数用含另一个未知数的代数式表示；再将得到的代数式代入另一个未变形的方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求解得到一个未知数的值；最后将求得的值回代到之前的代数式，求出另一个未知数的值，即可得到方程组的解。
【解析】
(1) 记方程组$\begin{cases} 4x - y = 15,① \\ 2x + 3y = -3,② \end{cases}$
由①移项得：$y=4x-15$ ③
把③代入②，得$2x+3(4x-15)=-3$，展开合并同类项得$14x=42$，解得$x=3$。
把$x=3$代入③，得$y=4×3-15=-3$。
(2) 记方程组$\begin{cases} 3x + 4y = 18,① \\ \frac{1}{2}x + y = 4,② \end{cases}$
由②移项得：$y=4-\frac{1}{2}x$ ③
把③代入①，得$3x+4(4-\frac{1}{2}x)=18$，展开合并同类项得$x=2$。
把$x=2$代入③，得$y=4-\frac{1}{2}×2=3$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=3 \\ y=-3 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组求解，一元一次方程求解
【点评】
本题是代入消元法的基础应用题型，解题核心是掌握代入消元的步骤，变形时优先选择系数为±1的未知数，可有效降低计算量、减少计算失误，熟练掌握方法后可快速求解这类基础二元一次方程组。
【难度系数】
0.85
这是两组二元一次方程组，可采用代入消元法求解。解题思路为：先观察方程组中未知数的系数，优先选择系数绝对值为1的未知数所在的方程，将该未知数用含另一个未知数的代数式表示；再将得到的代数式代入另一个未变形的方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求解得到一个未知数的值；最后将求得的值回代到之前的代数式，求出另一个未知数的值，即可得到方程组的解。
【解析】
(1) 记方程组$\begin{cases} 4x - y = 15,① \\ 2x + 3y = -3,② \end{cases}$
由①移项得：$y=4x-15$ ③
把③代入②，得$2x+3(4x-15)=-3$，展开合并同类项得$14x=42$，解得$x=3$。
把$x=3$代入③，得$y=4×3-15=-3$。
(2) 记方程组$\begin{cases} 3x + 4y = 18,① \\ \frac{1}{2}x + y = 4,② \end{cases}$
由②移项得：$y=4-\frac{1}{2}x$ ③
把③代入①，得$3x+4(4-\frac{1}{2}x)=18$，展开合并同类项得$x=2$。
把$x=2$代入③，得$y=4-\frac{1}{2}×2=3$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=3 \\ y=-3 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=2 \\ y=3 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组求解，一元一次方程求解
【点评】
本题是代入消元法的基础应用题型，解题核心是掌握代入消元的步骤，变形时优先选择系数为±1的未知数，可有效降低计算量、减少计算失误，熟练掌握方法后可快速求解这类基础二元一次方程组。
【难度系数】
0.85
1 [2025河北邯郸期末,中]已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+3y=n, \\2x+y=n+1,\end{cases}$若$x,y$的值相等,则$n$的值为( )
A.$-1$
B.$-4$
C.$2$
D.$-2$
A.$-1$
B.$-4$
C.$2$
D.$-2$
答案
B 【解析】因为 $x,y$ 的值相等,所以原方程组可化为$\begin{cases} y+3y=n,① \\ 2y+y=n+1,② \end{cases}$ 由①得 $y=\dfrac{1}{4}n$. ③ 把③代入②中得$\dfrac{3}{4}n=n+1$,解得 $n=-4$. 故选 B.
解析
【分析】
解题时首先抓住题干给出的“x,y的值相等”这一关键条件，我们可以将方程组中的x全部替换为y，把原二元一次方程组转化为只含有y和n的方程组，再利用代入消元法消去y，即可求出n的值。
【解析】
因为x,y的值相等，即x=y，所以将原方程组中的x替换为y，可得到：
$\begin{cases} y+3y=n,① \\ 2y+y=n+1,② \end{cases}$
由①化简得：$4y=n$，即$y=\dfrac{1}{4}n$ ③
把③代入②中，得：$\dfrac{3}{4}n=n+1$
移项计算：$\dfrac{3}{4}n - n = 1$，即$-\dfrac{1}{4}n=1$，解得$n=-4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组的解
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题核心是利用已知的x与y的等量关系简化方程组，再通过代入消元求解，熟练掌握代入消元法的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时首先抓住题干给出的“x,y的值相等”这一关键条件，我们可以将方程组中的x全部替换为y，把原二元一次方程组转化为只含有y和n的方程组，再利用代入消元法消去y，即可求出n的值。
【解析】
因为x,y的值相等，即x=y，所以将原方程组中的x替换为y，可得到：
$\begin{cases} y+3y=n,① \\ 2y+y=n+1,② \end{cases}$
由①化简得：$4y=n$，即$y=\dfrac{1}{4}n$ ③
把③代入②中，得：$\dfrac{3}{4}n=n+1$
移项计算：$\dfrac{3}{4}n - n = 1$，即$-\dfrac{1}{4}n=1$，解得$n=-4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
代入消元法，二元一次方程组的解
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题核心是利用已知的x与y的等量关系简化方程组，再通过代入消元求解，熟练掌握代入消元法的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.6
2[中]关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x+y=3a, \\x-2y=9a\end{cases}$的解是二元一次方程$x+3y=24$的一个解，则$a$的值是（ ）
A.$-4$
B.$-2$
C.$2$
D.$4$
A.$-4$
B.$-2$
C.$2$
D.$4$
答案
A 【解析】$\begin{cases}2x+y=3a,① \\ x-2y=9a,②\end{cases}$ 由②得 $x=9a+2y$,③ 把③代入①得 $18a+5y=3a$,解得 $y=-3a$. 把 $y=-3a$ 代入③得 $x=3a$,所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3a, \\ y=-3a. \end{cases}$ 因为关于 $x,y$ 的二元一次方程组$\begin{cases}2x+y=3a, \\ x-2y=9a\end{cases}$的解是二元一次方程 $x+3y=24$ 的一个解,所以 $3a-9a=24$,所以 $a=-4$,故选 A.
解析
【分析】
本题属于含参数的二元一次方程组求解问题，解题思路很清晰：首先我们可以用已经学过的代入消元法求解给出的二元一次方程组，把x、y都用含参数a的式子表示出来；再根据“方程组的解也是二元一次方程x+3y=24的解”这一条件，把用a表示的x、y代入到x+3y=24中，就能得到只含a的一元一次方程，最后解这个一元一次方程就能得到a的值。
【解析】
先对二元一次方程组标注序号：
$\begin{cases}2x+y=3a,① \\ x-2y=9a,②\end{cases}$
1. 变形方程：由②移项可得$x=9a+2y$，记为③。
2. 代入消元求y：把③代入①得$2(9a+2y)+y=3a$，展开计算得$18a+5y=3a$，移项合并同类项得$5y=-15a$，解得$y=-3a$。
3. 回代求x：把$y=-3a$代入③得$x=9a+2×(-3a)=3a$，因此原方程组的解为$\begin{cases} x=3a \\ y=-3a \end{cases}$。
4. 代入第三个方程求a：把$\begin{cases} x=3a \\ y=-3a \end{cases}$代入$x+3y=24$，得$3a + 3×(-3a)=24$，化简得$-6a=24$，解得$a=-4$。
【答案】
A
【知识点】
代入消元法；二元一次方程的解；一元一次方程求解
【点评】
本题是代入消元法的典型应用题型，核心是理解方程解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数取值就是方程的解，解题关键是先用参数表示出方程组的解，再代入第三个方程转化为一元一次方程求解，是考试中常见的基础中档题。
【难度系数】
0.6
本题属于含参数的二元一次方程组求解问题，解题思路很清晰：首先我们可以用已经学过的代入消元法求解给出的二元一次方程组，把x、y都用含参数a的式子表示出来；再根据“方程组的解也是二元一次方程x+3y=24的解”这一条件，把用a表示的x、y代入到x+3y=24中，就能得到只含a的一元一次方程，最后解这个一元一次方程就能得到a的值。
【解析】
先对二元一次方程组标注序号：
$\begin{cases}2x+y=3a,① \\ x-2y=9a,②\end{cases}$
1. 变形方程：由②移项可得$x=9a+2y$，记为③。
2. 代入消元求y：把③代入①得$2(9a+2y)+y=3a$，展开计算得$18a+5y=3a$，移项合并同类项得$5y=-15a$，解得$y=-3a$。
3. 回代求x：把$y=-3a$代入③得$x=9a+2×(-3a)=3a$，因此原方程组的解为$\begin{cases} x=3a \\ y=-3a \end{cases}$。
4. 代入第三个方程求a：把$\begin{cases} x=3a \\ y=-3a \end{cases}$代入$x+3y=24$，得$3a + 3×(-3a)=24$，化简得$-6a=24$，解得$a=-4$。
【答案】
A
【知识点】
代入消元法；二元一次方程的解；一元一次方程求解
【点评】
本题是代入消元法的典型应用题型，核心是理解方程解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数取值就是方程的解，解题关键是先用参数表示出方程组的解，再代入第三个方程转化为一元一次方程求解，是考试中常见的基础中档题。
【难度系数】
0.6
3[中]两位同学在解方程组时，甲同学由$\begin{cases}ax+by=2, \\ cx-y=-4\end{cases}$正确地解出$\begin{cases}x=3, \\ y=-2,\end{cases}$乙同学因把$c$写错了解得$\begin{cases}x=-2, \\ y=2,\end{cases}$则$a+b+c$的值为（ ）
A.3
B.0
C.1
D.7
A.3
B.0
C.1
D.7
答案
D 【解析】把 $\begin{cases}x=3, \\ y=-2\end{cases}$ 代入方程组得$\begin{cases}3a-2b=2, \\ 3c+2=-4;\end{cases}$ 把 $\begin{cases}x=-2, \\ y=2,\end{cases}$ 代入 $ax+by=2$,得 $-2a+2b=2$,即$-a+b=1$,联立得$\begin{cases}3a-2b=2, \\ -a+b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=4, \\ b=5.\end{cases}$ 由 $3c+2=-4$, 得 $c=-2$, 则 $a+b+c=4+5-2=7$.
解析
【分析】
解题的关键是明确二元一次方程组解的含义：甲同学得到的是正确解，因此同时满足原方程组的两个方程，代入后可得到关于a、b的一个方程，以及直接求c的方程；乙同学仅把c写错，说明他的解满足不含c的第一个方程$ax+by=2$，代入后得到另一个关于a、b的方程，联立两个关于a、b的方程，用代入消元法即可求出a、b的值，最后计算$a+b+c$的结果。
【解析】
解：把甲的正确解$\begin{cases}x=3, \\ y=-2\end{cases}$代入原方程组，得：
$\begin{cases}3a - 2b = 2 \quad ① \\ 3c - (-2) = -4 \quad ②\end{cases}$
由②式计算得：$3c + 2 = -4$，解得$c = -2$。
乙同学仅写错c，因此他的解$\begin{cases}x=-2, \\ y=2\end{cases}$满足方程$ax+by=2$，代入得：
$-2a + 2b = 2$，化简得$-a + b = 1 \quad ③$
联立①③组成二元一次方程组$\begin{cases}3a - 2b = 2 \\ -a + b = 1\end{cases}$
由③式变形得：$b = a + 1$，代入①式：
$3a - 2(a + 1) = 2$
$3a - 2a - 2 = 2$
解得$a = 4$
把$a=4$代入$b = a + 1$，得$b = 4 + 1 = 5$
因此$a + b + c = 4 + 5 + (-2) = 7$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解的意义；代入消元法解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题的易错点是忽略乙同学的解仍然满足不含错系数c的方程，只要理清两个解对应满足的方程，结合代入消元法就能顺利求解，属于基础中档题。
【难度系数】
0.7
解题的关键是明确二元一次方程组解的含义：甲同学得到的是正确解，因此同时满足原方程组的两个方程，代入后可得到关于a、b的一个方程，以及直接求c的方程；乙同学仅把c写错，说明他的解满足不含c的第一个方程$ax+by=2$，代入后得到另一个关于a、b的方程，联立两个关于a、b的方程，用代入消元法即可求出a、b的值，最后计算$a+b+c$的结果。
【解析】
解：把甲的正确解$\begin{cases}x=3, \\ y=-2\end{cases}$代入原方程组，得：
$\begin{cases}3a - 2b = 2 \quad ① \\ 3c - (-2) = -4 \quad ②\end{cases}$
由②式计算得：$3c + 2 = -4$，解得$c = -2$。
乙同学仅写错c，因此他的解$\begin{cases}x=-2, \\ y=2\end{cases}$满足方程$ax+by=2$，代入得：
$-2a + 2b = 2$，化简得$-a + b = 1 \quad ③$
联立①③组成二元一次方程组$\begin{cases}3a - 2b = 2 \\ -a + b = 1\end{cases}$
由③式变形得：$b = a + 1$，代入①式：
$3a - 2(a + 1) = 2$
$3a - 2a - 2 = 2$
解得$a = 4$
把$a=4$代入$b = a + 1$，得$b = 4 + 1 = 5$
因此$a + b + c = 4 + 5 + (-2) = 7$
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解的意义；代入消元法解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题的易错点是忽略乙同学的解仍然满足不含错系数c的方程，只要理清两个解对应满足的方程，结合代入消元法就能顺利求解，属于基础中档题。
【难度系数】
0.7
4[2025北京昌平区期末,较难]小明为了方便探究关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=9(a≠0,b≠0)$的解的规律,把$x$和$y$的部分值填入下表.
(1)$p$的值为
(2)下列方程中,与$ax+by=9$组成方程组,在$-7＜x＜8$范围内有解的是
①$2x+y=-5$;②$x+2y=-4$;③$3x-y=1$.
(3)已知关于$x,y$的二元一次方程$cx+dy=1(c≠0,d≠0)$的部分解如下表所示.
求关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+by=9,\\cx+dy=1\end{cases}$的解.
(1)$p$的值为
3
.(2)下列方程中,与$ax+by=9$组成方程组,在$-7＜x＜8$范围内有解的是
③
.(填正确的序号)①$2x+y=-5$;②$x+2y=-4$;③$3x-y=1$.
(3)已知关于$x,y$的二元一次方程$cx+dy=1(c≠0,d≠0)$的部分解如下表所示.
求关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+by=9,\\cx+dy=1\end{cases}$的解.
答案
【解】(1)由题意得$\begin{cases}-4a+7b=9, \\ 2a+b=9,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=3, \\ b=3,\end{cases}$ 则原方程为 $3x+3y=9$,即 $y=3-x$. 当 $x=0$ 时,$y=3-0=3$,即 $p=3$. 故答案为 3.
(2)由(1)得 $x+y=3$. 方程组$\begin{cases}x+y=3, \\ 2x+y=-5\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-8, \\ y=11,\end{cases}$ 故①不符合题意. 方程组$\begin{cases}x+y=3, \\ x+2y=-4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=10, \\ y=-7,\end{cases}$ 故 ② 不符合题意. 方程组$\begin{cases}x+y=3, \\ 3x-y=1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1, \\ y=2,\end{cases}$ 故③符合题意. 故答案为③.
(3)把 $x=-7,y=-2$ 和 $x=8,y=13$ 代入 $cx+dy=1$,得$\begin{cases}-7c-2d=1, \\ 8c+13d=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases} c=-\dfrac{1}{5}, \\ d=\dfrac{1}{5}, \end{cases}$ 所以 $cx+dy=1$ 可化为$-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{5}y=1$,即 $y-x=5$,所以原方程组变为$\begin{cases}x+y=3, \\ y-x=5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-1, \\ y=4.\end{cases}$ 故方程组$\begin{cases}x+y=3, \\ y-x=5\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-1, \\ y=4.\end{cases}$
(2)由(1)得 $x+y=3$. 方程组$\begin{cases}x+y=3, \\ 2x+y=-5\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-8, \\ y=11,\end{cases}$ 故①不符合题意. 方程组$\begin{cases}x+y=3, \\ x+2y=-4\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=10, \\ y=-7,\end{cases}$ 故 ② 不符合题意. 方程组$\begin{cases}x+y=3, \\ 3x-y=1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1, \\ y=2,\end{cases}$ 故③符合题意. 故答案为③.
(3)把 $x=-7,y=-2$ 和 $x=8,y=13$ 代入 $cx+dy=1$,得$\begin{cases}-7c-2d=1, \\ 8c+13d=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases} c=-\dfrac{1}{5}, \\ d=\dfrac{1}{5}, \end{cases}$ 所以 $cx+dy=1$ 可化为$-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{5}y=1$,即 $y-x=5$,所以原方程组变为$\begin{cases}x+y=3, \\ y-x=5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-1, \\ y=4.\end{cases}$ 故方程组$\begin{cases}x+y=3, \\ y-x=5\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-1, \\ y=4.\end{cases}$
解析
【分析】
(1) 要得到p的值，首先需要确定方程$ax+by=9$中$a$、$b$的取值。我们可以将表格中已知的两组$x、y$的解代入方程，得到关于$a、b$的二元一次方程组，解出$a、b$后即可得到原方程的具体形式，再将$x=0$代入原方程就能求出对应$y$的值也就是$p$。
(2) 要判断哪个方程和$ax+by=9$组成的方程组在$-7＜x＜8$范围内有解，首先根据(1)的结果把$ax+by=9$化简，再分别和三个选项的方程联立求解，得到$x$的值后判断是否在给定范围内即可。
(3) 要求两个方程组成的方程组的解，首先仿照(1)的方法，将$cx+dy=1$的两组已知解代入，求出$c、d$的值，得到$cx+dy=1$的具体形式，再和$ax+by=9$联立，解二元一次方程组就能得到结果。
【解析】
(1) 根据题意，将已知的两组解$\begin{cases}x=-4\\y=7\end{cases}$和$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$代入$ax+by=9$，得：
$\begin{cases}-4a+7b=9 \\ 2a+b=9\end{cases}$
将第二个方程乘2得$4a+2b=18$，与第一个方程相加得$9b=27$，解得$b=3$，把$b=3$代入$2a+b=9$，得$2a+3=9$，解得$a=3$。
所以原方程为$3x+3y=9$，化简得$x+y=3$。当$x=0$时，$y=3-0=3$，即$p=3$。
(2) 由(1)得原方程为$x+y=3$，分别联立三个选项的方程求解：
① 联立$\begin{cases}x+y=3 \\ 2x+y=-5\end{cases}$，用第二个方程减第一个方程得$x=-8$，$-8＜-7$，不在$-7＜x＜8$范围内，不符合题意；
② 联立$\begin{cases}x+y=3 \\ x+2y=-4\end{cases}$，用第二个方程减第一个方程得$y=-7$，代入第一个方程得$x=10$，$10＞8$，不在$-7＜x＜8$范围内，不符合题意；
③ 联立$\begin{cases}x+y=3 \\ 3x-y=1\end{cases}$，两个方程相加得$4x=4$，解得$x=1$，代入第一个方程得$y=2$，$x=1$在$-7＜x＜8$范围内，符合题意。
(3) 将$cx+dy=1$的两组已知解$\begin{cases}x=-7\\y=-2\end{cases}$和$\begin{cases}x=8\\y=13\end{cases}$代入方程，得：
$\begin{cases}-7c-2d=1 \\ 8c+13d=1\end{cases}$
将第一个方程乘13得$-91c-26d=13$，第二个方程乘2得$16c+26d=2$，两式相加得$-75c=15$，解得$c=-\frac{1}{5}$，把$c=-\frac{1}{5}$代入$-7c-2d=1$，得$\frac{7}{5}-2d=1$，解得$d=\frac{1}{5}$。
所以$cx+dy=1$化简为$-\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}y=1$，即$y-x=5$。
联立方程组$\begin{cases}x+y=3 \\ y-x=5\end{cases}$，两式相加得$2y=8$，解得$y=4$，代入$x+y=3$得$x=-1$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) $\boxed{③}$
(3) $\boxed{\begin{cases}x=-1 \\ y=4\end{cases}}$
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 解二元一次方程组
3. 待定系数法
【点评】
本题综合考查了二元一次方程（组）的相关知识，解题核心是利用待定系数法先求出方程中的未知系数，再根据题意逐步求解，需要学生熟练掌握二元一次方程组的解法，同时注意按要求检验解是否符合给定的取值范围。
【难度系数】
0.5
(1) 要得到p的值，首先需要确定方程$ax+by=9$中$a$、$b$的取值。我们可以将表格中已知的两组$x、y$的解代入方程，得到关于$a、b$的二元一次方程组，解出$a、b$后即可得到原方程的具体形式，再将$x=0$代入原方程就能求出对应$y$的值也就是$p$。
(2) 要判断哪个方程和$ax+by=9$组成的方程组在$-7＜x＜8$范围内有解，首先根据(1)的结果把$ax+by=9$化简，再分别和三个选项的方程联立求解，得到$x$的值后判断是否在给定范围内即可。
(3) 要求两个方程组成的方程组的解，首先仿照(1)的方法，将$cx+dy=1$的两组已知解代入，求出$c、d$的值，得到$cx+dy=1$的具体形式，再和$ax+by=9$联立，解二元一次方程组就能得到结果。
【解析】
(1) 根据题意，将已知的两组解$\begin{cases}x=-4\\y=7\end{cases}$和$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$代入$ax+by=9$，得：
$\begin{cases}-4a+7b=9 \\ 2a+b=9\end{cases}$
将第二个方程乘2得$4a+2b=18$，与第一个方程相加得$9b=27$，解得$b=3$，把$b=3$代入$2a+b=9$，得$2a+3=9$，解得$a=3$。
所以原方程为$3x+3y=9$，化简得$x+y=3$。当$x=0$时，$y=3-0=3$，即$p=3$。
(2) 由(1)得原方程为$x+y=3$，分别联立三个选项的方程求解：
① 联立$\begin{cases}x+y=3 \\ 2x+y=-5\end{cases}$，用第二个方程减第一个方程得$x=-8$，$-8＜-7$，不在$-7＜x＜8$范围内，不符合题意；
② 联立$\begin{cases}x+y=3 \\ x+2y=-4\end{cases}$，用第二个方程减第一个方程得$y=-7$，代入第一个方程得$x=10$，$10＞8$，不在$-7＜x＜8$范围内，不符合题意；
③ 联立$\begin{cases}x+y=3 \\ 3x-y=1\end{cases}$，两个方程相加得$4x=4$，解得$x=1$，代入第一个方程得$y=2$，$x=1$在$-7＜x＜8$范围内，符合题意。
(3) 将$cx+dy=1$的两组已知解$\begin{cases}x=-7\\y=-2\end{cases}$和$\begin{cases}x=8\\y=13\end{cases}$代入方程，得：
$\begin{cases}-7c-2d=1 \\ 8c+13d=1\end{cases}$
将第一个方程乘13得$-91c-26d=13$，第二个方程乘2得$16c+26d=2$，两式相加得$-75c=15$，解得$c=-\frac{1}{5}$，把$c=-\frac{1}{5}$代入$-7c-2d=1$，得$\frac{7}{5}-2d=1$，解得$d=\frac{1}{5}$。
所以$cx+dy=1$化简为$-\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}y=1$，即$y-x=5$。
联立方程组$\begin{cases}x+y=3 \\ y-x=5\end{cases}$，两式相加得$2y=8$，解得$y=4$，代入$x+y=3$得$x=-1$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) $\boxed{③}$
(3) $\boxed{\begin{cases}x=-1 \\ y=4\end{cases}}$
【知识点】
1. 二元一次方程的解
2. 解二元一次方程组
3. 待定系数法
【点评】
本题综合考查了二元一次方程（组）的相关知识，解题核心是利用待定系数法先求出方程中的未知系数，再根据题意逐步求解，需要学生熟练掌握二元一次方程组的解法，同时注意按要求检验解是否符合给定的取值范围。
【难度系数】
0.5
