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1[2026河北唐山质检,中]如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过点P分别作两坐标轴的垂线,垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为6,则该直线的函数表达式是 (
A.$y=-2x+3$
B.$y=-2x+6$
C.$y=-x+3$
D.$y=-x+6$
(第1题图)
(第2题图)
C
)A.$y=-2x+3$
B.$y=-2x+6$
C.$y=-x+3$
D.$y=-x+6$
(第1题图)
(第2题图)
答案
1. C 【解析】设过点 P 向坐标轴作的垂线在 x 轴、y 轴上的垂足分别是 D,C,如图. 设 P 点坐标为 (x,y).因为 P 点在第一象限,所以 PD=y,PC=x. 因为长方形 PDOC 的周长为6,所以 2(x+y)=6,所以 x+y=3,即该直线的函数表达式是 y=-x+3,故选 C.
解析
【分析】
要确定直线的函数表达式，可先设线段AB上任意一点P的坐标为(x,y)，过P向两坐标轴作垂线后，围成的长方形的相邻两边长恰好对应P点的横坐标x和纵坐标y。已知长方形周长为6，结合周长公式即可得到x与y的数量关系，由于P是直线上任意一点，该数量关系就是直线的函数表达式。
【解析】
设点P的坐标为(x,y)（x＞0，y＞0），过点P向x轴、y轴作垂线，围成的长方形的两组对边长度分别为x和y。
根据长方形周长公式可得：$2(x+y)=6$，
化简得：$x+y=3$，整理为一次函数的标准形式为$y=-x+3$。
因为P是线段AB上任意一点（不包括端点），因此直线AB上所有点都满足该式，即直线的函数表达式为$y=-x+3$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数解析式，矩形周长计算，点的坐标意义
【点评】
本题是一次函数的基础应用型题目，解题核心是将几何图形的周长条件转化为点的横、纵坐标的数量关系，进而得到函数表达式，较好地融合了代数与几何的基础知识点。
【难度系数】
0.7
要确定直线的函数表达式，可先设线段AB上任意一点P的坐标为(x,y)，过P向两坐标轴作垂线后，围成的长方形的相邻两边长恰好对应P点的横坐标x和纵坐标y。已知长方形周长为6，结合周长公式即可得到x与y的数量关系，由于P是直线上任意一点，该数量关系就是直线的函数表达式。
【解析】
设点P的坐标为(x,y)（x＞0，y＞0），过点P向x轴、y轴作垂线，围成的长方形的两组对边长度分别为x和y。
根据长方形周长公式可得：$2(x+y)=6$，
化简得：$x+y=3$，整理为一次函数的标准形式为$y=-x+3$。
因为P是线段AB上任意一点（不包括端点），因此直线AB上所有点都满足该式，即直线的函数表达式为$y=-x+3$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数解析式，矩形周长计算，点的坐标意义
【点评】
本题是一次函数的基础应用型题目，解题核心是将几何图形的周长条件转化为点的横、纵坐标的数量关系，进而得到函数表达式，较好地融合了代数与几何的基础知识点。
【难度系数】
0.7
2[2025山西太原质检,中]如图,在平面直角坐标系中,四边形AOCB是长方形,$A(9,0)$,$B(9,3)$,$C(0,3)$.将$△ OAB$沿直线$OB$折叠,此时点$A$落在点$D$处,$OD$与$BC$交于点$E$,且$OE=BE$,则$OD$所在直线的函数表达式为 (
A.$y=\frac{4}{5}x$
B.$y=\frac{5}{4}x$
C.$y=\frac{3}{4}x$
D.$y=\frac{4}{3}x$
C
)A.$y=\frac{4}{5}x$
B.$y=\frac{5}{4}x$
C.$y=\frac{3}{4}x$
D.$y=\frac{4}{3}x$
答案
2. C 【解析】因为四边形 AOCB 是长方形,A(9,0),B(9,3),C(0,3),所以∠OCE=90°,AB=OC=3,AO=BC=9. 设点 E 的坐标为 (m,3),则 OE=BE=9-m,CE=m. 在 Rt△OCE 中,OC=3,CE=m,OE=9-m,所以 $(9-m)^2=3^2+m^2$,所以 m=4,所以点 E 的坐标为 (4,3). 设OD 所在直线的函数表达式为 y=kx,将点E(4,3)代入 y=kx,得 3=4k,解得 $k=\dfrac{3}{4}$,所以OD 所在直线的函数表达式为 $y=\dfrac{3}{4}x$. 故选 C.
解析
【分析】
要解本题，首先明确OD是过原点的直线，其函数表达式为正比例函数$y=kx$，因此只需找到OD上任意一点的坐标即可求解。首先结合长方形AOCB的坐标特征，可知BC边平行于x轴，因此OD与BC的交点E的纵坐标为3，只需计算E的横坐标：由$OE=BE$，可设E的坐标为$(m,3)$，用含m的式子表示出OE、CE的长度，再在$Rt△OCE$中利用勾股定理列方程求出m的值，得到E点坐标后代入正比例函数表达式求出k，即可得到OD的函数解析式。
【解析】
∵四边形AOCB是长方形，$A(9,0)$，$B(9,3)$，$C(0,3)$，
∴$∠ OCE=90°$，$AB=OC=3$，$AO=BC=9$。
设点E的坐标为$(m,3)$，则$CE=m$，$BE=BC-CE=9-m$，
∵$OE=BE$，
∴$OE=9-m$。
在$Rt△OCE$中，由勾股定理得：$OE^2=OC^2+CE^2$，
代入得：$(9-m)^2=3^2+m^2$，
展开计算：$81-18m+m^2=9+m^2$，
化简得：$18m=72$，解得$m=4$，
∴点E的坐标为$(4,3)$。
设OD所在直线的函数表达式为$y=kx$（$k≠0$），
将$E(4,3)$代入得：$3=4k$，解得$k=\frac{3}{4}$，
∴OD所在直线的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求解析式，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何图形的综合题，解题的关键是结合矩形的性质，利用勾股定理求出直线OD上点E的坐标，再用待定系数法求解函数表达式，较好地考察了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
要解本题，首先明确OD是过原点的直线，其函数表达式为正比例函数$y=kx$，因此只需找到OD上任意一点的坐标即可求解。首先结合长方形AOCB的坐标特征，可知BC边平行于x轴，因此OD与BC的交点E的纵坐标为3，只需计算E的横坐标：由$OE=BE$，可设E的坐标为$(m,3)$，用含m的式子表示出OE、CE的长度，再在$Rt△OCE$中利用勾股定理列方程求出m的值，得到E点坐标后代入正比例函数表达式求出k，即可得到OD的函数解析式。
【解析】
∵四边形AOCB是长方形，$A(9,0)$，$B(9,3)$，$C(0,3)$，
∴$∠ OCE=90°$，$AB=OC=3$，$AO=BC=9$。
设点E的坐标为$(m,3)$，则$CE=m$，$BE=BC-CE=9-m$，
∵$OE=BE$，
∴$OE=9-m$。
在$Rt△OCE$中，由勾股定理得：$OE^2=OC^2+CE^2$，
代入得：$(9-m)^2=3^2+m^2$，
展开计算：$81-18m+m^2=9+m^2$，
化简得：$18m=72$，解得$m=4$，
∴点E的坐标为$(4,3)$。
设OD所在直线的函数表达式为$y=kx$（$k≠0$），
将$E(4,3)$代入得：$3=4k$，解得$k=\frac{3}{4}$，
∴OD所在直线的函数表达式为$y=\frac{3}{4}x$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求解析式，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何图形的综合题，解题的关键是结合矩形的性质，利用勾股定理求出直线OD上点E的坐标，再用待定系数法求解函数表达式，较好地考察了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
3[2025河南南阳质检,中]如图,将含45°角的直角三角尺放置在平面直角坐标系中,其中A(-3,0),B(0,2),则直线BC的函数表达式为
(第3题图)
(第4题图)
$y=-\dfrac{1}{5}x+2$
.(第3题图)
(第4题图)
答案
3. $y=-\dfrac{1}{5}x+2$ 【解析】如图所示,过点 C 作CD⊥x 轴于点 D,所以∠CDA=90°,所以∠ACD+∠CAD=90°. 由题意得∠CAB=90°,所以∠CAD+∠BAO=90°,所以∠ACD=∠BAO. 又因为 CA=AB,∠AOB=∠CDA=90°,所以△ACD≌△BAO(AAS). 因为 A(-3,0),B(0,2),所以 AO=3,BO=2,所以 AO=CD=3,AD=OB=2,所以 DO=5,所以 C(-5,3). 设直线 BC 的函数表达式为 y=kx+b,将 B(0,2),C(-5,3)代入,得-5k+b=3,b=2,解得$k=-\dfrac{1}{5},b=2$,所以 $y=-\dfrac{1}{5}x+2$. 故答案为 $y=-\dfrac{1}{5}x+2$.
解析
【分析】
要确定直线BC的函数表达式，已知点B的坐标，需先求出点C的坐标。由题意可知△CAB是等腰直角三角形，∠CAB=90°，AC=AB，针对坐标系中直角顶点在x轴上的这类问题，我们可以通过过点C作x轴的垂线，构造“K型”全等三角形，利用全等三角形的性质求出点C的坐标，再用待定系数法求直线BC的解析式即可。
【解析】
过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠CDA=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°。
由题意得∠CAB=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°，
∴∠ACD=∠BAO。
在△ACD和△BAO中：
$\{\begin{array}{l}∠ CDA=∠ AOB=90°\\∠ ACD=∠ BAO\\AC=AB\end{array} $
∴△ACD≌△BAO(AAS)。
已知A(-3,0)，B(0,2)，
∴AO=3，BO=2。
由全等性质得：CD=AO=3，AD=OB=2。
∵点A的横坐标为-3，AD=2，
∴点D的横坐标为-3-2=-5，即OD=5，又CD=3，
∴C(-5,3)。
设直线BC的函数表达式为$y=kx+b$，将B(0,2)、C(-5,3)代入解析式：
当x=0时，$b=2$；
将$b=2$，x=-5，y=3代入得：$-5k+2=3$，解得$k=-\dfrac{1}{5}$。
∴直线BC的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{5}x+2$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{5}x+2$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何、一次函数结合的综合题，解题核心是构造“K型”全等三角形求得未知点坐标，再用待定系数法求解析式，是一次函数章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.6
要确定直线BC的函数表达式，已知点B的坐标，需先求出点C的坐标。由题意可知△CAB是等腰直角三角形，∠CAB=90°，AC=AB，针对坐标系中直角顶点在x轴上的这类问题，我们可以通过过点C作x轴的垂线，构造“K型”全等三角形，利用全等三角形的性质求出点C的坐标，再用待定系数法求直线BC的解析式即可。
【解析】
过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠CDA=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°。
由题意得∠CAB=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°，
∴∠ACD=∠BAO。
在△ACD和△BAO中：
$\{\begin{array}{l}∠ CDA=∠ AOB=90°\\∠ ACD=∠ BAO\\AC=AB\end{array} $
∴△ACD≌△BAO(AAS)。
已知A(-3,0)，B(0,2)，
∴AO=3，BO=2。
由全等性质得：CD=AO=3，AD=OB=2。
∵点A的横坐标为-3，AD=2，
∴点D的横坐标为-3-2=-5，即OD=5，又CD=3，
∴C(-5,3)。
设直线BC的函数表达式为$y=kx+b$，将B(0,2)、C(-5,3)代入解析式：
当x=0时，$b=2$；
将$b=2$，x=-5，y=3代入得：$-5k+2=3$，解得$k=-\dfrac{1}{5}$。
∴直线BC的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{5}x+2$。
【答案】
$y=-\dfrac{1}{5}x+2$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何、一次函数结合的综合题，解题核心是构造“K型”全等三角形求得未知点坐标，再用待定系数法求解析式，是一次函数章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.6
4[2025广东汕头调研,中]如图,已知A(2,3),B(0,2),在x轴上找一点C,使得|AC-BC|的值最大,则此时点C的坐标为
$(-4,0)$
.答案
4. $(-4,0)$ 【解析】如图所示,连接 AB 并延长交 x 轴于点 C,此时|AC-BC|的值最大,|AC-BC|=AB. 设直线 AB 的表达式为 y=kx+b,将点 A(2,3),B(0,2)代入,得 2k+b=3,b=2,所以 $k=\dfrac{1}{2},b=2$. 故直线 AB 的表达式为 $y=\dfrac{1}{2}x+2$. 令 y=0,则$\dfrac{1}{2}x+2=0$,解得 x=-4,故点 C 的坐标为 (-4,0). 故答案为 (-4,0).
解析
【分析】
要解决在x轴上找一点C使|AC-BC|最大的问题，首先根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，若A、B、C三点不共线，△ABC中|AC-BC|＜AB，此时差值小于AB；只有当A、B、C三点共线，即点C在直线AB与x轴的交点处时，|AC-BC|=AB，此时差值最大。确定点C的位置后，只需用待定系数法求出直线AB的解析式，再求直线AB与x轴的交点坐标即可。
【解析】
根据三角形三边关系可知，当点C为直线AB与x轴的交点时，|AC-BC|的值最大，最大值为AB的长度。
设直线AB的表达式为$y=kx+b$（$k\ne0$），
将$A(2,3)$、$B(0,2)$代入表达式，可得：
$\begin{cases}2k+b=3\\b=2\end{cases}$
将$b=2$代入$2k+b=3$，解得$k=\frac{1}{2}$，
因此直线AB的表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
因为点C在x轴上，纵坐标为0，令$y=0$，得：
$\frac{1}{2}x+2=0$
解得$x=-4$，
所以点C的坐标为$(-4,0)$。
【答案】
$(-4,0)$
【知识点】
三角形三边关系；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是几何最值与一次函数结合的典型题型，解题的关键是先通过几何性质确定最值对应点的位置，再结合一次函数的相关知识求解，能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
要解决在x轴上找一点C使|AC-BC|最大的问题，首先根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，若A、B、C三点不共线，△ABC中|AC-BC|＜AB，此时差值小于AB；只有当A、B、C三点共线，即点C在直线AB与x轴的交点处时，|AC-BC|=AB，此时差值最大。确定点C的位置后，只需用待定系数法求出直线AB的解析式，再求直线AB与x轴的交点坐标即可。
【解析】
根据三角形三边关系可知，当点C为直线AB与x轴的交点时，|AC-BC|的值最大，最大值为AB的长度。
设直线AB的表达式为$y=kx+b$（$k\ne0$），
将$A(2,3)$、$B(0,2)$代入表达式，可得：
$\begin{cases}2k+b=3\\b=2\end{cases}$
将$b=2$代入$2k+b=3$，解得$k=\frac{1}{2}$，
因此直线AB的表达式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
因为点C在x轴上，纵坐标为0，令$y=0$，得：
$\frac{1}{2}x+2=0$
解得$x=-4$，
所以点C的坐标为$(-4,0)$。
【答案】
$(-4,0)$
【知识点】
三角形三边关系；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是几何最值与一次函数结合的典型题型，解题的关键是先通过几何性质确定最值对应点的位置，再结合一次函数的相关知识求解，能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
5[中]如图,一次函数$y=\frac{3}{4}x+6$的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,过点B的直线l平分$△ ABO$的面积,与x轴交于点C,则直线l的函数表达式为
$y=\dfrac{3}{2}x+6$
.答案
5. $y=\dfrac{3}{2}x+6$ 【解析】因为一次函数 $y=\dfrac{3}{4}x+6$ 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B,令 y=0,得x=-8,令 x=0,得 y=6,所以 A(-8,0),B(0,6). 因为过点 B 的直线 l 平分△ABO 的面积,所以 AC=OC,所以 C(-4,0). 设直线 l 的函数表达式为 y=kx+6. 把 C(-4,0)代入得-4k+6=0,解得 $k=\dfrac{3}{2}$,所以直线 l 的函数表达式为$y=\dfrac{3}{2}x+6$,故答案为 $y=\dfrac{3}{2}x+6$.
解析
【分析】
首先根据一次函数与坐标轴交点的求法，分别令函数式中y=0、x=0，就能得到A、B两点的坐标。再分析直线l平分△ABO面积的条件：△ABC和△OBC有共同的高（点B到x轴的垂线段长度），同高的两个三角形面积相等则底边长相等，由此可知点C是线段AO的中点，即可求出点C的坐标。最后用待定系数法，将点B和点C的坐标代入直线表达式，就能求出直线l的函数解析式。
【解析】
先求点A、B的坐标：
对于一次函数$y=\frac{3}{4}x+6$，
令$y=0$，则$\frac{3}{4}x+6=0$，解得$x=-8$，故点A坐标为$(-8,0)$；
令$x=0$，则$y=6$，故点B坐标为$(0,6)$。
因为过点B的直线l平分$△ ABO$的面积，$△ ABC$与$△ OBC$同高（高为点B到x轴的距离），所以两三角形的底相等，即$AC=OC$，点C为AO的中点，因此点C的横坐标为$\frac{-8+0}{2}=-4$，纵坐标为0，即$C(-4,0)$。
设直线l的函数表达式为$y=kx+b$，因为直线l过点$B(0,6)$，代入得$b=6$，即表达式为$y=kx+6$。
将$C(-4,0)$代入$y=kx+6$，得：
$-4k+6=0$
解得$k=\frac{3}{2}$。
因此直线l的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x+6$。
【答案】
$y=\dfrac{3}{2}x+6$
【知识点】
一次函数交点求法，三角形面积性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数的常规综合题，解题的核心是通过面积相等的条件推导出点C是OA的中点，再结合待定系数法求解函数表达式，能较好地考查学生对一次函数基础性质的掌握和几何条件转化为代数坐标的能力。
【难度系数】
0.65
首先根据一次函数与坐标轴交点的求法，分别令函数式中y=0、x=0，就能得到A、B两点的坐标。再分析直线l平分△ABO面积的条件：△ABC和△OBC有共同的高（点B到x轴的垂线段长度），同高的两个三角形面积相等则底边长相等，由此可知点C是线段AO的中点，即可求出点C的坐标。最后用待定系数法，将点B和点C的坐标代入直线表达式，就能求出直线l的函数解析式。
【解析】
先求点A、B的坐标：
对于一次函数$y=\frac{3}{4}x+6$，
令$y=0$，则$\frac{3}{4}x+6=0$，解得$x=-8$，故点A坐标为$(-8,0)$；
令$x=0$，则$y=6$，故点B坐标为$(0,6)$。
因为过点B的直线l平分$△ ABO$的面积，$△ ABC$与$△ OBC$同高（高为点B到x轴的距离），所以两三角形的底相等，即$AC=OC$，点C为AO的中点，因此点C的横坐标为$\frac{-8+0}{2}=-4$，纵坐标为0，即$C(-4,0)$。
设直线l的函数表达式为$y=kx+b$，因为直线l过点$B(0,6)$，代入得$b=6$，即表达式为$y=kx+6$。
将$C(-4,0)$代入$y=kx+6$，得：
$-4k+6=0$
解得$k=\frac{3}{2}$。
因此直线l的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x+6$。
【答案】
$y=\dfrac{3}{2}x+6$
【知识点】
一次函数交点求法，三角形面积性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数的常规综合题，解题的核心是通过面积相等的条件推导出点C是OA的中点，再结合待定系数法求解函数表达式，能较好地考查学生对一次函数基础性质的掌握和几何条件转化为代数坐标的能力。
【难度系数】
0.65
6 割补法 [2025江苏南京期末，中]已知函数$y=x+1$的图象与$y$轴交于点$A$，一次函数$y=kx+b$的图象经过点$B(0,-1)$，与$x$轴以及$y=x+1$的图象分别交于点$C$，$D$，且点$D$的坐标为$(1,n)$。则四边形$AOCD$的面积是
$\dfrac{5}{6}$
。答案
6. $\dfrac{5}{6}$ 【解析】对于直线y=x+1,令 x=0,则 y=1,即 A(0,1),所以OA=1. 把 D(1,n)代入y = x + 1,得 n = 2,即D(1,2). 把 D(1,2),B(0,-1)代入 y=kx+b中,得 b=-1,k=3,所以直线 CD 的表达式为y=3x-1. 令 y=0,则 3x-1=0,解得 $x=\dfrac{1}{3}$,所以 $C(\dfrac{1}{3},0)$,所以 $OC=\dfrac{1}{3}$. 作 DE⊥x 轴于 E,如图,则 DE=2,E(1,0),所以 OE=1,所以$CE=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$,所以 $S_{四边形AOCD}=S_{梯形AOED}-S_{△CDE}=\dfrac{1}{2}(AO+DE)·OE-\dfrac{1}{2}CE·DE=\dfrac{1}{2}×(1+2)×1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×2=\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}$.
解析
【分析】
要计算不规则四边形AOCD的面积，我们采用割补法转化为规则图形的面积差求解，思路如下：首先求出直线$y=x+1$上的关键点A、D的坐标；再用待定系数法求出一次函数$y=kx+b$的解析式，进而得到它与x轴的交点C的坐标；最后作$DE⊥ x$轴，将四边形AOCD的面积转化为梯形AOED的面积减去$△ CDE$的面积，代入数值计算即可。
【解析】
1. 求点A坐标：对于直线$y=x+1$，令$x=0$，得$y=1$，即$A(0,1)$，因此$OA=1$。
2. 求点D坐标：把$D(1,n)$代入$y=x+1$，得$n=1+1=2$，即$D(1,2)$。
3. 求直线$y=kx+b$的解析式：已知直线过$B(0,-1)$和$D(1,2)$，代入得$b=-1$，再将$D(1,2)$、$b=-1$代入得$k-1=2$，解得$k=3$，因此直线CD的解析式为$y=3x-1$。
4. 求点C坐标：直线$y=3x-1$与x轴交点处$y=0$，令$y=0$，得$3x-1=0$，解得$x=\frac{1}{3}$，即$C(\frac{1}{3},0)$，因此$OC=\frac{1}{3}$。
5. 作$DE⊥ x$轴于点E，则$E(1,0)$，$DE=2$，$OE=1$，可得$CE=OE-OC=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
6. 计算面积：
$S_{四边形AOCD}=S_{梯形AOED}-S_{△ CDE}$
$S_{梯形AOED}=\frac{1}{2}×(AO+DE)× OE=\frac{1}{2}×(1+2)×1=\frac{3}{2}$
$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× CE× DE=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×2=\frac{2}{3}$
因此$S_{四边形AOCD}=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$。
【答案】
$\dfrac{5}{6}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题核心是先求出各关键点的坐标，再通过割补法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积和差计算，能够有效考查学生的计算能力和图形转化思维。
【难度系数】
0.6
要计算不规则四边形AOCD的面积，我们采用割补法转化为规则图形的面积差求解，思路如下：首先求出直线$y=x+1$上的关键点A、D的坐标；再用待定系数法求出一次函数$y=kx+b$的解析式，进而得到它与x轴的交点C的坐标；最后作$DE⊥ x$轴，将四边形AOCD的面积转化为梯形AOED的面积减去$△ CDE$的面积，代入数值计算即可。
【解析】
1. 求点A坐标：对于直线$y=x+1$，令$x=0$，得$y=1$，即$A(0,1)$，因此$OA=1$。
2. 求点D坐标：把$D(1,n)$代入$y=x+1$，得$n=1+1=2$，即$D(1,2)$。
3. 求直线$y=kx+b$的解析式：已知直线过$B(0,-1)$和$D(1,2)$，代入得$b=-1$，再将$D(1,2)$、$b=-1$代入得$k-1=2$，解得$k=3$，因此直线CD的解析式为$y=3x-1$。
4. 求点C坐标：直线$y=3x-1$与x轴交点处$y=0$，令$y=0$，得$3x-1=0$，解得$x=\frac{1}{3}$，即$C(\frac{1}{3},0)$，因此$OC=\frac{1}{3}$。
5. 作$DE⊥ x$轴于点E，则$E(1,0)$，$DE=2$，$OE=1$，可得$CE=OE-OC=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
6. 计算面积：
$S_{四边形AOCD}=S_{梯形AOED}-S_{△ CDE}$
$S_{梯形AOED}=\frac{1}{2}×(AO+DE)× OE=\frac{1}{2}×(1+2)×1=\frac{3}{2}$
$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}× CE× DE=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×2=\frac{2}{3}$
因此$S_{四边形AOCD}=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$。
【答案】
$\dfrac{5}{6}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题核心是先求出各关键点的坐标，再通过割补法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积和差计算，能够有效考查学生的计算能力和图形转化思维。
【难度系数】
0.6
7 铅垂线法 [2025 江苏无锡调研,中]如图,平面直角坐标系中,直线AB:y=kx+b交y轴于点A(0,3),交x轴于点B(6,0),直线x=2交AB于点D.若点P坐标为(2,-4),连接AP,BP,则△ABP的面积是
刷素养 走向重高
$18$
.刷素养 走向重高
答案
7. 18 【解析】把 A(0,3),B(6,0)代入 y=kx+b,得 b=3,① 6k+b=0,② 将①代入②,得$k=-\dfrac{1}{2}$,所以直线 AB 的表达式为 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$.因为点 D 在直线 AB 上,且点 D 的横坐标为2,所以把 x=2 代入 $y=-\dfrac{1}{2}x+3$,得 y=2,所以D(2,2). 因为 P(2,-4),D(2,2),所以 PD=2-(-4)=6,所以 $S_{△PAB}=S_{△PDA}+S_{△PDB}=\dfrac{1}{2}×PD×(x_B-x_A)=\dfrac{1}{2}×6×6=18$. 故答案为 18.
解析
【分析】
要求△ABP的面积，观察到点P和直线x=2重合，直线x=2与AB交于点D，可将△ABP分割为△PDA和△PDB两个同底的三角形，二者的底均为PD的长度，高之和等于A、B两点的水平宽度（即B点横坐标与A点横坐标的差）。解题思路如下：①先用待定系数法，代入A、B两点坐标求出直线AB的函数表达式；②将x=2代入直线表达式求出D点坐标，计算PD的长度；③利用三角形面积公式，将两个小三角形的面积相加，即可得到△ABP的总面积。
【解析】
1. 求直线AB的解析式：将A(0,3)、B(6,0)代入y=kx+b，得
$\begin{cases}b=3 \\6k + b = 0\end{cases}$
将b=3代入第二个方程，解得$k=-\dfrac{1}{2}$，因此直线AB的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x + 3$。
2. 求D点坐标：点D在直线AB上且横坐标为2，将x=2代入$y=-\dfrac{1}{2}x + 3$，得$y=-\dfrac{1}{2}×2 +3=2$，即D(2,2)。
3. 计算PD的长度：P(2,-4)与D(2,2)横坐标相同，因此$PD=2 - (-4)=6$。
4. 计算△ABP的面积：$S_{△ ABP}=S_{△ PDA}+S_{△ PDB}$，两个三角形的高之和为$6-0=6$，因此
$S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}× PD × 6=\dfrac{1}{2}×6×6=18$。
【答案】
18
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的点坐标特征，坐标法求三角形面积
【点评】
本题是一次函数与几何面积的综合题，运用铅垂法分割三角形求面积是解题的核心技巧，该方法是平面直角坐标系中求不规则三角形面积的常用方法，能大幅简化计算，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要求△ABP的面积，观察到点P和直线x=2重合，直线x=2与AB交于点D，可将△ABP分割为△PDA和△PDB两个同底的三角形，二者的底均为PD的长度，高之和等于A、B两点的水平宽度（即B点横坐标与A点横坐标的差）。解题思路如下：①先用待定系数法，代入A、B两点坐标求出直线AB的函数表达式；②将x=2代入直线表达式求出D点坐标，计算PD的长度；③利用三角形面积公式，将两个小三角形的面积相加，即可得到△ABP的总面积。
【解析】
1. 求直线AB的解析式：将A(0,3)、B(6,0)代入y=kx+b，得
$\begin{cases}b=3 \\6k + b = 0\end{cases}$
将b=3代入第二个方程，解得$k=-\dfrac{1}{2}$，因此直线AB的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x + 3$。
2. 求D点坐标：点D在直线AB上且横坐标为2，将x=2代入$y=-\dfrac{1}{2}x + 3$，得$y=-\dfrac{1}{2}×2 +3=2$，即D(2,2)。
3. 计算PD的长度：P(2,-4)与D(2,2)横坐标相同，因此$PD=2 - (-4)=6$。
4. 计算△ABP的面积：$S_{△ ABP}=S_{△ PDA}+S_{△ PDB}$，两个三角形的高之和为$6-0=6$，因此
$S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}× PD × 6=\dfrac{1}{2}×6×6=18$。
【答案】
18
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的点坐标特征，坐标法求三角形面积
【点评】
本题是一次函数与几何面积的综合题，运用铅垂法分割三角形求面积是解题的核心技巧，该方法是平面直角坐标系中求不规则三角形面积的常用方法，能大幅简化计算，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
8 核心素养几何直观[2026湖南邵阳期末,较难]如图,在平面直角坐标系中,直线AC的表达式为$y=2x-\frac{5}{2}$,与y轴交于点C,点A的坐标为(2,m),过点A的另一条直线交y轴于点B(0,3).
(1)求m的值和直线AB的函数表达式;
(2)求$△ ABC$的面积;
(3)若点$P(t,y_1)$在线段AB上,点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,求$y_1-y_2$的最大值.
(1)求m的值和直线AB的函数表达式;
(2)求$△ ABC$的面积;
(3)若点$P(t,y_1)$在线段AB上,点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,求$y_1-y_2$的最大值.
答案
8.【解】(1)将 $A(2,m)$ 代入 $y=2x-\dfrac{5}{2}$,得 $m=2×2-\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{2}$,所以 $A(2,\dfrac{3}{2})$. 因为 B(0,3),所以设直线 AB 的表达式为 y = kx + 3, 将$A(2,\dfrac{3}{2})$代入,得 $k=-\dfrac{3}{4}$,所以直线 AB 的函数表达式为 $y=-\dfrac{3}{4}x+3$.
(2)因为直线 $AC:y=2x-\dfrac{5}{2}$,当 x=0 时,$y=-\dfrac{5}{2}$,所以 $C(0,-\dfrac{5}{2})$. 因为 $A(2,\dfrac{3}{2}),B(0,3)$,所以 $BC=\dfrac{11}{2}$,所以 $S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}BC·x_A=\dfrac{1}{2}×\dfrac{11}{2}×2=\dfrac{11}{2}$.
(3)因为点 $P(t,y_1)$ 在线段 AB 上,点 $Q(t-1,y_2)$ 在直线 $y=2x-\dfrac{5}{2}$ 上,所以 $0≤t≤2,y_1=-\dfrac{3}{4}t+3,y_2=2(t-1)-\dfrac{5}{2}=2t-\dfrac{9}{2}$,所以 $y_1-y_2=-\dfrac{3}{4}t+3-2t+\dfrac{9}{2}=-\dfrac{11}{4}t+\dfrac{15}{2}$. 因为 $-\dfrac{11}{4}＜0$,所以 $y_1-y_2$ 随着 t 的增大而减小. 因为 0≤t≤2,所以当 t=0 时,$y_1-y_2$ 有最大值,为 $\dfrac{15}{2}$.
(2)因为直线 $AC:y=2x-\dfrac{5}{2}$,当 x=0 时,$y=-\dfrac{5}{2}$,所以 $C(0,-\dfrac{5}{2})$. 因为 $A(2,\dfrac{3}{2}),B(0,3)$,所以 $BC=\dfrac{11}{2}$,所以 $S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}BC·x_A=\dfrac{1}{2}×\dfrac{11}{2}×2=\dfrac{11}{2}$.
(3)因为点 $P(t,y_1)$ 在线段 AB 上,点 $Q(t-1,y_2)$ 在直线 $y=2x-\dfrac{5}{2}$ 上,所以 $0≤t≤2,y_1=-\dfrac{3}{4}t+3,y_2=2(t-1)-\dfrac{5}{2}=2t-\dfrac{9}{2}$,所以 $y_1-y_2=-\dfrac{3}{4}t+3-2t+\dfrac{9}{2}=-\dfrac{11}{4}t+\dfrac{15}{2}$. 因为 $-\dfrac{11}{4}＜0$,所以 $y_1-y_2$ 随着 t 的增大而减小. 因为 0≤t≤2,所以当 t=0 时,$y_1-y_2$ 有最大值,为 $\dfrac{15}{2}$.
解析
【分析】
(1) 求m的值时，点A在直线AC上，直接将A点坐标代入直线AC的表达式即可求解；求直线AB的表达式时，已知直线AB与y轴交于B(0,3)，可先设斜截式解析式，再代入A点坐标求出斜率k即可。
(2) 求△ABC的面积，先求出直线AC与y轴交点C的坐标，B、C都在y轴上，可将BC的长度作为三角形的底，A点到y轴的水平距离（即A点横坐标）为高，代入三角形面积公式计算即可。
(3) 先根据点P、Q所在直线的表达式，分别用含t的代数式表示出y₁和y₂，整理得到y₁-y₂关于t的函数表达式，再结合t的取值范围和一次函数的增减性，即可求出最大值。
【解析】
(1) 将$A(2,m)$代入直线AC的表达式$y=2x-\dfrac{5}{2}$，得：
$m=2×2-\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{2}$，即$A(2,\dfrac{3}{2})$。
设直线AB的表达式为$y=kx+3$，将$A(2,\dfrac{3}{2})$代入得：
$\dfrac{3}{2}=2k+3$，解得$k=-\dfrac{3}{4}$，
因此直线AB的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$。
(2) 对于直线$AC:y=2x-\dfrac{5}{2}$，令$x=0$，得$y=-\dfrac{5}{2}$，即$C(0,-\dfrac{5}{2})$。
BC的长度为$3-(-\dfrac{5}{2})=\dfrac{11}{2}$，A点到y轴的距离为2，为BC边上的高，
因此$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× BC × 2=\dfrac{1}{2}×\dfrac{11}{2}×2=\dfrac{11}{2}$。
(3) 点$P(t,y_1)$在线段AB上，线段AB对应x的取值范围为$0≤ t≤2$，因此$y_1=-\dfrac{3}{4}t+3$；
点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上，代入得$y_2=2(t-1)-\dfrac{5}{2}=2t-\dfrac{9}{2}$；
则$y_1-y_2=-\dfrac{3}{4}t+3-(2t-\dfrac{9}{2})=-\dfrac{11}{4}t+\dfrac{15}{2}$。
因为$-\dfrac{11}{4}＜0$，所以$y_1-y_2$随t的增大而减小，结合$0≤ t≤2$，当$t=0$时，$y_1-y_2$取得最大值，最大值为$\dfrac{15}{2}$。
【答案】
(1) $m=\dfrac{3}{2}$，直线AB的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$；
(2) $△ ABC$的面积为$\dfrac{11}{2}$；
(3) $y_1-y_2$的最大值为$\dfrac{15}{2}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的核心考点，题目设置层层递进，解题时需要熟练掌握待定系数法，灵活运用一次函数的增减性求解最值，同时要注意坐标系中位于纵轴上的线段为底的三角形面积的简便计算方法，避免忽略自变量取值范围导致最值求解错误。
【难度系数】
0.6
(1) 求m的值时，点A在直线AC上，直接将A点坐标代入直线AC的表达式即可求解；求直线AB的表达式时，已知直线AB与y轴交于B(0,3)，可先设斜截式解析式，再代入A点坐标求出斜率k即可。
(2) 求△ABC的面积，先求出直线AC与y轴交点C的坐标，B、C都在y轴上，可将BC的长度作为三角形的底，A点到y轴的水平距离（即A点横坐标）为高，代入三角形面积公式计算即可。
(3) 先根据点P、Q所在直线的表达式，分别用含t的代数式表示出y₁和y₂，整理得到y₁-y₂关于t的函数表达式，再结合t的取值范围和一次函数的增减性，即可求出最大值。
【解析】
(1) 将$A(2,m)$代入直线AC的表达式$y=2x-\dfrac{5}{2}$，得：
$m=2×2-\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{2}$，即$A(2,\dfrac{3}{2})$。
设直线AB的表达式为$y=kx+3$，将$A(2,\dfrac{3}{2})$代入得：
$\dfrac{3}{2}=2k+3$，解得$k=-\dfrac{3}{4}$，
因此直线AB的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$。
(2) 对于直线$AC:y=2x-\dfrac{5}{2}$，令$x=0$，得$y=-\dfrac{5}{2}$，即$C(0,-\dfrac{5}{2})$。
BC的长度为$3-(-\dfrac{5}{2})=\dfrac{11}{2}$，A点到y轴的距离为2，为BC边上的高，
因此$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}× BC × 2=\dfrac{1}{2}×\dfrac{11}{2}×2=\dfrac{11}{2}$。
(3) 点$P(t,y_1)$在线段AB上，线段AB对应x的取值范围为$0≤ t≤2$，因此$y_1=-\dfrac{3}{4}t+3$；
点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\dfrac{5}{2}$上，代入得$y_2=2(t-1)-\dfrac{5}{2}=2t-\dfrac{9}{2}$；
则$y_1-y_2=-\dfrac{3}{4}t+3-(2t-\dfrac{9}{2})=-\dfrac{11}{4}t+\dfrac{15}{2}$。
因为$-\dfrac{11}{4}＜0$，所以$y_1-y_2$随t的增大而减小，结合$0≤ t≤2$，当$t=0$时，$y_1-y_2$取得最大值，最大值为$\dfrac{15}{2}$。
【答案】
(1) $m=\dfrac{3}{2}$，直线AB的函数表达式为$y=-\dfrac{3}{4}x+3$；
(2) $△ ABC$的面积为$\dfrac{11}{2}$；
(3) $y_1-y_2$的最大值为$\dfrac{15}{2}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的核心考点，题目设置层层递进，解题时需要熟练掌握待定系数法，灵活运用一次函数的增减性求解最值，同时要注意坐标系中位于纵轴上的线段为底的三角形面积的简便计算方法，避免忽略自变量取值范围导致最值求解错误。
【难度系数】
0.6
