9 如图，$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC=∠ DAE$，下列结论不一定正确的是 （）

A.$∠ BAD=∠ CAE$
B.$△ ABD ≌ △ ACE$
C.$AB=BC$
D.$BD=CE$

（第9题）（第10题）

9. C

【分析】
首先从已知的角相等∠BAC=∠DAE入手，利用等式的性质，两个角同时减去公共部分∠DAC，可推导出∠BAD=∠CAE；再结合给出的两组边相等AB=AC、AD=AE，可通过SAS判定定理证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形的性质就能得到对应边BD=CE，依次验证各选项，只有C选项的AB=BC没有已知条件支撑，不一定成立，即可选出答案。
【解析】
解：
1. 推导∠BAD=∠CAE：
∵ ∠BAC = ∠DAE，
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE，故A选项结论正确，不符合题意；
2. 证明△ABD≌△ACE：
在△ABD和△ACE中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC（已知）\\∠BAD=∠CAE（已证）\\AD=AE（已知）\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACE（SAS），故B选项结论正确，不符合题意；
3. 由全等性质推导边相等：
∵ △ABD ≌ △ACE，
∴ BD=CE（全等三角形对应边相等），故D选项结论正确，不符合题意；
4. 验证C选项：
已知仅给出AB=AC，只能说明△ABC是等腰三角形，没有条件可证明AB=BC，因此该结论不一定正确，符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
角的和差计算；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题的关键是先通过角的等量代换得到全等所需的对应角相等，再结合已知边相等的条件判定三角形全等，进而推导对应边、角的关系，做题时要注意题干要求选“不一定正确”的选项，避免因审题不仔细选错答案。
【难度系数】
0.7

10 如图，CA 平分∠DCB，CB=CD，DA 的延长线交 BC 于点 E。若∠BAE=84°，则∠EAC 的度数为°。

10. 48 【解析】$\because CA$ 平分$∠ DCB,\therefore ∠ BCA=∠ DCA$. 在$△ ABC$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ BCA=∠ DCA, \\ CB=CD, \end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ ADC$.
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC=∠ BAE+∠ EAC. \because ∠ DAC+∠ EAC=180°, \therefore ∠ BAE + 2 ∠ EAC = 180°. \because ∠ BAE = 84°,$$\therefore ∠ EAC=48°$.

【分析】
解题时首先结合已知条件寻找全等三角形的判定条件：由CA平分∠DCB可得一组角相等，已知CB=CD，再加上公共边AC，可通过SAS判定△ABC和△ADC全等，得到对应角∠BAC=∠DAC；接下来梳理角的数量关系：∠DAC与∠EAC组成平角，和为180°，同时∠BAC可拆分为∠BAE与∠EAC的和，将上述等量关系代入即可建立关于∠EAC的等式，代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
$\because CA$ 平分$∠ DCB$，
$\therefore ∠ BCA=∠ DCA$。
在$△ ABC$ 和$△ ADC$ 中，
$\begin{cases}AC=AC(\mathrm{公共边}), \\∠ BCA=∠ DCA(\mathrm{角平分线的定义}), \\CB=CD(\mathrm{已知}),\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$。
$\because ∠ BAC=∠ BAE+∠ EAC$，且$∠ DAC+∠ EAC=180°(\mathrm{平角的定义})$，
$\therefore ∠ BAE+∠ EAC+∠ EAC=180°$，即$∠ BAE+2∠ EAC=180°$。
把$∠ BAE=84°$代入得：$84°+2∠ EAC=180°$，
解得$∠ EAC=48°$。
【答案】
48
【知识点】
角平分线的定义；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，解题关键是先证明三角形全等得到对应角相等，再结合角的和差关系、平角的性质建立等式求解，解题时需准确梳理图中角的位置与数量关系。
【难度系数】
0.7

11 如图,在$△ ABC$中,$AB=CB$,$∠ ABC=90°$,D为AB延长线上一点,点E在边BC上,且$BE=BD$,连接AE,DE,DC.(1)求证:$△ ABE≌△ CBD$;(2)若$∠ CAE=30°$,求$∠ CDB$的度数.

11. (1) 在$△ ABE$ 和$△ CBD$ 中,$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ ABE=∠ CBD=90°, \\ BE=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CBD$ (2) $\because AB = CB, ∠ ABC = 90°,$$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形. $\therefore ∠ BAC=∠ ACB = 45°$.
$\because △ ABE≌△ CBD,$$\therefore ∠ AEB=∠ CDB. \because ∠ AEB$ 为$△ AEC$ 的外角, $\therefore ∠ AEB=∠ ACB + ∠ CAE = 45° + 30° = 75°$.
$\therefore ∠ CDB=75°$

【分析】
(1) 要证明$△ ABE≌△ CBD$，首先观察已知条件：题目给出$AB=CB$，$BE=BD$，再确定两组边的夹角，由$∠ ABC=90°$，D在AB延长线上，可得$∠ CBD=90°$，即夹角$∠ ABE=∠ CBD$，刚好满足SAS全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 求$∠ CDB$的度数时，可利用全等三角形的对应角相等，将$∠ CDB$转化为求$∠ AEB$的度数。首先由$AB=CB$，$∠ ABC=90°$可知$△ ABC$是等腰直角三角形，可得$∠ ACB=45°$；再结合$∠ AEB$是$△ AEC$的外角，根据三角形外角性质，结合已知$∠ CAE=30°$即可算出$∠ AEB$，进而得到$∠ CDB$的度数。
【解析】
(1) 证明：在$△ ABE$和$△ CBD$中，
$\begin{cases}AB=CB（已知）, \\∠ ABE=∠ CBD=90°（垂直的定义）, \\BE=BD（已知）,\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ CBD\mathrm{（SAS）}$。
(2) 解：$\because AB=CB$，$∠ ABC=90°$，
$\therefore△ ABC$是等腰直角三角形，
$\therefore∠ BAC=∠ ACB=45°$。
由(1)知$△ ABE≌△ CBD$，
$\therefore∠ AEB=∠ CDB$（全等三角形对应角相等）。
$\because∠ AEB$是$△ AEC$的外角，
$\therefore∠ AEB=∠ ACB+∠ CAE=45°+30°=75°$，
$\therefore∠ CDB=75°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{75°}$
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是准确识别全等三角形的对应边角，结合等腰直角三角形和外角性质完成角度转化，侧重考查基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8

12 如图，$OA = OB$，$OC = OD$，$∠ AOB = ∠ COD=90°$，$AD$，$BC$交于点$E$。
（1）求证：$△ AOD ≌ △ BOC$；
（2）求$∠ AEB$的度数。

12. (1) $\because ∠ AOB = ∠ COD = 90°, \therefore ∠ COD + ∠ AOC = ∠ AOB+∠ AOC,$即$∠ AOD=∠ BOC$. 在$△ AOD$ 和$△ BOC$ 中,
$\begin{cases} OA=OB, \\ ∠ AOD=∠ BOC, \\ OD=OC, \end{cases}$$\therefore △ AOD ≌ △ BOC$ (2) 由(1),知$△ AOD≌△ BOC, \therefore ∠ A = ∠ B$. 设 $OA, BC$ 交于点 $F$.
$\because ∠ AOB = 90°, \therefore ∠ B + ∠ OFB = 90°$. 又 $\because ∠ OFB = ∠ AFE,$$\therefore ∠ A+∠ AFE=90°. \therefore ∠ AEB=90°$

【分析】
（1）要证明△AOD≌△BOC，已知两组对应边OA=OB、OC=OD，根据SAS全等判定的要求，只需证明两边的夹角∠AOD与∠BOC相等即可。结合已知∠AOB=∠COD=90°，两个角同时加公共角∠AOC，即可推出夹角相等，满足SAS判定条件。
（2）求∠AEB的度数时，先利用全等三角形的性质得到对应角∠A=∠B，再结合直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质，将角进行等量代换，即可推出∠AEB的度数。
【解析】
（1）证明：$\because ∠AOB = ∠COD = 90°$，
$\therefore ∠AOB + ∠AOC = ∠COD + ∠AOC$，即$∠AOD=∠BOC$。
在$△ AOD$和$△ BOC$中：
$\begin{cases}OA=OB, \\∠AOD=∠BOC, \\OD=OC,\end{cases}$
$\therefore △ AOD ≌ △ BOC(\mathrm{SAS})$。
（2）解：由（1）的全等结论可得$∠A = ∠B$。
设$OA$与$BC$交于点$F$，
$\because ∠AOB = 90°$，$\therefore ∠B + ∠OFB = 90°$。
又$\because ∠OFB = ∠AFE$（对顶角相等），
$\therefore ∠A + ∠AFE = 90°$，
$\therefore ∠AEB = 180° - (∠A + ∠AFE) = 90°$。
【答案】
（1）$△ AOD ≌ △ BOC$，证明成立；（2）$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，侧重考查SAS判定定理的掌握情况，解题的核心是通过角的和差关系构造全等的条件，再通过角的等量代换推导角度，是巩固全等判定与性质的典型习题。
【难度系数】
0.8

13 新考向 探究题 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = ∠ B = 60°$，$AB = AC$，$D$，$E$分别是边$BC$，$AB$所在直线上的动点，且$BD = AE$，直线$AD$与$EC$交于点$F$。
（1）当点$D$，$E$分别在边$BC$，$AB$上运动时，$∠ DFC$的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若变化，写出其变化规律。
（2）当点$D$，$E$分别运动到$CB$，$BA$的延长线上时，$∠ DFC$的度数是否发生变化？请说明理由。

13. (1) 不变 在$△ ABD$ 和$△ CAE$ 中,$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ B=∠ EAC, \\ BD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CAE. \therefore ∠ BAD = ∠ ACE. \therefore ∠ DFC = ∠ ACF+∠ FAC=∠ BAD+∠ FAC=∠ BAC=60°$ (2) 不变 理由:如图,$\because ∠ ABC = ∠ BAC = 60°, \therefore 180°-∠ ABC = 180°-∠ BAC,$即$∠ ABD=∠ CAE$. 在$△ ABD$ 和$△ CAE$ 中,
$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ ABD=∠ CAE, \\ BD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CAE. \therefore ∠ D = ∠ E$.
$\because ∠ BAD = ∠ EAF, \therefore ∠ DFC = ∠ E + ∠ EAF = ∠ D + ∠ BAD=∠ ABC=60°. \therefore ∠ DFC$ 的度数不会发生变化.

【分析】
(1) 首先根据已知条件$∠ BAC=∠ B=60°$、$AB=AC$，可判定$△ ABC$是等边三角形，得到$AB=CA$、$∠ B=∠ EAC=60°$，结合$BD=AE$的条件，符合SAS全等判定的要求，可先证明$△ ABD≌△ CAE$，得到对应角相等。再利用三角形外角的性质，将$∠ DFC$转化为$△ AFC$的外角，通过角的等量代换，将其与已知的$∠ BAC$建立联系，即可求出$∠ DFC$的度数并判断是否变化。
(2) 当点运动到延长线上时，先推导$∠ ABD$与$∠ CAE$相等（均为$180°$减去$60°$的角），结合$AB=CA$、$BD=AE$的条件，仍然可以用SAS证明$△ ABD≌△ CAE$，再利用对顶角相等和三角形外角的性质，将$∠ DFC$转化为已知的$∠ ABC$，即可判断其度数是否变化。
【解析】
(1) 当点$D$，$E$分别在边$BC$，$AB$上运动时：
在$△ ABD$ 和$△ CAE$ 中,
$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ B=∠ EAC, \\ BD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ ACE$。
根据三角形外角的性质，$∠ DFC = ∠ ACF+∠ FAC$，将$∠ACF$替换为$∠BAD$，可得：
$∠ DFC =∠ BAD+∠ FAC=∠ BAC=60°$，因此$∠ DFC$度数不变。
(2) 当点$D$，$E$分别运动到$CB$，$BA$的延长线上时：
$\because ∠ ABC = ∠ BAC = 60°, \therefore 180°-∠ ABC = 180°-∠ BAC,$即$∠ ABD=∠ CAE$。
在$△ ABD$ 和$△ CAE$ 中,
$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ ABD=∠ CAE, \\ BD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ D = ∠ E$。
$\because ∠ BAD = ∠ EAF$（对顶角相等），根据三角形外角的性质，$∠ DFC = ∠ E + ∠ EAF$，代入等量可得：
$∠ DFC = ∠ D + ∠ BAD=∠ ABC=60°$，因此$∠ DFC$度数不变。
【答案】
(1) 不变，$∠ DFC=60°$，推导如下：
在$△ ABD$ 和$△ CAE$ 中,$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ B=∠ EAC, \\ BD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CAE. \therefore ∠ BAD = ∠ ACE. \therefore ∠ DFC = ∠ ACF+∠ FAC=∠ BAD+∠ FAC=∠ BAC=60°$
(2) 不变，理由如下：
$\because ∠ ABC = ∠ BAC = 60°, \therefore 180°-∠ ABC = 180°-∠ BAC,$即$∠ ABD=∠ CAE$. 在$△ ABD$ 和$△ CAE$ 中,
$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ ABD=∠ CAE, \\ BD=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CAE. \therefore ∠ D = ∠ E$.
$\because ∠ BAD = ∠ EAF, \therefore ∠ DFC = ∠ E + ∠ EAF = ∠ D + ∠ BAD=∠ ABC=60°. \therefore ∠ DFC$ 的度数不会发生变化.

【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是动态探究类问题，解题核心是抓住运动过程中不变的边角等量关系，通过证明全等三角形完成角的等量代换，进而得到固定的角度，能有效考查全等判定、角的转化等知识的应用能力和动态分析能力。
【难度系数】
0.6