8. 下表是代数式$ax^2+bx$的值的情况，根据表格数据，可知方程$ax^2+bx=6$的根是（）


A.$x_1=0,x_2=1$
B.$x_1=-1,x_2=2$
C.$x_1=-2,x_2=3$
D.$x_1=-3,x_2=4$

C 解析:由题表中数据得当$x=-2$时,$ax^2 +bx=6$;当$x=3$时,$ax^2 +bx=6$;所以方程$ax^2 +bx=6$的解为$x_1=-2$,$x_2=3$.

9. 原创题 若关于x的一元二次方程$x^{|k-1|}+(k^2 -1)x +1=8x -k$没有一次项，则k的值为()

A.$\pm1$
B.$\pm3$
C.$-1$
D.$3$

D 解析:原方程整理得$x^{|k-1|}+(k^2 -9)x +k +1=0$,由题意得$k^2 -9=0$且$|k-1|=2$,解得$k=3$.

10. 若$ x_0 $是方程$ ax^2 + 2x + c = 0(a≠0) $的一个根，设$ M=2 - ac $，$ N=(ax_0 + 1)^2 $，则M与N的大小关系为（）

A.$ M＞N $
B.$ M=N $
C.$ M=2N $
D.$ M＜N $

A 解析:$\because x_0$是方程$ax^2 +2x +c=0(a≠0)$的一个根,$\therefore ax_0^2 +2x_0 +c=0$,即$ax_0^2 +2x_0=-c$,则$M-N=(2-ac)-(ax_0 +1)^2=2-ac -a^2x_0^2 -2ax_0 -1=1-ac -a(ax_0^2 +2x_0)=1-ac +ac=1$,$\therefore M＞N$.

11. 原创题 一元二次方程$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = 0$化为一般形式后为$3x^2 - 2x + 8 = 0$，则一次函数$y=\dfrac{a}{b}x + c$的图象不经过 （）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

D 解析:方程$a(x-1)^2 +b(x-1)+c=0$整理得$ax^2 -(2a -b)x +(a +c -b)=0$,由题意得$\begin{cases}a=3,\\2a -b=2,\\a +c -b=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=4,\\c=9,\end{cases}$一次函数$y=\dfrac{3}{4}x +9$的图象经过第一、二、三象限.

12. 改编题 定义:如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a+b+c=0$,那么我们称这个方程为“凤凰”方程.
(1)“凤凰”方程必定有一个根是；
(2)若$ax^2+bx+c=0(a≠0)$是“凤凰”方程,且有一个解为$x=-1$,则下列结论:①$a=c$；②$a=b$；③$a=-c$；④$a=b=c$；⑤$b=1$；⑥$b=0$；⑦$c=0$.正确的是(填序号).

(1)$x=1$ 解析:$x=1$时,$a+b+c=0$,$\therefore$“凤凰”方程必定有一个根是$x=1$.
(2)③⑥ 解析:当$x=1$时,$ax^2 +bx +c=a +b +c=0$.当$x=-1$时,$ax^2 +bx +c=a -b +c=0$,$\therefore a +c=0$,$b=0$,即$a=-c$,$b=0$.

13. 改编题 (1)若关于$m$的一元二次方程$\sqrt{7}nm^2 = mn^2 + 2$的一个根为2，则$n^2 + \frac{1}{n^2} -1 =$.
(2)已知$k$是方程$x^2 -101x +1=0$的一个根，则$k^2 -100k + \frac{101}{k^2 +1} =$.

(1)25 解析:$\because \sqrt{7}nm^2 -mn^2 -2=0$是关于$m$的一元二次方程,$\therefore n≠0$.将$m=2$代入方程,得$4\sqrt{7}n -2n^2 -2=0$,$\therefore n^2 -2\sqrt{7}n +1=0$,$\therefore n +\dfrac{1}{n}=2\sqrt{7}$,$\therefore n^2 +\dfrac{1}{n^2} -1=(n +\dfrac{1}{n})^2 -2 -1=25$.
(2)100 解析:$\because k$是方程$x^2 -101x +1=0$的一个根,$\therefore k^2 -101k +1=0$,且易知$k≠0$,$\therefore k^2=101k -1$,$k^2 +1=101k$,$\therefore k^2 -100k +\dfrac{101}{k^2 +1}=101k -1 -100k +\dfrac{101}{101k}=k -1 +\dfrac{1}{k}=\dfrac{k^2 +1}{k} -1=101 -1=100$.

14. 关于$x$的两个不同的方程$x^2+mx-4=0$，$x^2+3x-(m+1)=0$有且只有一个公共根，则$m$的值是。

-3 解析:设公共根为$t$,则$t^2 +mt -4=t^2 +3t -(m+1)$,整理得$(m-3)t=-(m-3)$,若$m-3=0$,则两个方程相同,与题意不符,所以$m-3≠0$,所以$t=-1$.把$t=-1$代入$t^2 +mt -4=0$,得$1 -m -4=0$,解得$m=-3$.

15. 改编题 请阅读下列材料：
问题：已知方程$x^2+x-1=0$，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为$y$，则$y=2x$，所以$x=\frac{y}{2}$.把$x=\frac{y}{2}$代入已知方程，得$(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} -1 =0$，化简，得$y^2 +2y -4=0$，故所求方程为$y^2 +2y -4=0$.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
请用阅读材料中提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程$2x^2 -x -5=0$，求一个关于$y$的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；
(2)已知方程$ax^2 +bx -3=0$的两个根分别是1和-3，则另一个方程$a(2x+3)^2 +2bx=3(1-b)$的两个根是；
(3)已知关于$x$的一元二次方程$ax^2 -bx +c=0$（$a≠0$）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
(4)关于$x$的一元二次方程$ax^2 +bx =c$（$ac≠0$）有一个实数根为2026，则方程$cx^2 +bx =a$一定有实数根.

(1)$2y^2 +y -5=0$ 解析:设所求方程的根为$y$,则$y=-x$,所以$x=-y$.把$x=-y$代入已知方程,得$2y^2 +y -5=0$.
(2)-1 和-3 解析:$a(2x+3)^2 +2bx=3(1-b)$整理得$a(2x+3)^2 +b(2x+3)-3=0$,可看作关于$2x+3$的一元二次方程,所以$2x+3=1$或$2x+3=-3$,解得两个根为-1 和-3.
(3)设所求方程的根为$y$,则$y=\dfrac{1}{x}(x≠0)$,所以$x=\dfrac{1}{y}(y≠0)$.把$x=\dfrac{1}{y}$代入方程$ax^2 -bx +c=0$,得$a(\dfrac{1}{y})^2 -b·\dfrac{1}{y} +c=0$,去分母,得$a -by +cy^2=0$.若$c=0$,有$ax^2 -bx=0$,可知有一个解为$x=0$,不符合题意,$\therefore c≠0$,故所求方程为$cy^2 -by +a=0(c≠0,a≠0)$.
(4)$-\dfrac{1}{2026}$ 解析:$\because$ 将$x=2026$代入$ax^2 +bx =c$得$a·2026^2 +2026b =c$,两边同时除以$(-2026)^2$,得$a +\dfrac{1}{2026}b=(-\dfrac{1}{2026})^2 c$,即$(-\dfrac{1}{2026})^2 c +(-\dfrac{1}{2026})b =a$,$\therefore cx^2 +bx =a$一定有实数根$-\dfrac{1}{2026}$.