登录
1. (2026·渭南期中)方程$(x+1)^2 = 16$的根是
(
A.$x_1=-5, x_2=3$
B.$x_1=-3, x_2=5$
C.$x_1=-1, x_2=5$
D.$x=-3$
(
A
)A.$x_1=-5, x_2=3$
B.$x_1=-3, x_2=5$
C.$x_1=-1, x_2=5$
D.$x=-3$
答案
∵$(x+1)^2=16$,
∴$x+1=4$或$x+1=-4$,
∴方程的根为$x_1=-5,x_2=3$,故选A.
2. 有下列方程:①$25 - 9x^2 = 0$；②$x^2 + 2x - 1 = 0$；③$3x^2 - x = 0$；④$(2x + 1)^2 - 4 = 0$. 其中能用直接开平方法求解的是 (
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
C
)A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
答案
①④能用直接开平方法求解,故选C.
3. 如图是一个简单的程序计算器,如果输出的数值为-10,则输入x的值为 (
A.-8
B.$2\sqrt{5}-1$或$-2\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{5}-1$或$-\sqrt{5}-1$
D.$\sqrt{5}-1$
C
)A.-8
B.$2\sqrt{5}-1$或$-2\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{5}-1$或$-\sqrt{5}-1$
D.$\sqrt{5}-1$
答案
由题意得$-2(x+1)^2=-10$,解得$x_1=\sqrt{5}-1,x_2=-\sqrt{5}-1$,故选C.
4. 若$x+2$与$x-2$互为倒数，则$x=$
$\pm \sqrt{5}$
。答案
由题意得$(x+2)(x-2)=1$,$x^2-4=1$,解得$x=\pm \sqrt{5}$.
5. 原创题 已知$m^2x^2 = n-1$是关于$x$的一元二次方程.
(1)若该方程可以用直接开平方法求解,则$n$的取值范围是________.
(2)若$\sqrt{3}$是该方程的一个根,则该方程的另一个根是________.
(3)若该方程有两个相等的实数根,则$n$的值为________.
(1)若该方程可以用直接开平方法求解,则$n$的取值范围是________.
(2)若$\sqrt{3}$是该方程的一个根,则该方程的另一个根是________.
(3)若该方程有两个相等的实数根,则$n$的值为________.
答案
(1)
∵$m^2x^2=n-1$可以用直接开平方法求解,
∴$n-1≥0$,
∴$n≥1$.
(2)形为$nx^2=p$的一元二次方程,两个根互为相反数.
(3)若两根相等,则两根均为0,
∴$n=1$.
∵$m^2x^2=n-1$可以用直接开平方法求解,
∴$n-1≥0$,
∴$n≥1$.
(2)形为$nx^2=p$的一元二次方程,两个根互为相反数.
(3)若两根相等,则两根均为0,
∴$n=1$.
6. (1)若$(x^2 + y^2 - 3)^2 = 16$, 则$x^2 + y^2$的值为
(2)已知$(2a + 1 + 2b)(2a - 1 + 2b) = 63$, 则$a + b$的值为
$7$
.(2)已知$(2a + 1 + 2b)(2a - 1 + 2b) = 63$, 则$a + b$的值为
$\pm4$
.答案
(1)设$x^2+y^2=t$,得$(t-3)^2=16$,
∴$t_1=7$,$t_2=-1$.又
∵$t≥0$,
∴$t=7$.
(2)设$a+b=m$,由$(2a+1+2b)(2a-1+2b)=63$,得$(2m+1)(2m-1)=63$,
∴$(2m)^2-1=63$,$m=\pm4$.
∴$t_1=7$,$t_2=-1$.又
∵$t≥0$,
∴$t=7$.
(2)设$a+b=m$,由$(2a+1+2b)(2a-1+2b)=63$,得$(2m+1)(2m-1)=63$,
∴$(2m)^2-1=63$,$m=\pm4$.
7. (2026·肇庆期末)若一元二次方程$ax^2 = b$（$ab＞0$）的两个根分别是$m+1$与$2m-4$，则$\sqrt{\dfrac{b}{a}} =$
$2$
。答案
∵$ax^2=b(ab＞0)$,
∴$x^2=\dfrac{b}{a}$,解得$x=\pm\sqrt{\dfrac{b}{a}}$,
∴两根互为相反数.
∵一元二次方程$ax^2=b(ab＞0)$的两个根分别是$m+1$与$2m-4$,
∴$m+1+2m-4=0$,解得$m=1$,
∴一元二次方程$ax^2=b(ab＞0)$的两个根分别是2和-2,
∴$\sqrt{\dfrac{b}{a}}=2$.
8. 一题多变 已知一元二次方程$(x-3)^2=1$.
(1)若方程的两个根恰好分别是等腰三角形$ABC$的底边长和腰长, 则$△ ABC$的周长为________.
(2)若方程的两个根恰好分别是$\mathrm{Rt}△ DEF$的两边长, 则$\mathrm{Rt}△ DEF$的面积为________.
(1)若方程的两个根恰好分别是等腰三角形$ABC$的底边长和腰长, 则$△ ABC$的周长为________.
(2)若方程的两个根恰好分别是$\mathrm{Rt}△ DEF$的两边长, 则$\mathrm{Rt}△ DEF$的面积为________.
答案
(1)
∵$(x-3)^2=1$,
∴$x-3=\pm1$,解得$x_1=4$,$x_2=2$.①当底边长和腰长分别为4和2时,$4=2+2$,此时不能构成三角形;②当底边长和腰长分别是2和4时,符合题意,
∴$△ ABC$的周长为$2+4+4=10$.
(2)
∵$(x-3)^2=1$,
∴$x-3=\pm1$,解得$x_1=4$,$x_2=2$.①若2,4是$\mathrm{Rt}△ DEF$的两条直角边的长,则$S_{\mathrm{Rt}△ DEF}=\dfrac{1}{2}×2×4=4$;②若2,4是$\mathrm{Rt}△ DEF$的一条直角边长和斜边长,则另一条直角边长为$\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,则$S_{\mathrm{Rt}△ DEF}=\dfrac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.综上,$\mathrm{Rt}△ DEF$的面积为4或$2\sqrt{3}$.
∵$(x-3)^2=1$,
∴$x-3=\pm1$,解得$x_1=4$,$x_2=2$.①当底边长和腰长分别为4和2时,$4=2+2$,此时不能构成三角形;②当底边长和腰长分别是2和4时,符合题意,
∴$△ ABC$的周长为$2+4+4=10$.
(2)
∵$(x-3)^2=1$,
∴$x-3=\pm1$,解得$x_1=4$,$x_2=2$.①若2,4是$\mathrm{Rt}△ DEF$的两条直角边的长,则$S_{\mathrm{Rt}△ DEF}=\dfrac{1}{2}×2×4=4$;②若2,4是$\mathrm{Rt}△ DEF$的一条直角边长和斜边长,则另一条直角边长为$\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,则$S_{\mathrm{Rt}△ DEF}=\dfrac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.综上,$\mathrm{Rt}△ DEF$的面积为4或$2\sqrt{3}$.
9. (潍坊中考改编)定义$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数,如$[1.8]=1,[-1.4]=-2,[-3]=-3$.函数$y=[x]$的部分图象如图所示,已知$-2≤ x＜3$,则方程$[x]=\dfrac{1}{2}x^2$的解为
$x=0或x=\sqrt{2}或x=2$
.答案
当$2≤ x＜3$时,$\dfrac{1}{2}x^2=2$,解得$x_1=2$,$x_2=-2$(舍去);当$1≤ x＜2$时,$\dfrac{1}{2}x^2=1$,解得$x_1=\sqrt{2}$,$x_2=-\sqrt{2}$(舍去);当$0≤ x＜1$时,$\dfrac{1}{2}x^2=0$,解得$x_1=x_2=0$;当$-2≤ x＜0$时,方程$[x]=\dfrac{1}{2}x^2$没有实数解.所以当$-2≤ x＜3$时,方程$[x]=\dfrac{1}{2}x^2$的解为$x=0$或$x=\sqrt{2}$或$x=2$.
10.（河北中考改编）对于实数$ p,q $，我们用符号$\min\{p,q\}$表示$ p,q $两数中较小的数，如$\min\{1,2\}=1$。若$\min\{(x-1)^2,x^2\}=1$，则$ x=\_\_\_\_\_\_ $。
答案
∵$\min\{(x-1)^2,x^2\}=1$,当$x=0.5$时,$x^2=(x-1)^2$,不能得出最小值为1;当$x＞0.5$时,$(x-1)^2＜x^2$,则$(x-1)^2=1$,$x-1=\pm1$,解得$x_1=2$,$x_2=0$(不合题意,舍去);当$x＜0.5$时,$(x-1)^2＞x^2$,则$x^2=1$,解得$x_1=1$(不合题意,舍去),$x_2=-1$.综上所述,$x$的值为2或-1.
11. 教材变式 用直接开平方法解方程.
(1) $4x^2 = (-5)^2$；
(2) $\frac{1}{2}(3x+1)^2 = 16$；
(3) $(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) = 2x^2 - 2.75$；
(4) $y^2 -12y +36 = 4(y-2)^2$。
(1) $4x^2 = (-5)^2$；
(2) $\frac{1}{2}(3x+1)^2 = 16$；
(3) $(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) = 2x^2 - 2.75$；
(4) $y^2 -12y +36 = 4(y-2)^2$。
答案
(1)$x^2=\dfrac{25}{4}$,
∴$x_1=\dfrac{5}{2}$,$x_2=-\dfrac{5}{2}$.
(2)$(3x+1)^2=32$,
∴$x_1=\dfrac{4\sqrt{2}-1}{3}$,$x_2=\dfrac{-4\sqrt{2}-1}{3}$.
(3)$x^2-3=2x^2-2.75$,$x^2=-0.25$,
∴无实数根.
(4)$(y-6)^2=4(y-2)^2$,$y-6=\pm2(y-2)$,
∴$y_1=-2$,$y_2=\dfrac{10}{3}$.
∴$x_1=\dfrac{5}{2}$,$x_2=-\dfrac{5}{2}$.
(2)$(3x+1)^2=32$,
∴$x_1=\dfrac{4\sqrt{2}-1}{3}$,$x_2=\dfrac{-4\sqrt{2}-1}{3}$.
(3)$x^2-3=2x^2-2.75$,$x^2=-0.25$,
∴无实数根.
(4)$(y-6)^2=4(y-2)^2$,$y-6=\pm2(y-2)$,
∴$y_1=-2$,$y_2=\dfrac{10}{3}$.
