10.(六盘水中考)三角形的两边$a,b$的夹角为$60°$且满足方程$x^2 - 3\sqrt{2}x + 4 = 0$，则第三边的长是。

10. $2\sqrt{2}或\sqrt{2}或\sqrt{6}$ 解析:$\because x^2-3\sqrt{2}x+4=0$,$\therefore x_1=2\sqrt{2}$,$x_2=\sqrt{2}$.在$△ ABC$中,$a=BC,b=AC$,当 $a=b=2\sqrt{2}$,$∠ C=60°$时,三角形为等边三角形,第三边长为 $2\sqrt{2}$;当 $a=b=\sqrt{2}$,$∠ C=60°$时,三角形为等边三角形,第三边长为 $\sqrt{2}$;当 $a=2\sqrt{2}$,$b=\sqrt{2}$,$∠ C=60°$时,过 $A$ 作 $AH⊥ BC$ 于点 $H$,在$\mathrm{Rt}△ ACH$中,$\because ∠ C=60°$,$\therefore ∠ CAH=30°$,$\therefore CH=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore BH=2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.由勾股定理得 $AH=\frac{\sqrt{6}}{2}$.在$\mathrm{Rt}△ ABH$中,$AB=\sqrt{(\frac{3\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{6}}{2})^2}=\sqrt{6}$,即三角形的第三边的长是 $\sqrt{6}$.综上所述,第三边长为 $2\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$或$\sqrt{6}$.

11.(2024·南京中考)已知$4-\sqrt{15}$是关于$x$的方程$(x-2)(ax^2+bx+c)=0$($a,b,c$是有理数，$a≠0$)的一个根，则该方程的另外两个根分别是，。

11. $2$ $4+\sqrt{15}$ 解析:关于 $x$ 的方程$(x-2)(ax^2+bx+c)=0(a,b,c$是有理数,$a\ne0)$中,$x-2=0$ 或 $ax^2+bx+c=0$,即 $x=2$ 或 $ax^2+bx+c=0$.$\because 4-\sqrt{15}$是关于 $x$ 的方程$(x-2)(ax^2+bx+c)=0(a,b,c$是有理数,$a\ne0)$的一个根,$\therefore b^2-4ac\ge0$,且 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=4-\sqrt{15}$.$\because a,b,c$是有理数,$a\ne0$,$\therefore \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=4+\sqrt{15}$也是关于 $x$ 的方程$(x-2)(ax^2+bx+c)=0(a,b,c$是有理数,$a\ne0)$的一个根,$\therefore$ 该方程的另外两个根分别是 $2$ 和 $4+\sqrt{15}$.
归纳总结 如果 $x=m+\sqrt{n}$($m,n$ 为有理数,$\sqrt{n}$ 是无理数)是有理系数一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a\ne0)$ 的一个根,则 $x=m-\sqrt{n}$ 是该方程的另一个根.

12. (南充中考)已知关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 -2mx + m+1=0$.
(1)求出此方程的根；
(2)当$m$为何整数时,此方程的两个根都为正整数？

12. (1)根据题意,得 $m\ne1$.$\because a=m-1,b=-2m,c=m+1$,$\therefore \Delta=b^2-4ac=(-2m)^2-4(m-1)(m+1)=4$,根据公式法得 $x_1=\frac{2m+2}{2(m-1)}=\frac{m+1}{m-1}$,$x_2=\frac{2m-2}{2(m-1)}=1$.
(2)由(1)知,$x_1=\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}$.$\because$ 方程的两个根都为正整数,$\therefore \frac{2}{m-1}$是正整数,$\therefore m-1=1$ 或 $m-1=2$,解得 $m=2$ 或 $m=3$,即 $m$ 为 $2$ 或 $3$ 时,此方程的两个根都为正整数.
归纳总结 对于形如 $\frac{ax+b}{cx+d}$($x$ 为变量,$a,b,c,d$ 为常量)的分式,可采用分离常数法,将分式分离成一个常数和一个分式(该分式的分子为常数)的形式.该方法在求取值范围或整数解时经常用到.

13. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，介绍了形如$x^2 + ax = b^2(a＞0,b＞0)$的方程的图解法：如图，以$\frac{a}{2}$和$b$为两直角边作$\mathrm{Rt}△ ABC$，再在斜边上截取$BD=\frac{a}{2}$。
(1)图中哪条线段的长是方程$x^2 + ax = b^2$的解？并用含$a,b$的代数式表示它的长。
(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处。

13. (1)线段 $AD$ 的长.$\because ∠ ACB=90°$,$BC=BD=\frac{a}{2}$,$AC=b$,
$\therefore AB=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}$,$\therefore AD=\sqrt{b^2+\frac{a^2}{4}}-\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{4b^2+a^2}-a}{2}$.
(2)用求根公式求得 $x^2+ax=b^2$ 的根为 $x_1=\frac{-\sqrt{4b^2+a^2}-a}{2}$,$x_2=\frac{\sqrt{4b^2+a^2}-a}{2}$.正确性:$AD$ 的长就是方程的正根.遗憾之处:图解法不能表示出方程的负根.

14. 一题多解（绵阳中考）已知$a＞b＞0$，且$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{b-a}=0$，则$\frac{b}{a}=$。

14. $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ 解析:解法一:由 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{b-a}=0$,去分母得 $2b(b-a)+a(b-a)+3ab=0$,整理得 $2b^2+2ab-a^2=0$,两边同时除以 $a^2$ 得到关于 $\frac{b}{a}$ 的方程 $2(\frac{b}{a})^2+\frac{2b}{a}-1=0$,解得 $\frac{b}{a}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$.$\because a＞b＞0$,$\therefore \frac{b}{a}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$.
解法二:由 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{b-a}=0$,整理得 $a^2-2ab-2b^2=0$,将其看作关于 $a$ 的一元二次方程,根据公式法得 $a=\frac{2b\pm\sqrt{4b^2+8b^2}}{2}=b\pm\sqrt{3}\ b$.$\because a＞b＞0$,$\therefore a=(1+\sqrt{3})\ b$,$\therefore \frac{b}{a}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$.

15. 改编题 例:解方程$x^4 -7x^2 +12=0$.
设$x^2=y$,则$x^4=y^2$,∴原方程可化为$y^2 -7y +12=0$,∴$a=1,b=-7,c=12$,∴$\Delta =b^2 -4ac=(-7)^2 -4×1×12=1$,∴$y=\frac{-b±\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{-(-7)±\sqrt{1}}{2}$,解得$y_1=3,y_2=4$.
当$y=3$时,$x^2=3,x=±\sqrt{3}$;当$y=4$时,$x^2=4,x=±2$.∴原方程有四个根:$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3},x_3=2,x_4=-2$.
以上方法叫换元法,试用换元法解答下列问题.
(1)解方程:
①$(x^2 +x)^2 -5(x^2 +x)+4=0$;
②$3^{2x} -4×3^x +3=0$;
③$x^2 +2x +4\sqrt{x^2 +2x} -5=0$.
(2)已知实数$x,y$满足$\begin{cases}5x^2y^2 +2x +2y=133, \\ \frac{x+y}{4} +2x^2y^2=51,\end{cases}$则$x^2 +y^2=$ ______ .

15. (1)①设 $y=x^2+x$,则原方程可化为 $y^2-5y+4=0$,解得 $y_1=1$,$y_2=4$.当 $x^2+x=1$,即 $x^2+x-1=0$ 时,解得 $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$;当 $x^2+x=4$,即 $x^2+x-4=0$ 时,解得 $x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$.综上所述,原方程的解为 $x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$,$x_3=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$,$x_4=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$.
②原方程可变形为 $(3^x)^2-4×3^x+3=0$,设 $3^x=t$,则原方程可化为 $t^2-4t+3=0$,解得 $t_1=1$,$t_2=3$.当 $t=1$ 时,即 $3^x=1$,解得 $x=0$;当 $t=3$ 时,即 $3^x=3$,解得 $x=1$,$\therefore$ 原方程的解为 $x_1=0$,$x_2=1$.
③设 $\sqrt{x^2+2x}=t(t\ge0)$,则有 $x^2+2x=t^2$,原方程可化为 $t^2+4t-5=0$,解得 $t_1=-5$,$t_2=1$.当 $t=-5$ 时,$\sqrt{x^2+2x}=-5$,此方程无解;当 $t=1$ 时,$\sqrt{x^2+2x}=1$,则 $x^2+2x=1$,解得 $x_1=-1+\sqrt{2}$,$x_2=-1-\sqrt{2}$.经检验,原方程的解为 $x_1=-1+\sqrt{2}$,$x_2=-1-\sqrt{2}$.
(2)26 解析:令 $xy=a$,$x+y=b$,则原方程组可化为
$\begin{cases}5a^2+2b=133,\\\frac{b}{4}+2a^2=51,\end{cases}$ 整理得 $\begin{cases}5a^2+2b=133,\ \ \ \textcircled{1}\\16a^2+2b=408,\ \textcircled{2}\end{cases}$ $\textcircled{2}-\textcircled{1}$ 得 $11a^2=275$,解得 $a^2=25$,代入②可得 $b=4$,$\therefore$ 方程组的解为 $\begin{cases}a=5,\\b=4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=-5,\\b=4.\end{cases}$ 当 $a=5$ 时,$x+y=4$,$xy=5$,$\therefore x=4-y$,代入 $xy=5$,可得 $y^2-4y+5=0$,此时 $\Delta=16-20＜0$,方程无解,故不符合题意,$\therefore a=-5$,$b=4$,$\therefore x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=b^2-2a=26$,因此 $x^2+y^2$ 的值为 26.