登录
1. (2026·广州期中)用公式法解一元二次方程$3x^2 -2x +3=0$时,首先要确定$a,b,c$的值,下列叙述正确的是（
A.$a=3,b=2,c=3$
B.$a=-3,b=2,c=3$
C.$a=3,b=2,c=-3$
D.$a=3,b=-2,c=3$
D
）A.$a=3,b=2,c=3$
B.$a=-3,b=2,c=3$
C.$a=3,b=2,c=-3$
D.$a=3,b=-2,c=3$
答案
1. D 解析:$3x^2-2x+3=0,\therefore a=3,b=-2,c=3$,故选 D.
2. (2026·新疆期末)若一个一元二次方程的根为 
，则该一元二次方程为 (
A.$ -9x^2 +6x +2=0 $
B.$ -6x^2 +9x +4=0 $
C.$ 6x^2 -9x +2=0 $
D.$ 6x^2 -9x -2=0 $
，则该一元二次方程为 (C
)A.$ -9x^2 +6x +2=0 $
B.$ -6x^2 +9x +4=0 $
C.$ 6x^2 -9x +2=0 $
D.$ 6x^2 -9x -2=0 $
答案
2. C 解析:$\because$ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的求根公式为 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, 又 $x = \frac{-(-9)\pm \sqrt{(-9)^2-4×6×2}}{2×6}$, $\therefore -b=-(-9)=9$,故 $b=-9,2a=2×6=12$,故 $a=6$,又 $b^2-4ac=(-9)^2-4×6×2$,故 $c=2$,因此方程为 $6x^2-9x+2=0$,故选 C.
3. 原创题 用公式法解方程$x(x+4)=x-1$，方程整理成一般形式$(a＞0)$为
$x^2+3x+1=0$
，$\Delta = b^2 -4ac =$ $5$
，方程的解为 $x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
。答案
3. $x^2+3x+1=0$ $5$ $x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$ 解析:$x(x+4)=x-1$,则 $x^2+4x=x-1$,即 $x^2+3x+1=0$,则 $a=1,b=3,c=1$,$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×1×1=5$,方程的解为 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$.
4. 若关于x的一元二次方程$2x^2 - (2m+1)x + m = 0$的根的判别式的值是9，则$m=$
2或-1
。答案
4. 2或-1 解析:由题意得 $[-(2m+1)]^2-8m=9$,解得 $m=2$或-1.
5. 原创题 当$x=$
$\frac{7\pm\sqrt{37}}{6}$
时，代数式$2x^2 -4x +1$与$x^2 -3x$的值互为相反数。答案
5. $\frac{7\pm\sqrt{37}}{6}$ 解析:由题意得 $2x^2-4x+1+x^2-3x=0$,$3x^2-7x+1=0$,解得 $x=\frac{7\pm\sqrt{37}}{6}$.
6. 教材变式 用公式法解下列方程：
(1)$x^2 + x - 1 = 0$；
(2)$2x^2 + 2x + \frac{1}{2} = 0$；
(3)$\sqrt{2}x^2 - 4x = 4\sqrt{2}$；
(4)$x^2 + 5x + 6 = 3(x + \frac{3}{2})$；
(5)$(2x + 1)(4x - 2) = (2x - 1)^2 + 1$；
(6)$x^2 - 2ax - b^2 + a^2 = 0$（$a,b$为常数）。
(1)$x^2 + x - 1 = 0$；
(2)$2x^2 + 2x + \frac{1}{2} = 0$；
(3)$\sqrt{2}x^2 - 4x = 4\sqrt{2}$；
(4)$x^2 + 5x + 6 = 3(x + \frac{3}{2})$；
(5)$(2x + 1)(4x - 2) = (2x - 1)^2 + 1$；
(6)$x^2 - 2ax - b^2 + a^2 = 0$（$a,b$为常数）。
答案
6. (1)$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
(2)$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$
(3)$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$
(4)原方程可化为 $x^2+2x+\frac{3}{2}=0$,$\Delta=-2＜0$,无实数根.
(5)原方程可化为 $x^2+x-1=0$,$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.
(6)$\because \Delta=(-2a)^2-4(-b^2+a^2)=4b^2\ge0$,
$\therefore x=\frac{2a\pm \sqrt{4b^2}}{2}=\frac{2a\pm 2b}{2}=a\pm b$,$\therefore x_1=a+b,x_2=a-b$.
(2)$x_1=x_2=-\frac{1}{2}$
(3)$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$
(4)原方程可化为 $x^2+2x+\frac{3}{2}=0$,$\Delta=-2＜0$,无实数根.
(5)原方程可化为 $x^2+x-1=0$,$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.
(6)$\because \Delta=(-2a)^2-4(-b^2+a^2)=4b^2\ge0$,
$\therefore x=\frac{2a\pm \sqrt{4b^2}}{2}=\frac{2a\pm 2b}{2}=a\pm b$,$\therefore x_1=a+b,x_2=a-b$.
7. (绵阳中考)若$x=3$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - \frac{5}{3}ax - a^2 = 0(a＞0)$的一个根，下面对$a$的值估计正确的是（
A.$\frac{1}{2}＜a＜1$
B.$1＜a＜\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2}＜a＜2$
D.$2＜a＜\frac{5}{2}$
B
）A.$\frac{1}{2}＜a＜1$
B.$1＜a＜\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2}＜a＜2$
D.$2＜a＜\frac{5}{2}$
答案
7. B 解析:将 $x=3$ 代入方程得 $9-5a-a^2=0$,解得 $a=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{2}$.又 $a＞0$,所以 $a=\frac{-5+\sqrt{61}}{2}$.又因为 $7＜\sqrt{61}＜8$,所以 $2＜\sqrt{61}-5＜3$,$1＜\frac{\sqrt{61}-5}{2}＜\frac{3}{2}$,即 $1＜a＜\frac{3}{2}$.
8.（教材变式）线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫作线段的黄金分割点. 主持人主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图,若舞台AB的长为20米,一名主持人现在站在A处,则她至少走多少米才最自然得体?
(
A.$(10\sqrt{5}-10)$米
B.$(10\sqrt{5}+10)$米
C.$(30-10\sqrt{5})$米
D.$(30-10\sqrt{5})$米或$(10\sqrt{5}-10)$米
(
C
)A.$(10\sqrt{5}-10)$米
B.$(10\sqrt{5}+10)$米
C.$(30-10\sqrt{5})$米
D.$(30-10\sqrt{5})$米或$(10\sqrt{5}-10)$米
答案
8. C 解析:如图,设点 $P$ 为线段 $AB$ 的一个黄金分割点,且 $AP=x$ 米,由题意得 $\frac{AP}{PB}=\frac{PB}{AB}$,即 $\frac{x}{20-x}=\frac{20-x}{20}$,解得 $x_1=10\sqrt{5}+30$(舍去),$x_2=-10\sqrt{5}+30$,$\therefore$ 至少应走 $(30-10\sqrt{5})$ 米.
9. 对于实数$a,b$,定义:$a*b=a+b,a\#b=ab$.若$x＞0$,且满足$(1*x)\#(1\#x)=1$,则$x=\_\_\_\_\_\_$.
答案
9. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 解析:$\because (1*x)\#(1\#x)=1$,$\therefore (1+x)\#(1× x)=1$,$\therefore (1+x)x=1$,即 $x^2+x-1=0$,解得 $x_1=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$,$x_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.$\because x＞0$,$\therefore x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
