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1. (2026·青岛期中)已知关于x的一元二次方程$x^2+2x+c=0$配方后得到$(x+1)^2=4$，则c的值为（
A.-1
B.-3
C.-4
D.4
B
）A.-1
B.-3
C.-4
D.4
答案
∵ 配方后得到 $(x+1)^2=4$,展开得 $x^2+2x+1=4$,即 $x^2+2x-3=0,\therefore c=-3$.故选 B.
2. 关于x的代数式$x^2+(m+2)x+(4m-7)$中，
当$m=$
当$m=$
4或8
时，代数式为完全平方式。答案
由题意得 $(\frac{m+2}{2})^2 =4m-7$,解得 $m=4$ 或 8.
3. (2026·葫芦岛月考)不论a为何实数,多项式$a^2 -4a +6$的值一定是 (
A.正数
B.负数
C.0
D.不能确定
A
)A.正数
B.负数
C.0
D.不能确定
答案
$a^2-4a+6=a^2-4a+4+2=(a-2)^2+2$,$\because$ 对于所有实数 $a$,都有 $(a-2)^2≥0$,$\therefore (a-2)^2+2≥2＞0$,因此,多项式的值总是正数.故选 A.
4. 若$M=4x^2 - 2x + 17$，$N=3x^2 + 2x + 7$（$x$为实数），则$M$与$N$的大小关系为（
A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M=N$
D.$M,N$的大小关系与$x$的取值有关
A
）A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M=N$
D.$M,N$的大小关系与$x$的取值有关
答案
$\because M=4x^2-2x+17,N=3x^2+2x+7$,$\therefore M-N=4x^2-2x+17-(3x^2+2x+7)=4x^2-2x+17-3x^2-2x-7=x^2-4x+10=(x-2)^2+6$,$\because (x-2)^2≥0$,$\therefore (x-2)^2+6＞0$,$\therefore M＞N$.故选 A.
5. (自主招生)在平面直角坐标系$xOy$中,满足不等式$x^2 + y^2 ≤ 2x + 2y$的整数点坐标$(x,y)$有
9
对.答案
由 $x^2+y^2≤2x+2y$,得 $0≤(x-1)^2+(y-1)^2≤2$.$\because x$,
$y$ 均为整数, $\therefore \begin{cases}(x-1)^2=0,\\(y-1)^2=0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}(x-1)^2=0,\\(y-1)^2=1\end{cases}$ 或
$\begin{cases}(x-1)^2=1,\\(y-1)^2=0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}(x-1)^2=1,\\(y-1)^2=1,\end{cases}$ 解 得 $\begin{cases}x=1,\\y=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=1,\\y=2\end{cases}$ 或
$\begin{cases}x=1,\\y=0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=0,\\y=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=2,\\y=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=0,\\y=0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=0,\\y=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=2,\\y=0\end{cases}$ 或
$\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}$共9对.
$y$ 均为整数, $\therefore \begin{cases}(x-1)^2=0,\\(y-1)^2=0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}(x-1)^2=0,\\(y-1)^2=1\end{cases}$ 或
$\begin{cases}(x-1)^2=1,\\(y-1)^2=0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}(x-1)^2=1,\\(y-1)^2=1,\end{cases}$ 解 得 $\begin{cases}x=1,\\y=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=1,\\y=2\end{cases}$ 或
$\begin{cases}x=1,\\y=0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=0,\\y=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=2,\\y=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=0,\\y=0\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=0,\\y=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=2,\\y=0\end{cases}$ 或
$\begin{cases}x=2,\\y=2,\end{cases}$共9对.
6. 证明:关于x的方程$(m^2 - 8m + 16)x^2 + 1 = 2mx - x^2$,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
答案
原方程整理得 $(m^2-8m+17)x^2-2mx+1=0$,$m^2-8m+17=(m^2-8m+16)-16+17=(m-4)^2+1＞0$,$\therefore$ 无论 $m$ 取何值,原方程都是一元二次方程.
7. 甲、乙两位同学对问题“求代数式 $ y = x^2 + \frac{1}{x^2} $ 的最小值”提出各自的想法.甲说:“可以利用完全平方公式,把它配方成 $ y = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 $,所以代数式的最小值为-2.”乙说:“我也用配方法,但我配成 $ y = (x - \frac{1}{x})^2 + 2 $,最小值为2.”你认为（
A.甲对
B.乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都不对
B
）A.甲对
B.乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都不对
答案
注意 $x≠0$,$x+\frac{1}{x}≠0$.
8. (2026·郑州月考)对于代数式$-3x^2 -6x +1$,当$x=$
-1
时,代数式有最大
(填“大”或“小”)值,其值为4
.答案
$-3x^2-6x+1=-3(x^2+2x)+1=-3(x^2+2x+1-1)+1=-3(x+1)^2+4$,$\because 3(x+1)^2≥0$,$\therefore -3(x+1)^2≤0$,
$\therefore -3(x+1)^2+4≤4$,$\therefore$ 当 $x=-1$ 时,$-3x^2-6x+1$ 有最大值为4.
$\therefore -3(x+1)^2+4≤4$,$\therefore$ 当 $x=-1$ 时,$-3x^2-6x+1$ 有最大值为4.
