9. (1)改编题 已知$x=m$是一元二次方程$x^2+2x+n-3=0$的一个根，则$m+n$的最大值为；$m-n$的最小值为。
(2)当代数式$\frac{4}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{4}{x}-\frac{4}{y}+1$取最小值时，$x+y$的值是。

9.(1)$\frac{13}{4}$ $-\frac{21}{4}$ 解析:解法一:$\because x=m$ 是一元二次方程 $x^2+2x+n-3=0$ 的一个根,$\therefore m^2+2m+n-3=0$,$\therefore n=-m^2-2m+3$,$\therefore m+n=m-m^2-2m+3=-(m+\frac{1}{2})^2+\frac{13}{4}≤\frac{13}{4}$,$\therefore m+n$ 的最大值为 $\frac{13}{4}$.$m-n=m+m^2+2m-3=(m+\frac{3}{2})^2-\frac{21}{4}≥-\frac{21}{4}$,即 $m-n$ 的最小值为 $-\frac{21}{4}$.
解法二:由 $m^2+2m+n-3=0$,得 $m^2+m-3+(m+n)=0$,$\therefore m+n=-m^2-m+3=-(m+\frac{1}{2})^2+\frac{13}{4}≤\frac{13}{4}$,$\therefore m+n$ 的最大值为 $\frac{13}{4}$.$-n=m^2+2m-3$,$m-n=m^2+3m-3=(m+\frac{3}{2})^2-\frac{21}{4}≥-\frac{21}{4}$,$\therefore m-n$ 的最小值为 $-\frac{21}{4}$.
(2)$-1\frac{1}{2}$ 解析:$\because \frac{4}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{4}{x}-\frac{4}{y}+1=(\frac{4}{x^2}+\frac{4}{x}+1)+(\frac{1}{y^2}-\frac{4}{y}+4)-4=(\frac{2}{x}+1)^2+(\frac{1}{y}-2)^2-4$,$\therefore$ 当原式取最小值时,$\frac{2}{x}+1=0$,$\frac{1}{y}-2=0$,$\therefore x=-2$,$y=\frac{1}{2}$,$\therefore x+y=-1\frac{1}{2}$.

10. (2026·大庆月考)新定义:关于$x$的一元二次方程$a_1(x-c)^2 +k=0$与$a_2(x-c)^2 +k=0$称为“同族二次方程”.例如:$5(x-6)^2 +7=0$与$6(x-6)^2 +7=0$是“同族二次方程”.现有关于$x$的一元二次方程$(m+2)(x+3-m^2)^2 +n+5=0$与$2(x-1)^2 +1=0$是“同族二次方程”,则代数式$mx^2 +nx+2029$的最小值是.

$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m+2)·(x+3-m^2)^2+n+5=0$ 与 $2(x-1)^2+1=0$ 是“同族二次方程”,$\therefore m+2≠0$,$3-m^2=-1$,$n+5=1$,解得 $m=2$,$n=-4$,则 $mx^2+nx+2029=2x^2-4x+2029=2(x^2-2x)+2029=2(x^2-2x+1)-2+2029=2(x-1)^2+2027$,当 $x=1$ 时,$2(x-1)^2+2027=2×0+2027=2027$,$\therefore 2(x-1)^2+2027≥2027$,即代数式 $mx^2+nx+2029$ 的最小值是 2027.

11. 已知$a,b,c$满足$a^2+2b=7$，$b^2-2c=-1$，$c^2-6a=-17$，则$a+b+c$的值为（）

A.2
B.3
C.4
D.5

由 $a^2+2b=7$,$b^2-2c=-1$,$c^2-6a=-17$,得 $a^2+2b+b^2-2c+c^2-6a+11=0$,$\therefore (a-3)^2+(b+1)^2+(c-1)^2=0$,$\therefore a=3$,$b=-1$,$c=1$,$\therefore a+b+c=3$.

12. (天津中考)若实数$x,y,z$满足$(x-z)^2 -4(x-y)(y-z)=0$，则下列式子一定成立的是
()

A.$x+y+z=0$
B.$x+y-2z=0$
C.$y+z-2x=0$
D.$z+x-2y=0$

$\because (x-z)^2-4(x-y)(y-z)=0$,$\therefore x^2-2xz+z^2-4xy+4xz+4y^2-4yz=0$,$x^2+2xz+z^2-4xy-4yz+4y^2=0$,$(x+z)^2-4y(x+z)+4y^2=0$,$(x+z-2y)^2=0$,$\therefore x+z-2y=0$.

13. 改编题 已知$a,b,c$为正实数，且满足$a^2+ac+ab-b^2=0$和$b^2+ba-ca-c^2=0$，则以$b,c,a+b$为三边长的三角形的具体形状为（）

A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形

由 $b^2+ba-ca-c^2=0$ 可得 $(b^2-c^2)+(ab-ac)=0$,$(b-c)(a+b+c)=0$.$\because a+b+c＞0$,$\therefore b=c$,即以 $b$,$c$,$a+b$ 为三边长的三角形是等腰三角形.$a^2+ac+ab-b^2=0$ ①,$b^2+ba-ca-c^2=0$ ②,由①+②得 $a^2+2ab-c^2=0$,$(a^2+2ab+b^2)-b^2-c^2=0$,$b^2+c^2=(a+b)^2$,即以 $b$,$c$,$a+b$ 为三边长的三角形是直角三角形,$\therefore$ 以 $b$,$c$,$a+b$ 为三边长的三角形是等腰直角三角形.

14. 同一段铁丝,若分成相等的四段,可围成正方形,若分成相等的五段,可围成正五边形,其中正方形的边长为$(a^2 - ab + \dfrac{1}{2}b^2)\mathrm{m}$,正五边形的边长为$(2b -5)\mathrm{m}$,则这段铁丝的总长是m.

根据题意,得 $4(a^2-ab+\frac{1}{2}b^2)=5(2b-5)$,$4a^2-4ab+2b^2=10b-25$,$4a^2-4ab+2b^2-10b+25=0$,$4a^2-4ab+b^2+b^2-10b+25=0$,$(2a-b)^2+(b-5)^2=0$.$\because (2a-b)^2≥0$,$(b-5)^2≥0$,$\therefore 2a-b=0$,$b-5=0$,$\therefore b=5$,$a=\frac{5}{2}$,$\therefore$ 铁丝的总长是 $5(2b-5)=25(\mathrm{m})$.

15. (1)(泰州中考)已知$3x - y = 3a^2 -6a +9$，$x + y = a^2 +6a -9$，若$x≤y$，则实数$a$的值为.
(2)已知$a - b =2$，$ab +2b -c^2 +2c=0$，当$b≥0$，$-2≤c＜1$时，整数$a$的值是.

15.(1)3 解析:依题意得 $\begin{cases}3x-y=3a^2-6a+9,\\x+y=a^2+6a-9,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=a^2,\\y=6a-9.\end{cases}$$\because x≤ y$,$\therefore a^2≤6a-9$,整理得 $(a-3)^2≤0$,解得 $a=3$.
(2)2或3 解析:$\because a-b=2$,$\therefore a=b+2$,$\therefore ab+2b-c^2+2c=b(b+2)+2b-c^2+2c=b^2+4b-(c^2-2c)=(b+2)^2-(c-1)^2-3=0$.$\because b≥0$,$\therefore (b+2)^2≥4$.$\because -2≤ c＜1$,$\therefore -3≤ c-1＜0$,$\therefore 0＜(c-1)^2≤9$.又$\because (c-1)^2=(b+2)^2-3$,$\therefore 3＜(b+2)^2≤12$,则 $4≤(b+2)^2≤12$.$\because a$ 是整数,$\therefore b$ 也是整数,$\therefore b=0$ 或 $1$,$\therefore a=2$ 或 $3$.

16. 阅读材料：
把$x^4+4$分解因式.
分析:这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢?
19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和$(x^2)^2+2^2$的形式,要使用公式就必须添一项$4x^2$,随即将此项$4x^2$减去,即可得$x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$.
这种解法就叫作“热门定理”,请你依照苏菲·热门的做法,将下列各式因式分解.
(1)$4x^4+y^4$; (2)$x^2-2ax-b^2+2ab$;
(3)$(m^2-1)(n^2-1)+4mn$.

16.(1)原式$=4x^4+y^4+4x^2y^2-4x^2y^2=(2x^2+y^2)^2-4x^2y^2=(2x^2+y^2+2xy)(2x^2+y^2-2xy)$.
(2)原式$=x^2-2ax+a^2-a^2-b^2+2ab=(x-a)^2-(a-b)^2=(x-b)(x-2a+b)$.
(3)原式$=(m^2n^2+2mn+1)-(n^2-2nm+m^2)=(mn+1)^2-(n-m)^2=(mn+1+n-m)(mn+1-n+m)$.

17. 化简$\sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$的结果是.

$\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}=\sqrt{5}-1$.

18.（成都中考）设 $ S_1 = 1 + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} $，$ S_2 = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} $，$ S_3 = 1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} $，…，$ S_n = 1 + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} $，设 $ S = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \dots + \sqrt{S_n} $，则 $ S = $ 。（用含n的代数式表示，其中n为正整数）

$\because S_n=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n^2(n+1)^2+n^2+2n+1+n^2}{n^2(n+1)^2}=\frac{n^2(n+1)^2+2n(n+1)+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{[n(n+1)+1]^2}{[n(n+1)]^2}$,$\therefore \sqrt{S_n}=\frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n(n+1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,$\therefore S=(1+1-\frac{1}{2})+(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=n+1-\frac{1}{n+1}=\frac{n^2+2n}{n+1}$.