登录
8.如图所示的是一个几何体的三视图.
(1)写出这个几何体的名称.
(2)画出它的一种表面展开图.
(3)根据图中数据,求这个几何体的侧面积.
(1)写出这个几何体的名称.
(2)画出它的一种表面展开图.
(3)根据图中数据,求这个几何体的侧面积.
答案
8.解析 (1)这个几何体的名称是正三棱柱.
(2)它的一种表面展开图如图所示(答案不唯一).
(3)$S_{侧}=3×5×9=135(cm²).$
答:这个几何体的侧面积是 135 cm².
解析
【分析】
(1)判断几何体时，先观察三视图特征：上下两个视图为全等的正三角形，说明几何体上下底面是正三角形，其余视图为三个矩形，说明侧面为矩形，符合正三棱柱的三视图特点，即可确定几何体名称；
(2)绘制表面展开图时，正三棱柱的展开图由3个全等的矩形和2个全等的正三角形组成，将2个正三角形分别接在3个相连矩形的上下对应边处即可，展开形式不唯一；
(3)计算侧面积时，正三棱柱的侧面是3个完全相同的长方形，先求出1个长方形的面积，再乘3即可得到总侧面积，长方形的两边分别为底面正三角形的边长和棱柱的高。
【解析】
(1)由三视图可知，该几何体上下底面是全等的正三角形，侧面是3个全等的矩形，因此这个几何体是正三棱柱；
(2)正三棱柱的表面展开图由3个相连的矩形和上下各1个正三角形组成，下图为其中一种展开形式，答案不唯一：
(3)正三棱柱的侧面是3个长为9cm、宽为5cm的矩形，侧面积为3个矩形的面积之和：
$S_{侧}=3×5×9=135(cm²)$
【答案】
(1)正三棱柱
(2)（答案不唯一）
(3)$135cm²$
【知识点】
三视图判断几何体；几何体的展开图；棱柱侧面积计算
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对常见几何体三视图的识别能力、空间想象能力以及基础的面积计算能力，掌握正三棱柱的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1)判断几何体时，先观察三视图特征：上下两个视图为全等的正三角形，说明几何体上下底面是正三角形，其余视图为三个矩形，说明侧面为矩形，符合正三棱柱的三视图特点，即可确定几何体名称；
(2)绘制表面展开图时，正三棱柱的展开图由3个全等的矩形和2个全等的正三角形组成，将2个正三角形分别接在3个相连矩形的上下对应边处即可，展开形式不唯一；
(3)计算侧面积时，正三棱柱的侧面是3个完全相同的长方形，先求出1个长方形的面积，再乘3即可得到总侧面积，长方形的两边分别为底面正三角形的边长和棱柱的高。
【解析】
(1)由三视图可知，该几何体上下底面是全等的正三角形，侧面是3个全等的矩形，因此这个几何体是正三棱柱；
(2)正三棱柱的表面展开图由3个相连的矩形和上下各1个正三角形组成，下图为其中一种展开形式，答案不唯一：
(3)正三棱柱的侧面是3个长为9cm、宽为5cm的矩形，侧面积为3个矩形的面积之和：
$S_{侧}=3×5×9=135(cm²)$
【答案】
(1)正三棱柱
(2)
（答案不唯一）(3)$135cm²$
【知识点】
三视图判断几何体；几何体的展开图；棱柱侧面积计算
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对常见几何体三视图的识别能力、空间想象能力以及基础的面积计算能力，掌握正三棱柱的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9.「2024宁夏中考，★☆」用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按如图1所示方式摆放，则最后一个小正方体应放在（
A.①号位置
B.②号位置
C.③号位置
D.④号位置
B
）A.①号位置
B.②号位置
C.③号位置
D.④号位置
答案
9.B 根据主视图可知最后一个小正方体应放在②号或④号位置,结合左视图可知最后一个小正方体只能放在②号位置.
故选 B.
故选 B.
解析
【分析】
解决本题需要结合主视图、左视图的定义逐步筛选位置：首先明确主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，先通过主视图缩小最后一个小正方体可摆放的位置范围；再结合左视图（从几何体左面观察得到的平面图形）排除不符合要求的位置，最终确定正确摆放位置。
【解析】
1. 结合主视图筛选可选位置：主视图反映几何体的左右列数和每列最高层数，根据题目给出的主视图可知，新增的小正方体需要放在从正面看的左数第二列，对应图1中的②号或④号位置，由此排除A、C选项。
2. 结合左视图确定最终位置：左视图反映几何体的前后行数和每行最高层数，若将小正方体放在④号位置，得到的左视图不符合题目要求，只有放在②号位置时，得到的主视图、左视图均与题目给出的视图一致。
因此最后一个小正方体应放在②号位置。
【答案】
B
【知识点】
主视图的识别；左视图的识别；由三视图确定几何体位置
【点评】
本题考查三视图的实际应用，解题时需结合两种视图逐一排除错误选项，侧重考查空间想象能力，是三视图部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合主视图、左视图的定义逐步筛选位置：首先明确主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，先通过主视图缩小最后一个小正方体可摆放的位置范围；再结合左视图（从几何体左面观察得到的平面图形）排除不符合要求的位置，最终确定正确摆放位置。
【解析】
1. 结合主视图筛选可选位置：主视图反映几何体的左右列数和每列最高层数，根据题目给出的主视图可知，新增的小正方体需要放在从正面看的左数第二列，对应图1中的②号或④号位置，由此排除A、C选项。
2. 结合左视图确定最终位置：左视图反映几何体的前后行数和每行最高层数，若将小正方体放在④号位置，得到的左视图不符合题目要求，只有放在②号位置时，得到的主视图、左视图均与题目给出的视图一致。
因此最后一个小正方体应放在②号位置。
【答案】
B
【知识点】
主视图的识别；左视图的识别；由三视图确定几何体位置
【点评】
本题考查三视图的实际应用，解题时需结合两种视图逐一排除错误选项，侧重考查空间想象能力，是三视图部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
10.「2026陕西西安铁一中月考，★☆」一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，根据图形可以判定组成这个几何体最多需要$ m $个小正方体，最少需要$ n $个小正方体，则$ m+n= $
12
。答案
10.答案 12
解析 由俯视图可知,这个几何体从下往上第一层有4个小正方体,
再结合左视图可知,第二层最多有3个小正方体,最少有1个小正方体,
所以组成这个几何体最多需要 4+3=7 个小正方体,最少需要 4+1=5 个小正方体,
则 m=7,n=5,所以 m+n=7+5=12,
故答案为 12.
解析 由俯视图可知,这个几何体从下往上第一层有4个小正方体,
再结合左视图可知,第二层最多有3个小正方体,最少有1个小正方体,
所以组成这个几何体最多需要 4+3=7 个小正方体,最少需要 4+1=5 个小正方体,
则 m=7,n=5,所以 m+n=7+5=12,
故答案为 12.
解析
【分析】
解决这类根据三视图判断组成几何体的小正方体最多、最少个数的问题，思路如下：第一步先观察俯视图，俯视图中每个区域对应几何体最底层（第一层）的小正方体分布，可直接确定第一层的小正方体数量；第二步结合左视图判断上层小正方体的数量上限和下限：最多的情况是所有满足层高要求的位置都放置小正方体，最少的情况是仅放置满足左视图形高要求的最少数量的小正方体；最后分别计算最多、最少总个数再求和即可。
【解析】
首先由俯视图可知，该几何体的最底层（第一层）共有4个小正方体；
再结合左视图判断第二层的小正方体数量：最多可放置3个小正方体，最少仅需放置1个小正方体；
因此组成这个几何体最多需要的小正方体个数$ m=4+3=7 $，最少需要的小正方体个数$ n=4+1=5 $；
则$ m+n=7+5=12 $。
【答案】
12
【知识点】
三视图的应用，几何体计数
【点评】
本题是三视图的基础应用题型，解题核心是明确俯视图确定底层数量、其他视图确定层高的规则，主要考查学生的空间想象能力，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.7
解决这类根据三视图判断组成几何体的小正方体最多、最少个数的问题，思路如下：第一步先观察俯视图，俯视图中每个区域对应几何体最底层（第一层）的小正方体分布，可直接确定第一层的小正方体数量；第二步结合左视图判断上层小正方体的数量上限和下限：最多的情况是所有满足层高要求的位置都放置小正方体，最少的情况是仅放置满足左视图形高要求的最少数量的小正方体；最后分别计算最多、最少总个数再求和即可。
【解析】
首先由俯视图可知，该几何体的最底层（第一层）共有4个小正方体；
再结合左视图判断第二层的小正方体数量：最多可放置3个小正方体，最少仅需放置1个小正方体；
因此组成这个几何体最多需要的小正方体个数$ m=4+3=7 $，最少需要的小正方体个数$ n=4+1=5 $；
则$ m+n=7+5=12 $。
【答案】
12
【知识点】
三视图的应用，几何体计数
【点评】
本题是三视图的基础应用题型，解题核心是明确俯视图确定底层数量、其他视图确定层高的规则，主要考查学生的空间想象能力，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.7
11.「2026山东济南燕山中学月考，★☆」如图,在平整的地面上,用10个棱长都为2 cm的小正方体堆成一个几何体.
(1)画出这个几何体的三视图.
(2)求这个几何体的表面积.
(3)如果现在你还有一些棱长都为2 cm的小正方体,要求保持俯视图和左视图都不变,那么最多可以添加
(1)画出这个几何体的三视图.
(2)求这个几何体的表面积.
(3)如果现在你还有一些棱长都为2 cm的小正方体,要求保持俯视图和左视图都不变,那么最多可以添加
5
个小正方体.答案
11.解析 (1)三视图如图所示:
(2)这个几何体的表面积$=[2×(7+5+7)+4]×2²=42×2²=168(cm²).$
(3)如俯视图所示,要求保持俯视图和左视图都不变,最多可以添加 2+1+2=5(个)小正方体.
故答案为 5.
解析
【分析】
1. 第(1)问画三视图：首先明确三视图的定义，主视图是从几何体正面观察得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，绘制时将观察到的棱用实线呈现，按对应层数和布局绘制即可。
2. 第(2)问求表面积：可采用“视图面统计法”，先分别统计前、后、左、右、上、下六个方向能看到的小正方形面数量，再补充统计凹槽处未被六个方向覆盖的隐藏面，得到总面数后，用单个小正方形的面积乘总面数即可得到几何体的总表面积。
3. 第(3)问添加小正方体：限制条件为保持俯视图和左视图不变，其中俯视图不变说明底层小正方体的摆放位置固定，左视图不变说明几何体每行的最大高度不能超过原有高度，逐位置判断可添加的小正方体数量，求和即可得到结果。
【解析】
(1) 根据三视图的绘制规则，画出的三视图如下：
(2) 统计各方向小正方形面数：
正面、背面的面数相同，各7个，合计：$7×2=14$个
左面、右面的面数相同，各5个，合计：$5×2=10$个
上面、下面的面数相同，各7个，合计：$7×2=14$个
几何体凹槽处还有4个未被上述统计的小正方形面
总面数：$14+10+14+4=42$个
单个小正方形的面积：$2×2=4\ \mathrm{cm^2}$
总表面积：$42×4=168\ \mathrm{cm^2}$
(3) 俯视图不变则底层小正方体位置固定，左视图不变则每行最大高度固定，对应俯视图位置，第一列最多加2个，中间列最多加1个，第三列最多加2个，总添加数量为$2+1+2=5$个。
【答案】
(1) 三视图如图：
(2) $168\ \mathrm{cm^2}$
(3) 5
【知识点】
三视图的画法、几何体表面积计算、由三视图判断几何体
【点评】
本题是三视图章节的典型综合题，既考查三视图的规范绘制能力，也考查空间想象能力，需要学生能通过三视图还原几何体结构，进而完成表面积计算和可添加正方体数量的判断，对空间思维的锻炼价值较高。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问画三视图：首先明确三视图的定义，主视图是从几何体正面观察得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，绘制时将观察到的棱用实线呈现，按对应层数和布局绘制即可。
2. 第(2)问求表面积：可采用“视图面统计法”，先分别统计前、后、左、右、上、下六个方向能看到的小正方形面数量，再补充统计凹槽处未被六个方向覆盖的隐藏面，得到总面数后，用单个小正方形的面积乘总面数即可得到几何体的总表面积。
3. 第(3)问添加小正方体：限制条件为保持俯视图和左视图不变，其中俯视图不变说明底层小正方体的摆放位置固定，左视图不变说明几何体每行的最大高度不能超过原有高度，逐位置判断可添加的小正方体数量，求和即可得到结果。
【解析】
(1) 根据三视图的绘制规则，画出的三视图如下：
(2) 统计各方向小正方形面数：
正面、背面的面数相同，各7个，合计：$7×2=14$个
左面、右面的面数相同，各5个，合计：$5×2=10$个
上面、下面的面数相同，各7个，合计：$7×2=14$个
几何体凹槽处还有4个未被上述统计的小正方形面
总面数：$14+10+14+4=42$个
单个小正方形的面积：$2×2=4\ \mathrm{cm^2}$
总表面积：$42×4=168\ \mathrm{cm^2}$
(3) 俯视图不变则底层小正方体位置固定，左视图不变则每行最大高度固定，对应俯视图位置，第一列最多加2个，中间列最多加1个，第三列最多加2个，总添加数量为$2+1+2=5$个。
【答案】
(1) 三视图如图：
(2) $168\ \mathrm{cm^2}$
(3) 5
【知识点】
三视图的画法、几何体表面积计算、由三视图判断几何体
【点评】
本题是三视图章节的典型综合题，既考查三视图的规范绘制能力，也考查空间想象能力，需要学生能通过三视图还原几何体结构，进而完成表面积计算和可添加正方体数量的判断，对空间思维的锻炼价值较高。
【难度系数】
0.7
12. 核心素养 空间观念 一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积.
答案
12.解析 根据三视图可知该几何体由一个长方体和一个半圆柱组成,长方体的长、宽、高分别为 10,4,5,半圆柱的高为 2,底面半圆的半径为 3,
故长方体的体积为 10×4×5=200,
半圆柱的体积为$\frac{1}{2}×π×3²×2=9π$,
∴ 该几何体的体积为 200+9π.
故长方体的体积为 10×4×5=200,
半圆柱的体积为$\frac{1}{2}×π×3²×2=9π$,
∴ 该几何体的体积为 200+9π.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需根据三视图的对应规律（长对正、高平齐、宽相等）还原几何体的形状，判断出该几何体是长方体与半圆柱的组合体；接下来分别确定长方体的长、宽、高，以及半圆柱的底面半径、高的具体数值，再代入对应体积公式分别计算两部分的体积，最后将两部分体积相加即可得到组合体的总体积。
【解析】
根据三视图可知该几何体由一个长方体和一个半圆柱组合而成：
1. 确定各部分参数：长方体的长为10、宽为4、高为5；半圆柱的高为2，底面半圆的半径为3。
2. 计算长方体体积：根据长方体体积公式$V_{长方体}=长×宽×高$，可得$V_{长方体}=10×4×5=200$。
3. 计算半圆柱体积：半圆柱体积为对应完整圆柱体积的$\frac{1}{2}$，根据圆柱体积公式$V_{圆柱}=πr^2h$，可得$V_{半圆柱}=\frac{1}{2}×π×3^2×2=9π$。
4. 计算总体积：组合体体积为两部分体积之和，即$V_{总}=200+9π$。
【答案】
$200+9π$
【知识点】
三视图还原几何体、长方体体积计算、圆柱体积计算
【点评】
本题是三视图与几何体体积结合的基础常考题，解题核心是准确通过三视图识别几何体的组成，正确提取各部分的尺寸参数，计算时注意半圆柱体积是对应圆柱体积的一半即可。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先需根据三视图的对应规律（长对正、高平齐、宽相等）还原几何体的形状，判断出该几何体是长方体与半圆柱的组合体；接下来分别确定长方体的长、宽、高，以及半圆柱的底面半径、高的具体数值，再代入对应体积公式分别计算两部分的体积，最后将两部分体积相加即可得到组合体的总体积。
【解析】
根据三视图可知该几何体由一个长方体和一个半圆柱组合而成：
1. 确定各部分参数：长方体的长为10、宽为4、高为5；半圆柱的高为2，底面半圆的半径为3。
2. 计算长方体体积：根据长方体体积公式$V_{长方体}=长×宽×高$，可得$V_{长方体}=10×4×5=200$。
3. 计算半圆柱体积：半圆柱体积为对应完整圆柱体积的$\frac{1}{2}$，根据圆柱体积公式$V_{圆柱}=πr^2h$，可得$V_{半圆柱}=\frac{1}{2}×π×3^2×2=9π$。
4. 计算总体积：组合体体积为两部分体积之和，即$V_{总}=200+9π$。
【答案】
$200+9π$
【知识点】
三视图还原几何体、长方体体积计算、圆柱体积计算
【点评】
本题是三视图与几何体体积结合的基础常考题，解题核心是准确通过三视图识别几何体的组成，正确提取各部分的尺寸参数，计算时注意半圆柱体积是对应圆柱体积的一半即可。
【难度系数】
0.75
