典例 给某气球充满一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强$p$(单位:$\mathrm{kPa}$)是气体体积$V$(单位:$\mathrm{m}^3$)的反比例函数，其图象如图所示.

(1)求$p$关于$V$的函数解析式；
(2)当气球内的压强超过$150\ \mathrm{kPa}$时，气球会爆炸，若将气球近似看成一个球体，试求气球的半径至少为多少时，气球不会爆炸.(球体的体积公式$V=\frac{4}{3}π r^3$，$π$取3)

解 (1)设 $p=\frac{k}{V}$, 把 $V=0.04, p=120$代入上式,得 $\frac{k}{0.04}=120$, 解得 $k=4.8$.
$\therefore p$ 关于 $V$ 的函数解析式为 $p=\frac{4.8}{V}$.
(2)当 $p=150$ 时, $150=\frac{4.8}{V}$,解得 $V=0.032$.
$\because V=\frac{4}{3}π r^3, π=3$,
$\therefore \frac{4}{3}× 3r^3=0.032$,解得 $r=0.2$.
因此,气球的半径至少为0.2 m时,气球不会爆炸.

举一反三 某工程队接到一项开挖水渠的工程,所需天数$y$与每天完成的工程量$x$(单位:m)成反比例函数关系,其函数图象经过点$(24,50)$.已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠15 m.若要求该工程队恰好10天完成此项任务,则需要几台这样的挖掘机?
典例解析
典例
解 (1)设 $p=\frac{k}{V}$, 把 $V=0.04, p=120$
代入上式,得 $\frac{k}{0.04}=120$, 解得 $k=4.8$.
$\therefore p$ 关于 $V$ 的函数解析式为 $p=\frac{4.8}{V}$.
(2)当 $p=150$ 时, $150=\frac{4.8}{V}$,
解得 $V=0.032$.
$\because V=\frac{4}{3}π r^3, π=3$,
$\therefore \frac{4}{3}× 3r^3=0.032$,
解得 $r=0.2$.
因此,气球的半径至少为0.2 m时,气球不会爆炸.

解 设 $y=\frac{k}{x}$.
由函数图象经过点$(24,50)$,得 $50=\frac{k}{24}$,解得$k=1\ 200$.
$\therefore y$ 关于$x$的函数解析式为 $y=\frac{1\ 200}{x}$.
当 $y=10$ 时,得 $10=\frac{1\ 200}{x}$,
解得 $x=120$.
$120÷15=8$(台).
因此,需要8台这样的挖掘机.