基础知识·预习
问题1 类比学习过的圆的内接三角形和三角形的外接圆，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫什么？这个圆叫什么？
问题2 圆内接四边形的四个角除了具有一般四边形的内角和为 $ 360° $ 的性质，是否还有其他性质？

1. 所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做该多边形的外接圆。
2. 圆内接四边形还有其他特殊性质：圆内接四边形的对角互补，且圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

【分析】
问题1可通过类比之前学习的圆内接三角形、三角形外接圆的定义，将适用范围从三角形推广到一般多边形，就能直接得到对应概念；问题2可结合已学的圆周角定理、补角的性质推导圆内接四边形的特殊性质：先分析对角所对的弧的总度数，结合圆周角定理可推出对角和为180°，再根据同角的补角相等，就能推出外角和内对角的关系。
【解析】
问题1：我们已经学习过圆内接三角形和三角形外接圆的定义，三个顶点都在同一个圆上的三角形叫做圆内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆。将该概念类比推广到一般多边形可知：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形就叫做圆内接多边形，对应的这个圆叫做该多边形的外接圆。
问题2：圆内接四边形存在其他特殊性质，推导如下：
1. 对角互补：圆内接四边形的任意一组对角所对的弧合起来为完整圆周，对应的圆心角之和为360°，根据圆周角定理“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，可得这组对角的和为$360°÷2=180°$，即圆内接四边形的对角互补。
2. 外角等于内对角：圆内接四边形的任意一个外角和它相邻的内角是邻补角，和为180°，而该相邻内角和它的对角（即此外角的内对角）也互补，根据同角的补角相等，可得圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
【答案】
1. 所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做该多边形的外接圆。
2. 圆内接四边形还有其他特殊性质：圆内接四边形的对角互补，且圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
【知识点】
1. 圆内接多边形相关定义
2. 圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重考查知识的类比迁移能力和基础性质的推导能力，相关概念和性质是解决圆与四边形结合的综合题的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

【典型例题】如图,四边形ABCD内接于一圆,点E在BC的延长线上,连接AC,BD.

(1)求证:$∠ DAB=∠ DCE$.
(2)若$∠ DAB=65°,∠ ACB=70°$,求$∠ ABD$的度数.
(1)【证明】$\because$四边形$ABCD$内接于圆,
$\therefore ∠ DAB+∠ DCB=180°$.
由题图知,$∠ DCE+∠ DCB=180°$,
$\therefore ∠ DAB=∠ DCE$.
(2)【解】$\because ∠ ACB=70°$,
$\therefore ∠ ADB=∠ ACB=70°$.
$\therefore ∠ ABD=180°-∠ DAB-∠ ADB=180°-65°-70°=45°$.
规律方法 解决此类问题时,结合邻补角互补与圆内接四边形的对角互补求解.

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠DAB + ∠DCB = 180°。
由题图知，∠DCE + ∠DCB = 180°，
∴ ∠DAB = ∠DCE。
(2) 解：
∵ ∠ACB = 70°，∠ACB和∠ADB都是弧AB所对的圆周角，
∴ ∠ADB = ∠ACB = 70°。
在△ABD中，
∠ABD = 180° - ∠DAB - ∠ADB
= 180° - 65° - 70°
= 45°。

【分析】
(1)要证明∠DAB=∠DCE，可通过证明两个角是同一个角的补角推导：首先根据圆内接四边形的性质，可得∠DAB和∠DCB互补；再结合∠DCE和∠DCB是邻补角，也满足互补关系，根据同角的补角相等即可得到结论。
(2)求∠ABD的度数时，首先利用圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可得∠ADB和已知的∠ACB相等，得到∠ADB的度数；再在△ABD中，利用三角形内角和为180°，减去已知的∠DAB和∠ADB的度数，即可求出∠ABD的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD内接于圆，
∴ ∠DAB + ∠DCB = 180°。
由题图知，∠DCE + ∠DCB = 180°，
∴ ∠DAB = ∠DCE。
(2) 解：
∵ ∠ACB和∠ADB都是弧AB所对的圆周角，
∴ ∠ADB = ∠ACB = 70°。
在△ABD中，
∠ABD = 180° - ∠DAB - ∠ADB
= 180° - 65° - 70°
= 45°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{45°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆性质应用的基础题型，主要考察基础定理的灵活运用，解题核心是熟练掌握圆内接四边形和圆周角的相关性质，结合三角形内角和即可快速求解，是巩固圆基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.8

如图,四边形ABCD内接于⊙O,连接BO并延长,交⊙O于点E.若∠DCE=20°,则∠A的度数为.

110°

【分析】
解题思路可分为两步：第一步先求∠BCD的度数，第二步利用圆内接四边形性质求∠A。首先观察到BE是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BCE=90°，结合已知∠DCE=20°，即可求出∠BCD的大小；再根据圆内接四边形的对角互补，∠A与∠BCD的和为180°，代入∠BCD的数值就能算出∠A的度数。
【解析】
解：
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE=90°（直径所对的圆周角为直角），
又
∵∠DCE=20°，
∴∠BCD=∠BCE - ∠DCE=90°-20°=70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A + ∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠A=180°-70°=110°。
【答案】
110°
【知识点】
直径所对圆周角为直角；圆内接四边形对角互补
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，核心是通过直径的性质得到直角，再结合圆内接四边形的角度关系完成推导，解题时要注意找准圆内接四边形的对角，避免角度对应错误。
【难度系数】
0.7