3.活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的?
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的,这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙,一点儿也不浪费空间.这是数学中的密铺(或镶嵌)问题.平面图形的密铺(或镶嵌)是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接,使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.
探究一:若只用一种正多边形,哪些正多边形可以密铺?
|平面图形|每个内角的度数|能否整除|能否密铺|
|----|----|----|----|
|正三角形|$60°$|$360°÷60°=6$|能|
|正方形|①|②|能|
|正五边形|$108°$|$360°÷108°=\frac{10}{3}$|不能|
|正六边形|$120°$|$360°÷120°=3$|能|
|正七边形|$\frac{900°}{7}$|$360°÷\frac{900°}{7}=\frac{14}{5}$|不能|
|正八边形|$135°$|③|④|
|…|…|…|…|
(1)请补全上述表格①;②;③;④.
探究二:在能密铺的正多边形中,哪种形状最省材料?
数学视角:蜜蜂的身体可近似看成圆柱,若圆柱底面半径为1,当蜂房恰好容纳一只蜜蜂(正多边形的内切圆半径均为1)时,比较正三角形,正方形和正六边形周长的大小.
观察图1,发现$\odot O$是正三角形$ABC$的内切圆,与$AC$切于点$D$,$OD⊥ AD$,$∠ OAD=30°$,$OD=1$,在$Rt△ ADO$中,$AD=\sqrt{3}$,则$△ ABC$的周长为$6\sqrt{3}$.
(2)如图2,正方形$ABCD$的周长为;
(3)如图3,求出正六边形的周长(写出求解过程).
探究三:在能密铺的正多边形中,哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大?
数学视角:假设蜜蜂建造蜂房的材料总量(即周长)一定,比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.
(4)若正多边形的周长都为12,则正三角形的面积为;正方形的面积为;正六边形的面积为.
【得出结论】
综上所述:在相同条件下,正六边形结构最省材料,能使蜜蜂的活动空间最大,是建造蜂房的最优方案.

3. 解 (1)①$90°$ ②$360°÷90°=4$ ③$360°÷135°=\dfrac{8}{3}$ ④不能
(2) 8
(3) 如图,设 $AB$ 切 $\odot O$ 于点 $G$,连接 $OG,OA,OB$,则 $OG⊥ AB,OA=OB$,
$\therefore AG=BG=\dfrac{1}{2}AB.$
$\because∠ AOB=\dfrac{360°}{6}=60°,$
$\therefore∠ AOG=\dfrac{1}{2}∠ AOB=30°,\therefore OA=2AG.$
$\because AG^2+OG^2=OA^2,\therefore AG=\dfrac{\sqrt{3}}{3}OG=\dfrac{\sqrt{3}}{3},$
$\therefore AB=\dfrac{2\sqrt{3}}{3},$正六边形的周长为 $4\sqrt{3}.$
(4) $4\sqrt{3}$ 9 $6\sqrt{3}$