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5. 数学中,常对同一图形的面积用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,这是一种重要的数学方法.如图1,两个直角边分别为a,b,且斜边长为c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形,据此可得到什么结论?
解:三个直角三角形其面积分别为$\frac{1}{2}ab$,$\frac{1}{2}ab$和$\frac{1}{2}c^2$,
直角梯形的面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$.
由图形可知$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$.
整理得$(a+b)^2=2ab+c^2$,$a^2+b^2+2ab=c^2+2ab$.
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
结论:在直角边长分别为a,b,且斜边长为c的直角三角形中,$a^2+b^2=c^2$.
(1)【类比尝试】
如图2,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的边AC上的高,求:
①△ABC的面积;
②BD的长.
(2)【拓展探究】
如图3,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y=\frac{3}{4}x+6$与x轴、y轴分别交于点A和点B,直线$l_2$经过坐标原点,且$l_2⊥l_1$,垂足为C.
①写出点A和点B的坐标;
②求点C到x轴的距离.
解:三个直角三角形其面积分别为$\frac{1}{2}ab$,$\frac{1}{2}ab$和$\frac{1}{2}c^2$,
直角梯形的面积为$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$.
由图形可知$\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$.
整理得$(a+b)^2=2ab+c^2$,$a^2+b^2+2ab=c^2+2ab$.
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
结论:在直角边长分别为a,b,且斜边长为c的直角三角形中,$a^2+b^2=c^2$.
(1)【类比尝试】
如图2,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的边AC上的高,求:
①△ABC的面积;
②BD的长.
(2)【拓展探究】
如图3,在平面直角坐标系中,直线$l_1:y=\frac{3}{4}x+6$与x轴、y轴分别交于点A和点B,直线$l_2$经过坐标原点,且$l_2⊥l_1$,垂足为C.
①写出点A和点B的坐标;
②求点C到x轴的距离.
答案
(1)①$△ ABC$ 的面积为 7. ②$BD$ 的长为$\frac{7\sqrt{5}}{5}$.
(2)①$A(-8,0),B(0,6)$. ②点 $C$ 到 $x$ 轴的距离为$\frac{96}{25}$.
(2)①$A(-8,0),B(0,6)$. ②点 $C$ 到 $x$ 轴的距离为$\frac{96}{25}$.
