1[2026河南许昌质检,中]方程$2-3(x+1)=0$的解与关于$x$的方程$\frac{k+x}{2}-3k-2=2x$的解互为倒数,求$k$的值.

解：解方程$2-3(x+1)=0$，去括号，得$2-3x-3=0$，移项、合并同类项，得$-3x=1$，解得$x=-\frac{1}{3}$。因为$-\frac{1}{3}$的倒数是$-3$，所以将$x=-3$代入方程$\frac{k+x}{2}-3k-2=2x$，得$\frac{k-3}{2}-3k-2=-6$，解得$k=1$。

2[中]晶晶在解关于$x$的方程$\frac{ax-1}{2}+6=\frac{2+x}{3}$时，把6错写成1，解得$x=1$，并且晶晶在解题中没有错误，请你正确求出此方程的解。

解：因为解关于x的方程$\frac{ax-1}{2}+6=\frac{2+x}{3}$时，把6错写成1，解得$x=1$，所以把$x=1$代入$\frac{ax-1}{2}+1=\frac{2+x}{3}$，解得$a=1$，所以原方程应为$\frac{x-1}{2}+6=\frac{2+x}{3}$，解得$x=-29$。

3[中]已知$m,n$是有理数,单项式$-x^n y$的次数是3,方程$(m+1)x^2 + mx - tx + n + 2 = 0$是关于$x$的一元一次方程,其中$m≠t$.
(1)求$m,n$的值;
(2)若该方程的解是$x=3$,求$t$的值;
(3)若该方程的解是正整数,请直接写出整数$t$的值.

(1)由题意得$m+1=0,n+1=3$，解得$m=-1,n=2$。
(2)由(1)得$n=2,m=-1$，所以原方程为$-x-xt+4=0$。由题意知当$x=3$时，$-3-3t+4=0$，所以$t=\frac{1}{3}$。
(3)整数$t$的值为0,1,3。因为$n=2,m=-1$，所以原方程为$-x-xt+4=0$，所以$x=\frac{4}{t+1}$，$t=\frac{4-x}{x}=\frac{4}{x}-1$，所以$t≠-1,x≠0$。因为$t$是整数，$x$是正整数，所以当$x=1$时，$t=3$；当$x=4$时，$t=0$；当$x=2$时，$t=1$。综上，整数$t$的值为0,1,3。

4[中]已知关于x的方程$4+3ax=2a-7$有唯一解，关于y的方程$2+y=(b+1)y$无解，判断关于z的方程$az=b$的解的情况。

解：关于x的方程$4+3ax=2a-7$可以整理为$3ax=2a-11$。因为关于x的方程$4+3ax=2a-7$有唯一解，所以$a≠0$。关于y的方程$2+y=(b+1)y$整理得$by=2$。因为关于y的方程$2+y=(b+1)y$无解，所以$b=0$。关于z的方程$az=b$可解得$z=\frac{b}{a}=0$，所以关于z的方程$az=b$有唯一解，为$z=0$。

5[中]已知关于x的方程$(a-2)x^{|a|-1}+4b=0$为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程$\frac{2x+1}{3}=\frac{x-b}{2}+1$的解相同.
(1)求$a,b$的值；
(2)若关于$y$的方程$|m-1|y+n=a+1+2by$有无数解，求$m,n$的值.

(1)因为关于x的方程$(a-2)x^{|a|-1}+4b=0$为一元一次方程，所以$|a|-1=1,a-2≠0$，解得$a=-2$。
当$a=-2$时，方程为$-4x+4b=0$，解得$x=b$。又因为两个方程同解，所以$\frac{2b+1}{3}=\frac{b-b}{2}+1$，解得$b=1$。
(2)把$a=-2,b=1$代入$|m-1|y+n=a+1+2by$，可得$|m-1|y+n=-1+2y$，变形得$(|m-1|-2)y=-n-1$。因为关于y的方程$|m-1|y+n=a+1+2by$有无数解，所以$|m-1|-2=0,-n-1=0$，所以$m=3$或$-1,n=-1$。