1 [2025 山东聊城调研，中] 将方程 $0.7 + \frac{0.3x - 0.2}{0.2} = \frac{1.5 - 5x}{0.5}$ 变形正确的是（）

A.$7 + \frac{3x - 2}{2} = \frac{15 - 50x}{5}$
B.$0.7 + \frac{3x - 2}{2} = \frac{15 - 5x}{5}$
C.$0.7 + \frac{3x - 2}{2} = \frac{15 - 50x}{5}$
D.$0.7 + 1.5x - 1 = 3 - x$

1.C 【解析】含分母的项的分子与分母同乘 10 得 $0.7 + \frac{(0.3x-0.2)×10}{0.2×10} = \frac{(1.5-5x)×10}{0.5×10}$, 所以 $0.7 + \frac{3x-2}{2} = \frac{15-50x}{5}$,故选 C.

2[中]小明解关于$x$的方程$\frac{2x-1}{2}=\frac{x-a}{3}-2$，去分母时，方程右边的$-2$忘记乘6，求出的解是$x=-\frac{1}{4}$，则$a$的值是（）

A.$-4$
B.$\frac{9}{4}$
C.$1$
D.$-\frac{1}{2}$

2.C 【解析】根据题意,得 $6x-3=2x-2a-2$,把 $x=-\frac{1}{4}$ 代入,得 $-\frac{3}{2}-3=-\frac{1}{2}-2a-2$,解得 $a=1$. 故选 C.

3[较难]在$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+···$中，“…”代表按规律不断求和.设$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+···=x$，则有$x=1+\frac{1}{2}x$，解得$x=2$，故$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+···=2$.类似地，$1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^6}+···$的结果是（）

A.$\frac{4}{3}$
B.$\frac{9}{8}$
C.$\frac{6}{5}$
D.2

3.B 【解析】设 $1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^6}+···=x$,则 $1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^6}+···=1+\frac{1}{3^2}(1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{3^6}+···)$,所以 $x=1+\frac{1}{3^2}x$,所以 $x=1+\frac{1}{9}x$,解得 $x=\frac{9}{8}$. 故选 B.

4[中]若整数$a$使关于$x$的方程$x - \frac{2 - ax}{4} = \frac{x + 2}{2} - 1$有整数解，则符合条件的所有$a$值的和为。

4.$-8$ 【解析】$x-\frac{2-ax}{4}=\frac{x+2}{2}-1$,去分母,得 $4x-(2-ax)=2(x+2)-4$. 去括号,得 $4x-2+ax=2x+4-4$. 移项,得 $4x+ax-2x=4-4+2$. 合并同类项,得 $(2+a)x=2$,当 $2+a≠0$ 时,$x=\frac{2}{2+a}$. 因为整数 $a$ 使关于 $x$ 的方程 $x-\frac{2-ax}{4}=\frac{x+2}{2}-1$ 有整数解,所以 $2+a=1$ 或 $2+a=-1$ 或 $2+a=-2$ 或 $2+a=2$,解得 $a=-1$ 或 $-3$ 或 $-4$ 或 $0$,和为 $-1+(-3)+(-4)+0=-8$. 故答案为 $-8$.

5[较难]如果关于$x$的方程$\frac{2kx+m}{3}=2+\frac{x-nk}{6}$，无论$k$为何数时，它的解总是$x=1$，那么$m+n=$.
6[中]若关于$x$的方程$2x+5=a$的解与关于$x$的方程$\frac{x-4}{3}-2=\frac{a-1}{2}$的解相同，求字母$a$的值，并
写出方程的解.

5.$\frac{5}{2}$ 【解析】将 $x=1$ 代入 $\frac{2kx+m}{3}=2+\frac{x-nk}{6}$,得 $\frac{2k+m}{3}=2+\frac{1-nk}{6}$,整理得 $(4+n)k=13-2m$. 由题意可知,无论 $k$ 为何数,$(4+n)k=13-2m$ 恒成立,所以 $n+4=0$,$13-2m=0$,所以 $n=-4$,$m=\frac{13}{2}$,所以 $m+n=\frac{5}{2}$.
6.【解】
$2x+5=a$,$2x=a-5$,$x=\frac{a-5}{2}$.
$\frac{x-4}{3}-2=\frac{a-1}{2}$,$2(x-4)-12=3(a-1)$,
$2x=3a+17$,$x=\frac{3a+17}{2}$.
由题意,得$\frac{a-5}{2}=\frac{3a+17}{2}$,解得 $a=-11$,所以 $x=\frac{-11-5}{2}=-8$,所以字母 $a$ 的值为 $-11$,方程的解为 $x=-8$.

7 含1个绝对值 解方程：$|2x+9|=7x-1.$

7.【解】$|2x+9|=7x-1$,所以 $2x+9=7x-1$ 或 $(2x+9)+(7x-1)=0$,解得 $x=2$ 或 $x=-\frac{8}{9}$. 当 $x=-\frac{8}{9}$ 时,$7x-1＜0$,所以舍去 $x=-\frac{8}{9}$. 综上所述,原方程的解是 $x=2$.

8 含2个绝对值 [2025 山东菏泽期末，中]解方程：
(1) $|x+6| - |3x - 9| = 1$；
(2) $2|x+1| + 3|x - 4| = 60$。
刷素养 走向重高

8.【解】(1) 当 $x＜-6$ 时,去绝对值,得 $-x-6+3x-9=1$,解得 $x=8$,不符合,舍去;当 $-6≤ x＜3$ 时,去绝对值,得 $x+6+3x-9=1$,解得 $x=1$,符合;当 $x≥3$ 时,去绝对值,得 $x+6-(3x-9)=1$,去括号,得 $x+6-3x+9=1$,解得 $x=7$,符合,所以原方程的解为 $x=1$ 或 $x=7$.
(2) 当 $x＜-1$ 时,去绝对值,得 $2(-x-1)+3(4-x)=60$,解得 $x=-10$,符合;当 $-1≤ x＜4$ 时,去绝对值,得 $2(x+1)+3(4-x)=60$,解得 $x=-46$,不符合,舍去;当 $x≥4$ 时,去绝对值,得 $2(x+1)+3(x-4)=60$,解得 $x=14$,符合,所以原方程的解为 $x=-10$ 或 $x=14$.

9 核心素养运算能力[较难]用“*”定义一种新运算:对于任意有理数$a$和$b$,规定$a*b=ab^2+2ab+a$.如:$1*3=1×3^2+2×1×3+1=16$.
(1)求$2*(-2)$的值;
(2)若$2*x=m,\frac{1}{4}x*3=n$(其中$x$为有理数),试比较$m,n$的大小;
(3)若$[(\frac{a+1}{2})*(-3)]*\frac{1}{2}=a+4$,求$a$的值.

9.【解】(1)$2*(-2)=2×(-2)^2+2×2×(-2)+2=2$.
(2)$m=2*x=2x^2+2×2x+2=2x^2+4x+2$,$n=\frac{1}{4}x*3=\frac{1}{4}x×3^2+2×\frac{1}{4}x×3+\frac{1}{4}x=4x$,$m-n=2x^2+4x+2-4x=2x^2+2≥2$,故 $m＞n$.
(3)$(\frac{a+1}{2})*(-3)=\frac{a+1}{2}×(-3)^2+2×\frac{a+1}{2}×(-3)+\frac{a+1}{2}=2a+2$,$(2a+2)*\frac{1}{2}=(2a+2)×(\frac{1}{2})^2+2×(2a+2)×\frac{1}{2}+(2a+2)=\frac{9}{2}a+\frac{9}{2}$,则 $a+4=\frac{9}{2}a+\frac{9}{2}$,解得 $a=-\frac{1}{7}$.
故当 $[(\frac{a+1}{2})*(-3)]*\frac{1}{2}=a+4$ 时,$a$ 的值为 $-\frac{1}{7}$.