10. (12分)已知关于x的方程$(x+1)(x-5)=k$有两个实数根$x_1,x_2$.
(1) 求k的取值范围；
(2) 求证:$(x_1+1)(x_2+1)≤9$.

10. (1) 整理原方程,可得 $x^2-4x-5-k=0$. 由题意,得 $Δ=(-4)^2-4(-5-k)=36+4k≥0$,解得 $k≥-9$
(2) 由条件可知 $x_1+x_2=4,x_1x_2=-5-k$,
∴ $(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=-5-k+4+1=-k≤9$

11. (14分)已知关于$x$的方程$x^2 -kx +k -1=0$.
(1) 求证:无论$k$为何值,方程总有实数根;
(2) 已知等腰三角形$ABC$的一边长为2,另外两条边的长为这个方程的两个实数根,求$△ ABC$的周长.

11. (1)
∵ $Δ=(-k)^2-4×1×(k-1)=(k-2)^2≥0$,
∴ 无论 k 为何值,方程总有实数根
(2)
∵ $x=\frac{k±(k-2)}{2}$,
∴ $x_1=k-1,x_2=1$. 当 2 为腰长时,$k-1=2$,解得 $k=3$,此时$△ABC$的周长$=2+2+1=5$;当 1 为腰长时,$k-1=1$,此时 $1+1=2$,不构成三角形. 综上所述,$△ABC$的周长为 5

12. (16分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x +2m -1=0$有两个实数根$x_1,x_2$.
(1)若$x_1=1$,求$x_2$及$m$的值.
(2)是否存在实数$m$,满足$(x_1 -1)(x_2 -1)=\frac{6}{m-5}$? 若存在,求出实数$m$的值;若不存在,请说明理由.

12. (1) 由题意,得 $1+x_2=6,1·x_2=2m-1$,解得 $x_2=5,m=3$
(2) 存在 根据题意,得 $(-6)^2-4(2m-1)≥0$,解得 $m≤5$. 假设存在实数 m,满足$(x_1-1)(x_2-1)=\frac{6}{m-5}$,即 $x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{6}{m-5}$.
∵ $x_1+x_2=6,x_1x_2=2m-1$,
∴ $2m-1-6+1=\frac{6}{m-5}$. 化简,得 $m^2-8m+12=0$,解得 $m_1=2,m_2=6$.
∵ $m≤5$ 且 $m-5≠0$,
∴ $m=2$. 经检验,$m=2$ 是原分式方程的解,且符合题意.
∴ 存在实数 $m=2$,满足$(x_1-1)(x_2-1)=\frac{6}{m-5}$